Mezcla (matemáticas)

Aplicación repetida del mapa del panadero a puntos de color rojo y azul, inicialmente separados. El mapa del panadero se está mezclando, mostrado por los puntos rojo y azul que se mezclan completamente después de varias iteraciones.

En las matemáticas , la mezcla es un concepto abstracto procedentes de la física : el intento de describir el irreversible proceso termodinámico de la mezcla en el mundo cotidiano: la mezcla de pintura, bebidas, mezclando mezclas industriales , etc .

El concepto aparece en la teoría ergódica: el estudio de procesos estocásticos y sistemas dinámicos que preservan la medida . Existen varias definiciones diferentes para la mezcla, incluida la mezcla fuerte , la mezcla débil y la mezcla topológica , y la última no requiere una medida para ser definida. Algunas de las diferentes definiciones de mezcla se pueden organizar en un orden jerárquico; por tanto, una mezcla fuerte implica una mezcla débil. Además, la mezcla débil (y por lo tanto también la mezcla fuerte) implica ergodicidad : es decir, todo sistema que se mezcla débilmente también es ergódico (y por eso se dice que mezclar es una noción "más fuerte" que la ergodicidad).

Explicación informal

La definición matemática de mezcla tiene como objetivo capturar el proceso de mezcla diario ordinario, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes de cocina, procesos industriales de mezcla , fumar en una habitación llena de humo, etc. Para proporcionar el rigor matemático, tales descripciones comienzan con la definición de un sistema dinámico que preserva la medida , escrito como${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$.

El conjunto ${\displaystyle X}$se entiende el espacio total a llenar: el vaso, la sala de humo, etc. La medida ${\displaystyle \mu }$ se entiende que define el volumen natural del espacio ${\displaystyle X}$y de sus subespacios. La colección de subespacios se denota por${\displaystyle {\mathcal {A}}}$y el tamaño de cualquier subconjunto dado ${\displaystyle A\subset X}$ es ${\displaystyle \mu (A)}$; el tamaño es su volumen. Ingenuamente, uno podría imaginar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$para ser el conjunto de poder de${\displaystyle X}$; esto no funciona del todo, ya que no todos los subconjuntos de un espacio tienen un volumen (famosa, la paradoja de Banach-Tarski ). Así, convencionalmente,${\displaystyle {\mathcal {A}}}$consta de los subconjuntos medibles, los subconjuntos que tienen un volumen. Siempre se considera un conjunto de Borel , la colección de subconjuntos que se pueden construir tomando intersecciones , uniones y complementos del conjunto ; estos siempre pueden considerarse medibles.

La evolución temporal del sistema se describe mediante un mapa. ${\displaystyle T:X\to X}$. Dado algún subconjunto${\displaystyle A\subset X}$, su mapa ${\displaystyle T(A)}$ será en general una versión deformada de ${\displaystyle A}$- se aplasta o se estira, se dobla o se corta en pedazos. Los ejemplos matemáticos incluyen el mapa del panadero y el mapa de la herradura , ambos inspirados en la panificación . El conjunto${\displaystyle T(A)}$ debe tener el mismo volumen que ${\displaystyle A}$; el aplastamiento / estiramiento no altera el volumen del espacio, solo su distribución. Tal sistema es "preservar la medida" (preservar el área, preservar el volumen).

Surge una dificultad formal cuando se intenta conciliar el volumen de los conjuntos con la necesidad de preservar su tamaño bajo un mapa. El problema surge porque, en general, varios puntos diferentes en el dominio de una función pueden mapear al mismo punto en su rango; es decir, puede haber${\displaystyle x\neq y}$ con ${\displaystyle T(x)=T(y)}$. Peor, un solo punto${\displaystyle x\in X}$no tiene tamaño. Estas dificultades se pueden evitar trabajando con el mapa inverso.${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$; mapeará cualquier subconjunto dado${\displaystyle A\subset X}$ a las partes que fueron ensambladas para hacerlo: estas partes son ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$. Tiene la importante propiedad de no "perder de vista" el origen de las cosas. Más fuertemente, tiene la propiedad importante de que cualquier mapa (preservador de medidas)${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ es el inverso de algún mapa ${\displaystyle X\to X}$. La definición adecuada de un mapa que preserva el volumen es aquella para la cual${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$ porque ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ describe todas las piezas-partes que ${\displaystyle A}$ vino de.

