Cada cubo mágico puede asignarse a una de las seis clases de cubos mágicos , según las características del cubo.
Este nuevo sistema es más preciso en la definición de cubos mágicos. Pero posiblemente de mayor importancia, es consistente para todos los órdenes y todas las dimensiones de los hipercubos mágicos .
Los requisitos mínimos para que un cubo sea mágico son: Todas las filas, columnas, pilares y 4 triagonales deben sumar el mismo valor.
Las seis clases
- Sencillo:
Los requisitos mínimos para un cubo mágico son: Todas las filas, columnas, pilares y 4 triagonales deben sumar el mismo valor. Un cubo mágico simple no contiene cuadrados mágicos o no es suficiente para calificar para la siguiente clase.
El cubo mágico simple normal más pequeño es de orden 3. Sumas correctas mínimas requeridas = 3 m 2 + 4
- Diagonal:
Cada una de las matrices planas de 3 m debe ser un simple cuadrado mágico . Los 6 cuadrados oblicuos también son magia simple. El cubo mágico diagonal normal más pequeño es de orden 5.
¡Gardner y otros se refirieron a estos cuadrados como "perfectos"! Al mismo tiempo, se refirió al cubo pandiagonal de 1962 de Langman también como "Perfecto".
Christian Boyer y Walter Trump ahora consideran que esta y las siguientes dos clases son perfectas . (Ver perfecto alternativo a continuación).
AH Frost se refirió a todos menos a la clase simple como cubos Nasik .
El cubo mágico diagonal normal más pequeño es de orden 5. Consulte Cubo mágico diagonal . Sumas correctas mínimas requeridas = 3 m 2 + 6 m + 4
- Pantriagonal:
Todos los pantriagonales de 4 m 2 deben sumar correctamente (es decir, 4 de un segmento, 12 ( m -1) de dos segmentos y 4 ( m -2) ( m -1) de tres segmentos). Puede haber algunos cuadrados mágicos simples Y / O pandiagonales, pero no lo suficiente para satisfacer cualquier otra clasificación.
El cubo mágico pantriagonal normal más pequeño es de orden 4. Ver Cubo mágico pantriagonal .
Sumas correctas mínimas requeridas = 7 m 2 . Todos los pan- r -agonales suman correctamente para r = 1 y 3.
- PantriagDiag:
Un cubo de esta clase fue construido por primera vez a finales de 2004 por Mitsutoshi Nakamura. Este cubo es una combinación de cubo mágico Pantriagonal y cubo mágico Diagonal . Por lo tanto, todos los triagonales principales y rotos suman correctamente, y contiene cuadrados mágicos simples planos de 3 m . Además, los 6 cuadrados oblicuos son cuadrados mágicos pandiagonales . El único cubo de este tipo construido hasta ahora es el orden 8. No se sabe qué otros órdenes son posibles. Ver cubo mágico Pantriagdiag . Sumas correctas mínimas requeridas = 7 m 2 + 6 m
- Pandiagonal:
TODAS las matrices planas de 3 m deben ser cuadrados mágicos pandiagonales . Los 6 cuadrados oblicuos son siempre mágicos (generalmente magia simple). Varios de ellos PUEDEN ser magia pandiagonal. Gardner también llamó a esto (pandiagonal de Langman) un cubo 'perfecto', presumiblemente sin darse cuenta de que era una clase superior a la del cubo de Myer. Consulte la nota anterior sobre Boyer y Trump.
El cubo mágico pandiagonal normal más pequeño es de orden 7. Ver Cubo mágico pandiagonal .
Sumas correctas mínimas requeridas = 9 m 2 + 4. Todos los pan- r -agonales suman correctamente para r = 1 y 2.
- Perfecto:
TODAS las matrices planas de 3 m deben ser cuadrados mágicos pandiagonales . Además, TODOS los pantriagonales deben sumar correctamente. Estas dos condiciones se combinan para proporcionar un total de cuadrados mágicos pandiagonales de 9 m.
El cubo mágico perfecto normal más pequeño es el orden 8. Consulte Cubo mágico perfecto .
Nasik; ¡AH Frost (1866) se refirió a todos menos al simple cubo mágico como Nasik!
C. Planck (1905) redefinió Nasik en el sentido de hipercubos mágicos de cualquier orden o dimensión en los que todas las líneas posibles se sumaran correctamente.
es decir, Nasik es un término alternativo preferido y menos ambiguo para la clase perfecta .
Sumas correctas mínimas requeridas = 13 m 2 . Todos los pan- r -agonales suman correctamente para r = 1, 2 y 3.
