La ecuación de Pell , también llamada ecuación de Pell-Fermat , es cualquier ecuación diofántica de la formadonde n es un entero no cuadrado positivo dado y se buscan soluciones enteras para x e y . En coordenadas cartesianas , la ecuación está representada por una hipérbola ; soluciones se producen donde la curva pasa a través de un punto cuya x y Y coordenadas son enteros, tales como la solución trivial con x = 1 y Y = 0. Joseph Louis Lagrange demostraron que, siempre que n no es un cuadrado perfecto, La ecuación de Pell tiene infinitas soluciones enteras distintas. Estas soluciones pueden usarse para aproximar con precisión la raíz cuadrada de n mediante números racionales de la forma x / y .
Esta ecuación se estudió ampliamente por primera vez en la India a partir de Brahmagupta , [1] quien encontró una solución entera paraen su Brāhmasphuṭasiddhānta circa 628. [2] Bhaskara II en el siglo XII y Narayana Pandit en el siglo XIV encontraron soluciones generales a la ecuación de Pell y otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas. A Bhaskara II generalmente se le atribuye el desarrollo del método chakravala , basándose en el trabajo de Jayadeva y Brahmagupta. Las soluciones a ejemplos específicos de la ecuación de Pell, como los números de Pell que surgen de la ecuación con n = 2, se conocen desde hace mucho más tiempo, desde la época de Pitágoras en Grecia y una fecha similar en la India. William Brouncker fue el primer europeo en resolver la ecuación de Pell. El nombre de la ecuación de Pell surgió de Leonhard Euler al atribuir erróneamente la solución de Brouncker de la ecuación a John Pell . [3] [4] [nota 1]
Historia
Ya en el año 400 a. C. en India y Grecia , los matemáticos estudiaron los números que surgen del caso n = 2 de la ecuación de Pell,
y de la ecuación estrechamente relacionada
debido a la conexión de estas ecuaciones con la raíz cuadrada de 2 . [5] En efecto, si x y y son enteros positivos que satisfacen esta ecuación, entonces x / y es una aproximación de √ 2 . El número x y y que aparece en estas aproximaciones, llamado números secundarios y diámetro , se sabe que los pitagóricos , y Proclo observa que en la dirección opuesta estos números obedecidas una de estas dos ecuaciones. [5] De manera similar, Baudhayana descubrió que x = 17, y = 12 y x = 577, y = 408 son dos soluciones de la ecuación de Pell, y que 17/12 y 577/408 son aproximaciones muy cercanas a la raíz cuadrada de 2 . [6]
Más tarde, Arquímedes aproximó la raíz cuadrada de 3 por el número racional 1351/780. Aunque no explicó sus métodos, esta aproximación se puede obtener de la misma manera, como solución a la ecuación de Pell. [5] Del mismo modo, el problema del ganado de Arquímedes, un antiguo problema verbal sobre cómo encontrar el número de ganado perteneciente al dios del sol Helios , se puede resolver reformulándolo como una ecuación de Pell. El manuscrito que contiene el problema afirma que fue ideado por Arquímedes y registrado en una carta a Eratóstenes , [7] y la atribución a Arquímedes es generalmente aceptada en la actualidad. [8] [9]
Alrededor del 250 d.C., Diofanto consideró la ecuación
donde un y c son números y fijos x y y son las variables que hay que resolver para. Esta ecuación es diferente en forma de la ecuación de Pell pero equivalente a ella. Diofanto resolvió la ecuación para ( a , c ) igual a (1, 1), (1, −1), (1, 12) y (3, 9). Al-Karaji , un matemático persa del siglo X, trabajó en problemas similares a los de Diofanto. [10]
En las matemáticas indias, Brahmagupta descubrió que
una forma de lo que ahora se conoce como identidad de Brahmagupta . Usando esto, pudo "componer" triples y que fueron soluciones de , para generar los nuevos triples
- y