Ahora uno está interesado en estudiar la evolución temporal del sistema. Si un conjunto${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ eventualmente visita todos ${\displaystyle X}$ durante un largo período de tiempo (es decir, si ${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$ se acerca a todos ${\displaystyle X}$ para grande ${\displaystyle n}$), se dice que el sistema es ergódico . Si cada set${\displaystyle A}$se comporta de esta manera, el sistema es un sistema conservador , colocado en contraste con un sistema disipativo , donde algunos subconjuntos${\displaystyle A}$ deambular , para no volver nunca más. Un ejemplo sería el agua que corre cuesta abajo: una vez que se agota, nunca volverá a subir. Sin embargo, el lago que se forma en el fondo de este río puede mezclarse bien. El teorema de la descomposición ergódica establece que todo sistema ergódico se puede dividir en dos partes: la parte conservadora y la parte disipativa.

La mezcla es una declaración más fuerte que la ergodicidad. La mezcla pide que esta propiedad ergódica se mantenga entre dos conjuntos cualesquiera${\displaystyle A,B}$, y no solo entre algunos conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle X}$. Es decir, dados dos conjuntos${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$, se dice que un sistema se mezcla (topológicamente) si hay un número entero ${\displaystyle N}$ tal que, para todos ${\displaystyle A,B}$ y ${\displaystyle n>N}$, uno tiene eso ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$. Aquí,${\displaystyle \cap }$denota la intersección del conjunto y${\displaystyle \varnothing }$es el conjunto vacío .

La definición anterior de mezcla topológica debería ser suficiente para proporcionar una idea informal de mezcla (es equivalente a la definición formal, dada a continuación). Sin embargo, no mencionó el volumen de${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$y, de hecho, hay otra definición que trabaja explícitamente con el volumen. Varios, de hecho; uno tiene tanto una mezcla fuerte como una mezcla débil; no son equivalentes, aunque un sistema de mezcla fuerte siempre mezcla débilmente. Las definiciones basadas en medidas no son compatibles con la definición de mezcla topológica: hay sistemas que son uno, pero no el otro. La situación general permanece turbia: por ejemplo, dados tres conjuntos${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$, se puede definir 3-mezcla. A partir de 2020, no se sabe si 2 mezclas implica 3 mezclas. (Si uno piensa en la ergodicidad como "1-mezcla", entonces está claro que 1-mezcla no implica 2-mezcla; hay sistemas que son ergódicos pero no mezcla.)

El concepto de mezcla fuerte se hace en referencia al volumen de un par de juegos. Considere, por ejemplo, un conjunto${\displaystyle A}$de tinte de color que se mezcla en una taza de algún tipo de líquido pegajoso, por ejemplo, jarabe de maíz, champú o similar. La experiencia práctica muestra que mezclar líquidos pegajosos puede ser bastante difícil: por lo general, en algún rincón del recipiente es difícil mezclar el tinte. Elegir como conjunto${\displaystyle B}$esa esquina de difícil acceso. La cuestión de la mezcla es entonces, ¿puede${\displaystyle A}$, después de un período de tiempo suficientemente largo, no solo penetra en ${\displaystyle B}$ pero también llenar ${\displaystyle B}$ en la misma proporción que en otros lugares?

Uno expresa la definición de mezcla fuerte como el requisito de que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

El parámetro de tiempo ${\displaystyle n}$ sirve para separar ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ en el tiempo, para que uno se mezcle ${\displaystyle A}$ mientras sostiene el volumen de prueba ${\displaystyle B}$reparado. El producto${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$es un poco más sutil. Imagina que el volumen${\displaystyle B}$ es el 10% del volumen total, y que el volumen de tinte ${\displaystyle A}$también será el 10% del gran total. Si${\displaystyle A}$ se distribuye uniformemente, entonces ocupa el 10% de ${\displaystyle B}$, que a su vez es el 10% del total, por lo que, al final, después de mezclar, la parte de ${\displaystyle A}$ que esta en ${\displaystyle B}$es el 1% del volumen total. Eso es,${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$Este producto de volúmenes tiene una semejanza más que pasajera con el teorema de Bayes en probabilidades; esto no es un accidente, sino más bien una consecuencia de que la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad son la misma teoría: comparten los mismos axiomas (los axiomas de Kolmogorov ), incluso cuando usan notación diferente.

