Espacio metrizable
En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio metrizable es un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico . Es decir, se dice que un espacio topológico es metrizable si hay una métrica tal que la topología inducida por es [1] [2] Los teoremas de metrización son teoremas que dan condiciones suficientes para que un espacio topológico sea metrizable.
Los espacios métricos heredan todas las propiedades topológicas de los espacios métricos. Por ejemplo, son espacios paracompactos de Hausdorff (y por lo tanto normales y Tychonoff ) y primeros contables . Sin embargo, no se puede decir que algunas propiedades de la métrica, como la completitud, sean heredadas. Esto también es cierto para otras estructuras vinculadas a la métrica. Un espacio uniforme metrizable , por ejemplo, puede tener un conjunto diferente de mapas de contracción que un espacio métrico al que es homeomórfico.
Uno de los primeros teoremas de metrización ampliamente reconocidos fue Teorema de metrización de Urysohn . Esto establece que cadasegundo espacio regularcontable deHausdorffes metrizable. Entonces, por ejemplo, cada segundocolectorcontablees metrizable. (Nota histórica: la forma del teorema que se muestra aquí fue de hecho probada porTychonoffen 1926. Lo queUrysohnhabía demostrado, en un artículo publicado póstumamente en 1925, era que cada segundoespacio de Hausdorff normal contablees metrizable). Lo contrario no es válido: existen espacios métricos que no son contables en segundo lugar, por ejemplo, un conjunto incontable dotado de la métrica discreta. [3] Elteorema de metrización de Nagata-Smirnov, que se describe a continuación, proporciona un teorema más específico donde se cumple lo contrario.
Varios otros teoremas de metrización siguen como simples corolarios del teorema de Urysohn. Por ejemplo, un espacio compacto de Hausdorff es metrizable si y solo si es segundo contable.
El teorema de Urysohn se puede reformular como: Un espacio topológico es separable y metrizable si y solo si es regular, de Hausdorff y contable en segundo lugar. El teorema de metrización de Nagata-Smirnov extiende esto al caso no separable. Establece que un espacio topológico es metrizable si y solo si es regular, Hausdorff y tiene una base σ-localmente finita. Una base σ-localmente finita es una base que es una unión de innumerables colecciones localmente finitas de conjuntos abiertos. Para conocer un teorema estrechamente relacionado, consulte el teorema de metrización de Bing .
Los espacios metrizables separables también se pueden caracterizar como aquellos espacios que son homeomorfos a un subespacio del cubo de Hilbert , es decir, el producto infinito numerable del intervalo unitario (con su topología subespacial natural de los reales) consigo mismo, dotado de la topología del producto .