Esto no solo dio una forma de generar infinitas soluciones para comenzando con una solución, sino también, dividiendo dicha composición por , a menudo se pueden obtener soluciones enteras o "casi enteras". Por ejemplo, para, Brahmagupta compuso el triple (10, 1, 8) (ya que ) consigo mismo para obtener el nuevo triple (192, 20, 64). Dividiendo por 64 ('8' para y ) dio el triple (24, 5/2, 1), que cuando se compuso consigo mismo dio la solución entera deseada (1151, 120, 1). Brahmagupta resolvió muchas ecuaciones de Pell con este método, demostrando que da soluciones a partir de una solución entera depara k = ± 1, ± 2 o ± 4. [11]
El primer método general para resolver la ecuación de Pell (para todo N ) fue dado por Bhāskara II en 1150, ampliando los métodos de Brahmagupta. Llamado método chakravala (cíclico) , comienza eligiendo dos enteros relativamente primos y , luego componiendo el triple (es decir, uno que satisfaga ) con el triple trivial para conseguir el triple , que se puede reducir a
Cuándo es elegido para que es un número entero, también lo son los otros dos números en el triple. Entre tales, el método elige uno que minimiza y repite el proceso. Este método siempre termina con una solución (probado por Joseph-Louis Lagrange en 1768). Bhaskara lo usó para dar la solución x = 1766319049, y = 226153980 al caso N = 61. [11]
Varios matemáticos europeos redescubrieron cómo resolver la ecuación de Pell en el siglo XVII, aparentemente sin saber que se había resuelto casi quinientos años antes en la India. Pierre de Fermat descubrió cómo resolver la ecuación y en una carta de 1657 la publicó como un desafío para los matemáticos ingleses. [12] En una carta a Kenelm Digby , Bernard Frénicle de Bessy dijo que Fermat encontró la solución más pequeña para N hasta 150, y desafió a John Wallis a resolver los casos N = 151 o 313. Tanto Wallis como William Brouncker dieron soluciones a estos problemas, aunque Wallis sugiere en una carta que la solución se debe a Brouncker. [13]
La conexión de John Pell con la ecuación es que revisó la traducción de Thomas Branker [14] del libro Teutsche Algebra [nota 2] de Johann Rahn de 1659 al inglés, con una discusión de la solución de la ecuación de Brouncker. Leonhard Euler pensó erróneamente que esta solución se debía a Pell, por lo que nombró la ecuación en honor a Pell. [4]
La teoría general de la ecuación de Pell, basada en fracciones continuas y manipulaciones algebraicas con números de la formafue desarrollado por Lagrange en 1766-1769. [15]
Soluciones
Solución fundamental a través de fracciones continuas
Dejar denotar la secuencia de convergentes a la fracción continua regular para. Esta secuencia es única. Entonces la parejaResolver la ecuación de Pell y minimizar x satisface x 1 = h i y y 1 = k i para algún i . Este par se llama solución fundamental . Por lo tanto, la solución fundamental se puede encontrar realizando la expansión fraccionaria continua y probando cada convergente sucesivo hasta que se encuentre una solución a la ecuación de Pell. [dieciséis]
El tiempo para encontrar la solución fundamental usando el método de fracción continua, con la ayuda del algoritmo de Schönhage-Strassen para la multiplicación rápida de números enteros, está dentro de un factor logarítmico del tamaño de la solución, el número de dígitos en el par.. Sin embargo, este no es un algoritmo de tiempo polinomial porque el número de dígitos en la solución puede ser tan grande como √ n , mucho más grande que un polinomio en el número de dígitos del valor de entrada n . [17]
Soluciones adicionales de la solución fundamental
Una vez que se encuentra la solución fundamental, todas las soluciones restantes se pueden calcular algebraicamente a partir de
- [17]
expandiendo el lado derecho, igualando coeficientes deen ambos lados, e igualando los otros términos en ambos lados. Esto produce las relaciones de recurrencia
Representación concisa y algoritmos más rápidos
Aunque escribir la solución fundamental ( x 1 , y 1 ) como un par de números binarios puede requerir una gran cantidad de bits, en muchos casos puede representarse de manera más compacta en la forma
utilizando números enteros mucho más pequeños a i , b i y c i .
