En álgebra homológica , el cono de mapeo es una construcción en un mapa de complejos de cadenas inspirada en la construcción análoga en topología . En la teoría de categorías trianguladas es una especie de núcleo y cokernel combinados : si los complejos de cadena toman sus términos en una categoría abeliana , de modo que podemos hablar de cohomología , entonces el cono de un mapa f siendo acíclico significa que el mapa es un cuasi-isomorfismo ; si pasamos a la categoría derivada de complejos, esto significa que fHay un isomorfismo allí, que recuerda la propiedad familiar de los mapas de grupos , módulos sobre un anillo o elementos de una categoría abeliana arbitraria que si el núcleo y el cokernel desaparecen, entonces el mapa es un isomorfismo. Si estamos trabajando en una categoría t , entonces, de hecho, el cono proporciona tanto el núcleo como el núcleo central de los mapas entre los objetos de su núcleo.
Definición
El cono puede definirse en la categoría de complejos de cocadena sobre cualquier categoría aditiva (es decir, una categoría cuyos morfismos forman grupos abelianos y en la que podemos construir una suma directa de dos objetos cualesquiera). Dejar ser dos complejos, con diferenciales es decir,
y lo mismo para
Para un mapa de complejos definimos el cono, a menudo denotado por o ser el siguiente complejo:
- en terminos,
con diferencial
- (actuando como sobre vectores de columna ).
Aquí es el complejo con y . Tenga en cuenta que el diferencial en es diferente del diferencial natural en y que algunos autores utilizan una convención de signos diferente.
Así, si por ejemplo nuestros complejos son de grupos abelianos, el diferencial actuaría como
Propiedades
Supongamos ahora que estamos trabajando sobre una categoría abeliana , de modo que se define la homología de un complejo. El uso principal del cono es identificar cuasi-isomorfismos : si el cono es acíclico , entonces el mapa es un cuasi-isomorfismo. Para ver esto, usamos la existencia de un triángulo.
donde los mapas están dados por los sumandos directos (ver categoría de homotopía de complejos de cadena ). Dado que se trata de un triángulo, da lugar a una larga secuencia exacta de grupos de homología :
y si es acíclico, entonces, por definición, los términos externos anteriores son cero. Dado que la secuencia es exacta, esto significa que induce un isomorfismo en todos los grupos de homología, y por lo tanto (de nuevo por definición) es un cuasi-isomorfismo.
Este hecho recuerda la caracterización alternativa habitual de los isomorfismos en una categoría abeliana como aquellos mapas cuyo núcleo y cokernel desaparecen. Esta aparición de un cono como una combinación de kernel y cokernel no es accidental; de hecho, en determinadas circunstancias, el cono encarna literalmente a ambos. Digamos, por ejemplo, que estamos trabajando sobre una categoría abeliana y tener solo un término distinto de cero en grado 0:
y por lo tanto es solo (como un mapa de objetos de la categoría abeliana subyacente). Entonces el cono es solo
(El texto inferior indica el grado de cada término.) La homología de este complejo es entonces
Esto no es un accidente y de hecho ocurre en todas las categorías t .
Cilindro de mapeo
Una noción relacionada es el cilindro de mapeo : dejemos ser un morfismo de complejos de cadenas, dejemos más ser el mapa natural. El cilindro de mapeo de f es por definición el cono de mapeo de g .
Inspiración topológica
Este complejo se llama cono en analogía al cono de mapeo (topología) de un mapa continuo de espacios topológicos. : el complejo de cadenas singulares del cono topológicoes homotopy equivalente al cono (en la cadena-complejo-sentido) del mapa de inducido de las cadenas singulares de X a Y . El cilindro de mapeo de un mapa de complejos está relacionado de manera similar con el cilindro de mapeo de mapas continuos.
Referencias
- Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
- Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. Señor 1269324 . OCLC 36131259 .
- Joeseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 ( consulte el capítulo 9 )