En álgebra lineal , un mapa multilineal es una función de varias variables que es lineal por separado en cada variable. Más precisamente, un mapa multilineal es una función
dónde y son espacios vectoriales (o módulos sobre un anillo conmutativo ), con la siguiente propiedad: para cada, si todas las variables pero se mantienen constantes, entonces es una función lineal de. [1]
Un mapa multilineal de una variable es un mapa lineal y de dos variables es un mapa bilineal . De manera más general, un mapa multilineal de k variables se denomina mapa k- lineal . Si el codominio de un mapa multilineal es el campo de escalares, se denomina forma multilineal . Los mapas multilineales y las formas multilineales son objetos fundamentales de estudio en el álgebra multilineal .
Si todas las variables pertenecen al mismo espacio, se pueden considerar mapas k- lineales simétricos , antisimétricos y alternos . Estos últimos coinciden si el anillo (o campo ) subyacente tiene una característica diferente de dos, de lo contrario los dos primeros coinciden.
Ejemplos de- Cualquier mapa bilineal es un mapa multilineal. Por ejemplo, cualquier producto interno en un espacio vectorial es un mapa multilineal, como lo es el producto cruzado de vectores en.
- El determinante de una matriz es una función multilineal alterna de las columnas (o filas) de una matriz cuadrada .
- Si es una función C k , entonces lath derivada de en cada punto en su dominio puede verse como un simétrico -función lineal .
Representación coordinadaDejar
ser un mapa multilineal entre espacios vectoriales de dimensión finita, donde tiene dimensión , y tiene dimensión . If we choose a basis for each and a basis for (using bold for vectors), then we can define a collection of scalars by
Then the scalars completely determine the multilinear function . In particular, if
for , then
EjemploLet's take a trilinear function
where Vi = R2, di = 2, i = 1,2,3, and W = R, d = 1.
A basis for each Vi is Let
where . In other words, the constant is a function value at one of the eight possible triples of basis vectors (since there are two choices for each of the three ), namely:
Each vector can be expressed as a linear combination of the basis vectors
The function value at an arbitrary collection of three vectors can be expressed as
Or, in expanded form as
Relación con los productos tensorialesThere is a natural one-to-one correspondence between multilinear maps
and linear maps
where denotes the tensor product of . The relation between the functions and is given by the formula
Funciones multilineales en matrices n × nOne can consider multilinear functions, on an n×n matrix over a commutative ring K with identity, as a function of the rows (or equivalently the columns) of the matrix. Let A be such a matrix and ai, 1 ≤ i ≤ n, be the rows of A. Then the multilinear function D can be written as
satisfying
If we let represent the jth row of the identity matrix, we can express each row ai as the sum
Using the multilinearity of D we rewrite D(A) as
Continuing this substitution for each ai we get, for 1 ≤ i ≤ n,
where, since in our case 1 ≤ i ≤ n,
is a series of nested summations.
Therefore, D(A) is uniquely determined by how D operates on .
EjemploIn the case of 2×2 matrices we get
Where and . If we restrict to be an alternating function then and . Letting we get the determinant function on 2×2 matrices:
Propiedades- A multilinear map has a value of zero whenever one of its arguments is zero.
Ver tambiénReferencias