Por ejemplo, el problema del ganado de Arquímedes es equivalente a la ecuación de Pell, cuya solución fundamental tiene 206545 dígitos si se escribe explícitamente. Sin embargo, la solución también es igual a
dónde
y y solo tienen 45 y 41 dígitos decimales, respectivamente. [17]
Los métodos relacionados con el enfoque de tamiz cuadrático para la factorización de enteros pueden usarse para recopilar relaciones entre números primos en el campo numérico generado por √ n , y combinar estas relaciones para encontrar una representación de producto de este tipo. El algoritmo resultante para resolver la ecuación de Pell es más eficiente que el método de fracción continua, aunque todavía requiere más tiempo que el polinomio. Bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann generalizada , se puede demostrar que toma tiempo
donde N = log n es el tamaño de entrada, de manera similar al tamiz cuadrático. [17]
Algoritmos cuánticos
Hallgren demostró que una computadora cuántica puede encontrar una representación de producto, como se describió anteriormente, para la solución de la ecuación de Pell en tiempo polinomial. [18] El algoritmo de Hallgren, que puede interpretarse como un algoritmo para encontrar el grupo de unidades de un campo numérico cuadrático real , fue extendido a campos más generales por Schmidt y Völlmer. [19]
Ejemplo
Como ejemplo, considere el caso de la ecuación de Pell para n = 7; es decir,
La secuencia de convergentes para la raíz cuadrada de siete son
h / k (convergente) h 2 - 7 k 2 (tipo Pell aproximación) 2/1 −3 3/1 +2 5/2 −3 8/3 +1
Por tanto, la solución fundamental está formada por el par (8, 3). Aplicar la fórmula de recurrencia a esta solución genera la secuencia infinita de soluciones
- (1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (secuencia A001081 ( x ) y A001080 ( y ) en OEIS )
La solución más pequeña puede ser muy grande. Por ejemplo, la solución más pequeña paraes (32188120829134849, 1819380158564160), y esta es la ecuación que Frenicle desafió a Wallis a resolver. [20] Valores de n tales que la solución más pequeña dees mayor que la solución más pequeña para cualquier valor menor de n son
- 1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949, ... (secuencia A033316 en la OEIS ).
(Para estos registros, ver OEIS : A033315 para x y OEIS : A033319 para y .)
Lista de soluciones fundamentales de las ecuaciones de Pell
La siguiente es una lista de la solución fundamental para con n ≤ 128. Para n cuadrado , no hay solución excepto (1, 0). Los valores de x son la secuencia A002350 y los de y son la secuencia A002349 en OEIS .