La razón para usar ${\displaystyle T^{-n}A}$ en lugar de ${\displaystyle T^{n}A}$ en la definición es un poco sutil, pero se sigue de las mismas razones por las que ${\displaystyle T^{-1}A}$se utilizó para definir el concepto de mapa de preservación de medidas. Al mirar la cantidad de tinte que se mezcló en la esquina${\displaystyle B}$, uno quiere ver de dónde "vino" ese tinte (presumiblemente, se vertió en la parte superior, en algún momento del pasado). Uno debe estar seguro de que todos los lugares de donde podría haber "venido" eventualmente se mezclen${\displaystyle B}$.

Mezcla en sistemas dinámicos

Dejar ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ser un sistema dinámico que preserva la medida , siendo T el operador de cambio o evolución en el tiempo . Se dice que el sistema es una mezcla fuerte si, para cualquier${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$, uno tiene

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Para cambios parametrizados por una variable continua en lugar de un entero discreto n , se aplica la misma definición, con${\displaystyle T^{-n}}$ reemplazado por ${\displaystyle T_{g}}$siendo g el parámetro de tiempo continuo.

Se dice que un sistema dinámico es una mezcla débil si uno tiene

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

En otras palabras, ${\displaystyle T}$ es una mezcla fuerte si ${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$ en el sentido habitual, mezcla débil si

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

en el sentido Cesàro , y ergódico si${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$en el sentido Cesàro. Por lo tanto, una mezcla fuerte implica una mezcla débil, lo que implica ergodicidad. Sin embargo, lo contrario no es cierto: existen sistemas dinámicos ergódicos que no se mezclan débilmente, y sistemas dinámicos que mezclan débilmente que no se mezclan fuertemente. El sistema Chacón fue históricamente el primer ejemplo dado de un sistema de mezcla débil pero no de mezcla fuerte. ^[1]

${\displaystyle L^{2}}$formulación

Las propiedades de ergodicidad, mezcla débil y mezcla fuerte de un sistema dinámico que preserva la medida también se pueden caracterizar por el promedio de observables. Según el teorema ergódico de von Neumann, la ergodicidad de un sistema dinámico${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ es equivalente a la propiedad que, para cualquier función ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$, la secuencia ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ converge fuertemente y en el sentido de Cesàro a ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$, es decir,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\|{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}f\circ T^{n}-\int _{X}f\,d\mu \right\|_{L^{2}(X,\mu )}=0.}$

Un sistema dinámico ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ se mezcla débilmente si, para cualquier función ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}\left|\int _{X}f\circ T^{n}\cdot gd\mu -\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu \right|=0.}$

Un sistema dinámico ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ se mezcla fuertemente si, para cualquier función ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu ),}$ la secuencia ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ converge débilmente a ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu ,}$ es decir, para cualquier función ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu .}$

Dado que se supone que el sistema conserva la medida, esta última línea equivale a decir que la covarianza ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Cov} (f\circ T^{n},g)=0,}$ para que las variables aleatorias ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ y ${\displaystyle g}$ volverse ortogonal como ${\displaystyle n}$crece. En realidad, dado que esto funciona para cualquier función${\displaystyle g,}$ informalmente se puede ver la mezcla como la propiedad de que las variables aleatorias ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ y ${\displaystyle g}$ volverse independiente como ${\displaystyle n}$ crece.

Productos de sistemas dinámicos

Dados dos sistemas dinámicos medidos ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ y ${\displaystyle (Y,\nu ,S),}$ se puede construir un sistema dinámico ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ en el producto cartesiano definiendo ${\displaystyle (T\times S)(x,y)=(T(x),S(y)).}$ Luego tenemos las siguientes caracterizaciones de mezcla débil:

Proposición. Un sistema dinámico${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ se mezcla débilmente si y solo si, para cualquier sistema dinámico ergódico ${\displaystyle (Y,\nu ,S)}$, el sistema ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ también es ergódico.

Proposición. Un sistema dinámico${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ se mezcla débilmente si y solo si ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$también es ergódico. Si este es el caso, entonces${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$ también se está mezclando débilmente.

