En física del estado sólido , el funcional de Luttinger-Ward , [1] propuesto por Joaquin Mazdak Luttinger y John Clive Ward en 1960, [2] es un funcional escalar de la interacción simple electrón-electrón y la función de Green renormalizada de muchos cuerpos . En términos de los diagramas de Feynman , el funcional de Luttinger-Ward es la suma de todos los diagramas irreductibles de dos partículas, cerrados y en negrita, es decir, todos los diagramas sin partículas que entran o salen y que no se deshacen si se eliminan dos líneas propagadoras. Por lo general, se escribe como o , dónde es la función de Green y es la interacción pura.
El funcional de Luttinger-Ward no tiene un significado físico directo, pero es útil para probar las leyes de conservación .
El funcional está estrechamente relacionado con el funcional de Baym-Kadanoff construido independientemente por Gordon Baym y Leo Kadanoff en 1961. [3] Algunos autores usan los términos indistintamente; [4] si se hace una distinción, entonces la función de Baym-Kadanoff es idéntica a la acción efectiva irreducible de dos partículas , que se diferencia del funcional de Luttinger-Ward por un término trivial.
Construcción
Dado un sistema caracterizado por la acción en términos de campos de Grassmann , la función de partición se puede expresar como la integral de ruta :
- ,
dónde es un campo de origen binario. Por expansión en la serie Dyson , uno encuentra que es la suma de todos los diagramas de Feynman cerrados (posiblemente desconectados). a su vez es la función generadora de la función de Green de la partícula N:
El teorema del cúmulo vinculado afirma que la acción efectiva es la suma de todos los diagramas desnudos, conectados y cerrados. a su vez es la funcional generadora de la función del Verde conectado . Como ejemplo, la función de Green de las dos partículas conectadas dice:
Para pasar a la acción efectiva irreducible de dos partículas (2PI), se realiza una transformada de Legendre dea un nuevo campo de fuente binaria. Uno elige un convexo , en este punto arbitrario como fuente y obtiene el funcional 2PI, también conocido como funcional Baym-Kadanoff:
- con .
A diferencia del caso conectado, se requiere un paso más para obtener una función generadora a partir de la acción efectiva irreducible de dos partículas. debido a la presencia de una parte que no interactúa. Al restarlo, se obtiene la funcional de Luttinger-Ward: [5]
- ,
dónde es la auto-energía . En la línea de la demostración del teorema de los cúmulos enlazados, se puede demostrar que esta es la función generadora de los propagadores irreducibles de dos partículas.
Propiedades
En forma de diagrama, el funcional de Luttinger-Ward es la suma de todos los diagramas de Feynman cerrados, en negrita, irreductibles de dos partículas (también conocidos como diagramas de "esqueleto"):
Los diagramas están cerrados porque no tienen patas externas, es decir, no hay partículas que entren o salgan del diagrama. Son "audaces" porque están formulados en términos del propagador en negrita o que interactúa en lugar de en el que no interactúa. Son irreductibles de dos partículas ya que no se desconectan si cortamos hasta dos líneas fermiónicas.
El funcional de Luttinger-Ward está relacionado con el gran potencial de un sistema:
es un funcional generador de cantidades de vértice irreductibles: la primera derivada funcional con respecto a da la energía propia , mientras que la segunda derivada da el vértice de cuatro puntos irreductible, parcialmente de dos partículas:
- ;
Si bien existe la función de Luttinger-Ward, se puede demostrar que no es exclusivo de los modelos similares a Hubbard . [6] En particular, las funciones de vértice irreductibles muestran un conjunto de divergencias, lo que hace que la energía propia se bifurque en una solución causal y no causal (y por lo tanto no física). [7] Sin embargo, al restringir la energía propia a las soluciones causales, se puede restaurar la unicidad de lo funcional.
Baym y Kadanoff demostraron que cualquier truncamiento diagramático de la función Luttinger-Ward cumple un conjunto de leyes de conservación. [3] Las aproximaciones que son equivalentes a un truncamiento de este tipo se denominan, por tanto, conservantes o-derivable . Algunos ejemplos:
- La aproximación de GW (totalmente autoconsistente) es equivalente a truncar a los llamados diagramas de anillo: (Un diagrama de anillo consta de burbujas de polarización conectadas por líneas de interacción).
- La teoría del campo medio dinámico es equivalente a tener en cuenta solo diagramas puramente locales:, dónde son índices de sitios de celosía. [4]
Ver también
Referencias
- ^ Potthoff, M. (2003). "Enfoque funcional de auto-energía a sistemas de electrones correlacionados". Diario Europea de Física B . 32 (4): 429–436. arXiv : cond-mat / 0301137 . Código Bibliográfico : 2003EPJB ... 32..429P . doi : 10.1140 / epjb / e2003-00121-8 .
- ^ Luttinger, JM; Ward, JC (1960). "Energía de estado fundamental de un sistema de muchos fermiones. II". Revisión física . 118 (5): 1417-1427. Código Bibliográfico : 1960PhRv..118.1417L . doi : 10.1103 / PhysRev.118.1417 .
- ^ a b Baym, G .; Kadanoff, LP (1961). "Leyes de conservación y funciones de correlación". Revisión física . 124 (2): 287–299. Código Bibliográfico : 1961PhRv..124..287B . doi : 10.1103 / PhysRev.124.287 .
- ^ a b Kotliar, G .; Savrasov, SY; Haule, K .; Oudovenko, VS; Parcollet, O .; Marianetti, CA (2006). "Cálculos de estructura electrónica con teoría dinámica de campo medio". Rev. Mod. Phys . 78 (3): 865–951. arXiv : cond-mat / 0511085 . Código Bibliográfico : 2006RvMP ... 78..865K . CiteSeerX 10.1.1.475.7032 . doi : 10.1103 / RevModPhys.78.865 .
- ^ Rentrop, JF; Meden, V .; Jakobs, SG (2016). "Flujo de grupo de renormalización del funcional de Luttinger-Ward: Conservación de aproximaciones y aplicación al modelo de impureza de Anderson". Phys. Rev. B . 93 (19): 195160. arXiv : 1602.06120 . Código bibliográfico : 2016PhRvB..93s5160R . doi : 10.1103 / PhysRevB.93.195160 .
- ^ Kozik, E .; Ferrero, M .; Georges, A. (2015). "Inexistencia de la convergencia funcional y engañosa de Luttinger-Ward de la serie esquemática esquemática para modelos tipo Hubbard". Phys. Rev. Lett. 114 (15): 156402. arXiv : 1407.5687 . Código Bibliográfico : 2015PhRvL.114o6402K . doi : 10.1103 / PhysRevLett.114.156402 . PMID 25933324 .
- ^ Schaefer, T .; Rohringer, G .; Gunnarsson, O .; Ciuchi, S .; Sangiovanni, G .; Toschi, A. (2013). "Precursores divergentes de la transición de Mott-Hubbard en el nivel de dos partículas". Phys. Rev. Lett . 110 (24): 246405. arXiv : 1303.0246 . Código Bibliográfico : 2013PhRvL.110x6405S . doi : 10.1103 / PhysRevLett.110.246405 . PMID 25165946 .