norte | X | y |
---|---|---|
1 | - | - |
2 | 3 | 2 |
3 | 2 | 1 |
4 | - | - |
5 | 9 | 4 |
6 | 5 | 2 |
7 | 8 | 3 |
8 | 3 | 1 |
9 | - | - |
10 | 19 | 6 |
11 | 10 | 3 |
12 | 7 | 2 |
13 | 649 | 180 |
14 | 15 | 4 |
15 | 4 | 1 |
dieciséis | - | - |
17 | 33 | 8 |
18 | 17 | 4 |
19 | 170 | 39 |
20 | 9 | 2 |
21 | 55 | 12 |
22 | 197 | 42 |
23 | 24 | 5 |
24 | 5 | 1 |
25 | - | - |
26 | 51 | 10 |
27 | 26 | 5 |
28 | 127 | 24 |
29 | 9801 | 1820 |
30 | 11 | 2 |
31 | 1520 | 273 |
32 | 17 | 3 |
norte | X | y |
---|---|---|
33 | 23 | 4 |
34 | 35 | 6 |
35 | 6 | 1 |
36 | - | - |
37 | 73 | 12 |
38 | 37 | 6 |
39 | 25 | 4 |
40 | 19 | 3 |
41 | 2049 | 320 |
42 | 13 | 2 |
43 | 3482 | 531 |
44 | 199 | 30 |
45 | 161 | 24 |
46 | 24335 | 3588 |
47 | 48 | 7 |
48 | 7 | 1 |
49 | - | - |
50 | 99 | 14 |
51 | 50 | 7 |
52 | 649 | 90 |
53 | 66249 | 9100 |
54 | 485 | 66 |
55 | 89 | 12 |
56 | 15 | 2 |
57 | 151 | 20 |
58 | 19603 | 2574 |
59 | 530 | 69 |
60 | 31 | 4 |
61 | 1766319049 | 226153980 |
62 | 63 | 8 |
63 | 8 | 1 |
64 | - | - |
norte | X | y |
---|---|---|
sesenta y cinco | 129 | dieciséis |
66 | sesenta y cinco | 8 |
67 | 48842 | 5967 |
68 | 33 | 4 |
69 | 7775 | 936 |
70 | 251 | 30 |
71 | 3480 | 413 |
72 | 17 | 2 |
73 | 2281249 | 267000 |
74 | 3699 | 430 |
75 | 26 | 3 |
76 | 57799 | 6630 |
77 | 351 | 40 |
78 | 53 | 6 |
79 | 80 | 9 |
80 | 9 | 1 |
81 | - | - |
82 | 163 | 18 |
83 | 82 | 9 |
84 | 55 | 6 |
85 | 285769 | 30996 |
86 | 10405 | 1122 |
87 | 28 | 3 |
88 | 197 | 21 |
89 | 500001 | 53000 |
90 | 19 | 2 |
91 | 1574 | 165 |
92 | 1151 | 120 |
93 | 12151 | 1260 |
94 | 2143295 | 221064 |
95 | 39 | 4 |
96 | 49 | 5 |
norte | X | y |
---|---|---|
97 | 62809633 | 6377352 |
98 | 99 | 10 |
99 | 10 | 1 |
100 | - | - |
101 | 201 | 20 |
102 | 101 | 10 |
103 | 227528 | 22419 |
104 | 51 | 5 |
105 | 41 | 4 |
106 | 32080051 | 3115890 |
107 | 962 | 93 |
108 | 1351 | 130 |
109 | 158070671986249 | 15140424455100 |
110 | 21 | 2 |
111 | 295 | 28 |
112 | 127 | 12 |
113 | 1204353 | 113296 |
114 | 1025 | 96 |
115 | 1126 | 105 |
116 | 9801 | 910 |
117 | 649 | 60 |
118 | 306917 | 28254 |
119 | 120 | 11 |
120 | 11 | 1 |
121 | - | - |
122 | 243 | 22 |
123 | 122 | 11 |
124 | 4620799 | 414960 |
125 | 930249 | 83204 |
126 | 449 | 40 |
127 | 4730624 | 419775 |
128 | 577 | 51 |
Conexiones
La ecuación de Pell tiene conexiones con varias otras materias importantes de las matemáticas.
Teoría algebraica de números
La ecuación de Pell está estrechamente relacionada con la teoría de los números algebraicos , ya que la fórmula
es la norma para el anillo y para el campo cuadrático estrechamente relacionado . Por tanto, un par de enteros resuelve la ecuación de Pell si y solo si es una unidad con norma 1 en. [21] Teorema de la unidad de Dirichlet , que todas las unidades depuede expresarse como potencias de una sola unidad fundamental (y multiplicación por un signo), es una reformulación algebraica del hecho de que todas las soluciones de la ecuación de Pell pueden generarse a partir de la solución fundamental. [22] En general, la unidad fundamental se puede encontrar resolviendo una ecuación similar a Pell, pero no siempre corresponde directamente a la solución fundamental de la ecuación de Pell en sí, porque la unidad fundamental puede tener la norma -1 en lugar de 1 y sus coeficientes pueden ser medio enteros en lugar de enteros.