Generalizaciones

La definición dada arriba a veces se llama fuerte mezcla 2 , para distinguirla de órdenes superiores de mezcla. Un sistema de 3 mezclas fuerte puede definirse como un sistema para el cual

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }\mu (A\cap T^{-m}B\cap T^{-m-n}C)=\mu (A)\mu (B)\mu (C)}$

se cumple para todos los conjuntos medibles A , B , C . Podemos definir una fuerte mezcla de k de manera similar. Un sistema que es fuerte k - mezcla para todo k  = 2,3,4, ... se llama mezcla de todos los órdenes .

Se desconoce si una mezcla 2 fuerte implica una mezcla 3 fuerte. Se sabe que una mezcla de m fuerte implica ergodicidad .

Ejemplos

Las rotaciones irracionales del círculo, y más generalmente las traslaciones irreductibles en un toro, son ergódicas pero no se mezclan ni fuerte ni débilmente con respecto a la medida de Lebesgue.

Muchos mapas considerados caóticos se mezclan fuertemente para alguna medida invariante bien elegida, que incluyen: el mapa diádico , el mapa del gato de Arnold , los mapas de herradura , los automorfismos de Kolmogorov y el flujo de Anosov (el flujo geodésico en el paquete unitario tangente de variedades compactas de negativos curvatura .)

Mezcla topológica

Una forma de mezcla puede definirse sin apelar a una medida , utilizando solo la topología del sistema. Un mapa continuo ${\displaystyle f:X\to X}$se dice que es topológicamente transitivo si, para cada par de conjuntos abiertos no vacíos ${\displaystyle A,B\subset X}$, existe un número entero n tal que

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

donde ${\displaystyle f^{n}}$es el n º iterate de f . En la teoría del operador , un operador lineal acotado topológicamente transitivo (un mapa lineal continuo en un espacio vectorial topológico ) generalmente se denomina operador hipercíclico . El conjunto errante expresa una idea relacionada .

Lema: si X es un espacio métrico completo sin un punto aislado , entonces f es topológicamente transitiva si y solo si existe un punto hipercíclico ${\displaystyle x\in X}$, es decir, un punto x tal que su órbita${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$es denso en X .

Se dice que un sistema se mezcla topológicamente si, dados conjuntos abiertos${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, existe un entero N , tal que, para todos${\displaystyle n>N}$, uno tiene

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$

Para un sistema de tiempo continuo, ${\displaystyle f^{n}}$es reemplazado por el flujo ${\displaystyle \varphi _{g}}$, siendo g el parámetro continuo, con el requisito de que una intersección no vacía se mantenga para todos${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$.

Una mezcla topológica débil es aquella que no tiene funciones propias continuas no constantes (con respecto a la topología) del operador de turno.

La mezcla topológica no implica ni está implicada por una mezcla débil o fuerte: hay ejemplos de sistemas que tienen una mezcla débil pero no una mezcla topológica, y ejemplos que se mezclan topológicamente pero no una mezcla fuerte.

Mezcla de procesos estocásticos

Dejar ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ser un proceso estocástico en un espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. El espacio de secuencia en el que se mapea el proceso se puede dotar de una topología, la topología del producto . Los conjuntos abiertos de esta topología se denominan conjuntos de cilindros . Estos conjuntos de cilindros generan un σ-álgebra , el σ-álgebra de Borel ; esta es la σ-álgebra más pequeña que contiene la topología.

Definir una función ${\displaystyle \alpha }$, llamado coeficiente de mezcla fuerte , como

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

para todos ${\displaystyle -\infty <s<\infty }$. El símbolo${\displaystyle X_{a}^{b}}$, con ${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$denota un sub-σ-álgebra del σ-álgebra; es el conjunto de los conjuntos de cilindro que se especifican entre los tiempos a y b , es decir, la σ-álgebra generada por${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$.

El proceso ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$se dice que se mezcla fuertemente si${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$ como ${\displaystyle s\to \infty }$. Es decir, un proceso de mezcla fuerte es tal que, de manera uniforme en todos los tiempos${\displaystyle t}$ y todos los eventos, los eventos antes de tiempo ${\displaystyle t}$ y los eventos después del tiempo ${\displaystyle t+s}$tienden a ser independientes como${\displaystyle s\to \infty }$; más coloquialmente, el proceso, en un sentido fuerte, olvida su historia.