Perfecto alternativo Tenga en cuenta que lo anterior es una definición relativamente nueva de perfecto . Hasta aproximadamente 1995, hubo mucha confusión acerca de lo que constituye un perfecto cubo mágico (véase el debate en diagonal: )
. A continuación se incluyen referencias y enlaces a discusiones sobre la antigua definición.
Con la popularidad de las computadoras personales, se hizo más fácil examinar los detalles más finos de los cubos mágicos. También se estaba haciendo cada vez más trabajo con hipercubos mágicos de dimensiones superiores. Por ejemplo, John Hendricks construyó el primer tesseract mágico Nasik del mundo en 2000. Clasificado como tesseract mágico perfecto por la definición de Hendricks.
Generalizado para todas las dimensiones
Un hipercubo mágico de dimensión n es perfecto si todos los pan-n-agonals suman correctamente. Entonces, todos los hipercubos de dimensiones inferiores que contiene también son perfectos.
Para la dimensión 2, el Cuadrado Mágico Pandiagonal se ha llamado perfecto durante muchos años. Esto es consistente con las definiciones perfectas (nasik) dadas anteriormente para el cubo. En esta dimensión, no hay ambigüedad porque solo hay dos clases de cuadrados mágicos, simples y perfectos.
En el caso de 4 dimensiones, el tesseract mágico, Mitsutoshi Nakamura ha determinado que hay 18 clases. Ha determinado sus características y ha construido ejemplos de cada uno. Y también en esta dimensión, el tesseract mágico perfecto (nasik) tiene todas las líneas posibles sumando correctamente y todos los cubos y cuadrados contenidos en él también son magia nasik.
Otra definición y una mesa
Adecuado: un cubo mágico adecuado es un cubo mágico que pertenece a una de las seis clases de cubos mágicos, pero que contiene exactamente los requisitos mínimos para esa clase de cubo. es decir, un cubo mágico simple o pantriagonal adecuado no contendría cuadrados mágicos, un cubo mágico diagonal adecuado contendría exactamente 3 m + 6 cuadrados mágicos simples, etc. Este término fue acuñado por Mitsutoshi Nakamura en abril de 2004.
Notas para la tabla
- Para las clases diagonales o pandiagonales, uno o posiblemente 2 de los 6 cuadrados mágicos oblicuos pueden ser magia pandiagonal. Todos menos 6 de los cuadrados oblicuos están "rotos". Esto es análogo a las diagonales rotas en un cuadrado mágico pandiagonal. es decir, las diagonales rotas son 1-D en un cuadrado 2_D; los cuadrados oblicuos rotos son 2-D en un cubo 3-D.
- La tabla muestra las líneas o cuadrados mínimos requeridos para cada clase (es decir, adecuado). Por lo general, hay más, pero no suficientes de un tipo para calificar para la siguiente clase.
Ver también
Referencias
Otras lecturas
- Frost, Dr. AH, Sobre las propiedades generales de los cubos Nasik, QJM 15, 1878, págs. 93-123
- Planck, C., The Theory of Paths Nasik, Impreso para circulación privada, AJ Lawrence, Impresora, Rugby, (Inglaterra), 1905
- Heinz, HD y Hendricks, JR, Magic Square Lexicon: ilustrado. Autoedición, 2000, 0-9687985-0-0.
- Hendricks, John R., The Pan-4-agonal Magic Tesseract, The American Mathematical Monthly, vol. 75, núm. 4, abril de 1968, pág. 384.
- Hendricks, John R., The Pan-3-agonal Magic Cube, Journal of Recreational Mathematics, 5: 1, 1972, págs. 51–52
- Hendricks, John R., The Pan-3-agonal Magic Cube of Order-5, JRM, 5: 3, 1972, págs. 205–206
- Hendricks, John R., Magic Squares to Tesseracts by Computer, autoeditado en 1999. 0-9684700-0-9
- Hendricks, John R., Perfect n-Dimensional Magic Hypercubes of Order 2n, autoeditado 1999. 0-9684700-4-1
- Clifford A. Pickover (2002). El Zen de los cuadrados, círculos y estrellas mágicos . Universidad de Princeton Prensa, 2002, 0-691-07041-5. págs. 101-121
enlaces externos
Clases de cubo
- Christian Boyer: Cubos mágicos perfectos
- Harvey Heinz: hipercubos mágicos perfectos
- Harvey Heinz: 6 clases de cubos
- Walter Trump: búsqueda de los más pequeños
- Cubo más perfecto
Cubo perfecto
- Aale de Winkel: Enciclopedia mágica
- Una larga cita de C. Plank (1917) sobre el tema de nasik como término sustituto de perfecto .
Clases de Tesseract