Polinomios de Chebyshev
Demeyer menciona una conexión entre la ecuación de Pell y los polinomios de Chebyshev : Si y son los polinomios de Chebyshev del primer y segundo tipo, respectivamente, entonces estos polinomios satisfacen una forma de la ecuación de Pell en cualquier anillo polinomial , con : [23]
Por lo tanto, estos polinomios se pueden generar mediante la técnica estándar para las ecuaciones de Pell de tomar potencias de una solución fundamental:
Además, se puede observar que, si son las soluciones de cualquier ecuación de Pell entera, entonces y . [24]
Fracciones continuas
Un desarrollo general de soluciones de la ecuación de Pell. en términos de fracciones continuas dese pueden presentar, como las soluciones x y y son aproximados a la raíz cuadrada de n y por lo tanto son un caso especial de aproximaciones fracción continua para irracionales cuadráticos . [dieciséis]
La relación con las fracciones continuas implica que las soluciones de la ecuación de Pell forman un subconjunto de semigrupo del grupo modular . Así, por ejemplo, si p y q la ecuación de satisfacer Pell, entonces
es una matriz de unidad determinante . Los productos de tales matrices toman exactamente la misma forma y, por lo tanto, todos esos productos dan soluciones a la ecuación de Pell. Esto puede entenderse en parte como resultado del hecho de que los sucesivos convergentes de una fracción continua comparten la misma propiedad: si p k −1 / q k −1 y p k / q k son dos convergentes sucesivos de una fracción continua, entonces el matriz
tiene determinante (−1) k .
Números suaves
El teorema de Størmer aplica las ecuaciones de Pell para encontrar pares de números suaves consecutivos , enteros positivos cuyos factores primos son todos menores que un valor dado. [25] [26] Como parte de esta teoría, Størmer también investigó las relaciones de divisibilidad entre las soluciones de la ecuación de Pell; en particular, mostró que cada solución distinta de la solución fundamental tiene un factor primo que no divide n . [25]
La ecuación de Pell negativa
La ecuación de Pell negativa está dada por
También se ha estudiado extensamente; se puede resolver con el mismo método de fracciones continuas y tendrá soluciones si y solo si el período de la fracción continua tiene una longitud impar. Sin embargo, no se sabe qué raíces tienen períodos impares y, por lo tanto, no se sabe cuándo se puede resolver la ecuación de Pell negativa. Una condición necesaria (pero no suficiente) para la capacidad de solución es que n no sea divisible por 4 o por un número primo de la forma 4 k + 3. [nota 3] Así, por ejemplo, x 2 - 3 ny 2 = −1 nunca se puede resolver , pero x 2 - 5 ny 2 = -1 sea. [27]
Los primeros números n para los cuales x 2 - ny 2 = −1 se puede resolver son
- 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (secuencia A031396 en el OEIS ).
La proporción de n libres de cuadrados divisibles por k primos de la forma 4 m + 1 para los que se puede resolver la ecuación de Pell negativa es al menos del 40%. [28] Si la ecuación de Pell negativa tiene una solución para un n particular , su solución fundamental conduce a la fundamental para el caso positivo al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación definitoria:
implica
Como se indicó anteriormente, si la ecuación de Pell negativa se puede resolver, se puede encontrar una solución utilizando el método de fracciones continuas como en la ecuación de Pell positiva. Sin embargo, la relación de recursividad funciona de forma ligeramente diferente. Desde, la siguiente solución se determina en términos de siempre que haya un partido, es decir, cuando es impar. La relación de recursión resultante es (módulo un signo menos que es irrelevante debido a la naturaleza cuadrática de la ecuación)
- ,
lo que da una torre infinita de soluciones a la ecuación de Pell negativa.