Mezcla en procesos de Markov

Suponer ${\displaystyle (X_{t})}$eran un proceso de Markov estacionario con distribución estacionaria${\displaystyle \mathbb {Q} }$ y deja ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} )}$ denotar el espacio de funciones medibles de Borel que son integrables al cuadrado con respecto a la medida ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. También deja

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)=\mathbb {E} [\varphi (X_{t})\mid X_{0}=x]}$

denotar el operador de expectativa condicional en ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} ).}$ Finalmente, deja

${\displaystyle Z=\left\{\varphi \in L^{2}(\mathbb {Q} ):\int \varphi \,d\mathbb {Q} =0\right\}}$

denotar el espacio de funciones cuadradas integrables con media cero.

Los coeficientes de mezcla ρ del proceso { x _t } son

${\displaystyle \rho _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\,\|\varphi \|_{2}=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{2}.}$

El proceso se llama ρ -mezclado si estos coeficientes convergen a cero cuando t → ∞ , y “ ρ -mezclado con tasa de decaimiento exponencial” si ρ _t < e ^{- δt} para algún δ > 0 . Para un proceso de Markov estacionario, los coeficientes ρ _t pueden disminuir a una tasa exponencial o ser siempre iguales a uno. ^[2]

Los coeficientes de mezcla α del proceso { x _t } son

${\displaystyle \alpha _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\|\varphi \|_{\infty }=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{1}.}$

El proceso se llama α -Mezcla si estos coeficientes convergen a cero como t → ∞ , es “α-mezcla con velocidad de decaimiento exponencial” si α _t < γe ^{- ? T} para algunos δ > 0 , y se α-mezclando con una tasa de disminución sub-exponencial si α _t < ξ ( t ) para alguna función no creciente${\displaystyle \xi }$ satisfactorio

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

como ${\displaystyle t\to \infty }$. ^[2]

Los coeficientes de α- mezcla son siempre menores que los de ρ -mezcla: α _t ≤ ρ _t , por lo tanto, si el proceso es ρ -mezcla, necesariamente será α- mezcla también. Sin embargo, cuando ρ _t = 1 , el proceso aún puede ser una mezcla α , con una tasa de caída sub-exponencial.

Los coeficientes de mezcla β están dados por

${\displaystyle \beta _{t}=\int \sup _{0\leq \varphi \leq 1}\left|{\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)-\int \varphi \,d\mathbb {Q} \right|\,d\mathbb {Q} .}$

El proceso se llama β -Mezcla si estos coeficientes convergen a cero como t → ∞ , es β-mezcla con una tasa de decaimiento exponencial si β _t < γe ^{- ? T} para algunos δ > 0 , y se β-mezcla con un sub -tasa de decaimiento exponencial si β _t ξ ( t ) → 0 cuando t → ∞ para alguna función no creciente${\displaystyle \xi }$ satisfactorio

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

como ${\displaystyle t\to \infty }$. ^[2]

Un proceso de Markov estrictamente estacionario es una mezcla β si y solo si es una cadena de Harris recurrente aperiódica . Los coeficientes de β- mezcla son siempre mayores que los de α- mezcla, por lo que si un proceso es β- mezcla, también será α- mezcla. No existe una relación directa entre β -mezclado y ρ -mezclado: ninguno de los dos implica al otro.

Referencias

• VI Arnold y A. Avez, Problemas ergódicos de la mecánica clásica , (1968) WA Benjamin, Inc.
• Achim Klenke, Teoría de la probabilidad , (2006) Springer ISBN  978-1-84800-047-6
• Chen, Xiaohong; Hansen, Lars Peter; Carrasco, Marino (2010). "No linealidad y dependencia temporal". Revista de Econometría . 155 (2): 155-169. CiteSeerX  10.1.1.597.8777 . doi : 10.1016 / j.jeconom.2009.10.001 . S2CID  10567129 .

1. Matthew Nicol y Karl Petersen, (2009) " Teoría ergódica: construcciones y ejemplos básicos ", Enciclopedia de la complejidad y la ciencia de sistemas , Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
2. Chen, Hansen y Carrasco (2010)