Ecuación de Pell generalizada
La ecuacion
se llama ecuación de Pell generalizada [ cita requerida ] (o general [16] ) . La ecuaciones el resolutivo de Pell correspondiente . [16] Lagrange dio un algoritmo recursivo en 1768 para resolver la ecuación, reduciendo el problema al caso. [29] [30] Estas soluciones se pueden derivar utilizando el método de fracciones continuas como se describe anteriormente.
Si es una solución para y es una solución para luego tal que es una solución para , un principio llamado principio multiplicativo . [dieciséis]
Las soluciones a la ecuación de Pell generalizada se utilizan para resolver ciertas ecuaciones diofánticas y unidades de ciertos anillos , [31] [32] y surgen en el estudio de SIC-POVM en la teoría de la información cuántica . [33]
La ecuacion
es similar al resolutivo en eso si una solución mínima para se puede encontrar, entonces todas las soluciones de la ecuación se pueden generar de manera similar al caso . Por cierto, Soluciones a se puede generar a partir de aquellos con , en eso si luego cada tercera solución a posee incluso, generando una solución para . [dieciséis]
Notas
- ↑ En la Vollständige Anleitung zur Algebra de Euler ( págs.227 y sigs.), Presenta una solución a la ecuación de Pell que fue tomada de Commercium epistolicum de John Wallis, específicamente, Carta 17 ( Epistola XVII ) y Letra 19 ( Epistola XIX ) de:
- Wallis, John, ed. (1658). Commercium epistolicum, de Quaestionibus quibusdam Mathematicis nuper habitum [ Correspondencia, sobre algunas investigaciones matemáticas realizadas recientemente ] (en inglés, latín y francés). Oxford, Inglaterra: A. Lichfield.Las letras están en latín. La letra 17 aparece en las págs. 56–72. La letra 19 aparece en las págs. 81–91.
- Traducciones al francés de las cartas de Wallis: Fermat, Pierre de (1896). Curtiduría, Paul; Henry, Charles (eds.). Oeuvres de Fermat (en francés y latín). 3er vol. París, Francia: Gauthier-Villars et fils.La letra 17 aparece en las páginas 457–480. La letra 19 aparece en las págs. 490–503.
- Wallis, John (1693). Opera matemática: de Algebra Tractatus; Historicus & Practicus [ Trabajos matemáticos: Tratado de álgebra; histórico y como se practica actualmente ] (en latín, inglés y francés). 2do vol. Oxford, Inglaterra.La carta 17 está en las páginas 789–798; la carta 19 está en las págs. 802–806. Véanse también los artículos de Pell, donde Wallis menciona (págs.235, 236, 244) que los métodos de Pell son aplicables a la solución de ecuaciones diofánticas:
- De Algebra D. Johannis Pellii; & speciatim de Problematis imperfecte determinatis. (Sobre álgebra por el Dr. John Pell y especialmente sobre un problema determinado de forma incompleta), págs. 234-236.
- Ejemplar de Methodi Pellianae. (Ejemplo del método de Pell), págs. 238–244.
- Espécimen aliud Methodi Pellianae. (Otro ejemplo del método de Pell), págs. 244–246.
- Whitford, Edward Everett (1912) "La ecuación de Pell", tesis doctoral, Universidad de Columbia (Nueva York, Nueva York, EE. UU.), Pág. 52.
- Heath, Thomas L. (1910). Diofanto de Alejandría: un estudio en la historia del álgebra griega . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pag. 286.
- ^ Teutsch es una forma obsoleta de Deutsch, que significa "alemán". Libro electrónico gratuito: Teutsche Algebra (Google Books)
- ^ Esto se debe a que la ecuación de Pell implica que −1 es un residuo cuadrático módulo n .
Referencias
- ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (febrero de 2002). "Ecuación de Pell" . Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia . Consultado el 13 de julio de 2020 .
- ^ Dunham, William. "Teoría de números - Teoría de números en Oriente" . Enciclopedia Británica . Consultado el 4 de enero de 2020 .
- ↑ Ya en 1732-1733, Euler creía que John Pell había desarrollado un método para resolver la ecuación de Pell, a pesar de que Euler sabía que Wallis había desarrollado un método para resolverlo (aunque William Brouncker había hecho la mayor parte del trabajo):
- Euler, Leonhard (1732-1733). "De solutione problematum Diophantaeorum per numeros integros" [Sobre la solución de problemas diofánticos por números enteros]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Memorias de la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo) . 6 : 175-188.Desde p. 182: "En si a huiusmodi fuerit numerus, qui nullo modo ad illas fórmulas potest reduci, peculiaris ad invenienda p et q adhibenda est methodus, qua olim iam usi sunt Pellius et Fermatius ". (Sin embargo, si un tal un ser un número que se puede reducir de ninguna manera a estas fórmulas, el método específico para la búsqueda de p y q se aplica el cual Pell y Fermat han utilizado desde hace algún tiempo.) De p. 183: "§. 19. Methodus haec extat descripta in operibus Wallisii , et hanc ob rem eam hic fusius non-expono". (§ 19. Este método existe descrito en las obras de Wallis, y por esta razón no lo presento aquí con más detalle).
- Lettre IX. Euler à Goldbach, fechado el 10 de agosto de 1750 en: Fuss, PH, ed. (1843). Correspondencia Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle… [ Correspondencia matemática y física de algunos geómetras famosos del siglo XVIII… ] (en francés, latín y alemán). San Petersburgo, Rusia. pag. 37.De la página 37: "Pro hujusmodi quaestionibus solvendis excogitavit D. Pell Anglus peculiarem methodum in Wallisii operibus expositam". (Para resolver tales cuestiones, el inglés Dr. Pell ideó un método singular [que se muestra] en las obras de Wallis).
- Euler, Leonhard (1771). Vollständige Anleitung zur Algebra, II. Theil [ Introducción completa al álgebra, parte 2 ] (en alemán). Kayserlichen Akademie der Wissenschaften (Academia Imperial de Ciencias): San Petersburgo, Rusia. pag. 227.Desde p. 227: "§98. Hierzu hat vormals ein gelehrter Engländer, Namens Pell, eine ganz sinnreiche Methode erfunden, welche wir hier erklären wollen". (§.98 Con respecto a esto, un inglés culto llamado Pell ha encontrado previamente un método bastante ingenioso, que explicaremos aquí).
- Traducción en inglés: Euler, Leonhard (1810). Elementos de álgebra… . 2do vol. (2ª ed.). Londres, Inglaterra: J. Johnson. pag. 78.
- Heath, Thomas L. (1910). Diofanto de Alejandría: un estudio en la historia del álgebra griega . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pag. 286. Véase especialmente la nota 4 a pie de página.
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- ↑ En febrero de 1657, Pierre de Fermat escribió dos cartas sobre la ecuación de Pell. Una carta (en francés) estaba dirigida a Bernard Frénicle de Bessy, y la otra (en latín) estaba dirigida a Kenelm Digby, a quien llegó a través de Thomas White y luego de William Brouncker.
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- ↑ En enero de 1658, al final de Epistola XIX (carta 19), Wallis felicitó efusivamente a Brouncker por su victoria en una batalla de ingenio contra Fermat con respecto a la solución de la ecuación de Pell. Desde p. 807 de (Wallis, 1693): "Et quidem cum Vir Nobilissimus, utut hac sibi suisque tam peculiaria putaverit, & altis impervia, ( quippe non omnis fert omnia tellus ) ut ab Anglis haud speraverit solutionem; profiteatur tamen qu'il sera pourtant ravi d'estre destrompé par cet Ingenieux y scavant Signieur ;. erit act y ipse tibi gratuletur Me quod attinet, humillimas quod est rependam gratias, quod en Victoriae tuae partem advocare dignatus es, ... " (y, en efecto, más noble Sir [es decir, el vizconde Brouncker], él [es decir, Fermat] podría haber pensado [tener] para sí mismo un [sujeto, es decir, la ecuación de Pell] tan esotérico con sus profundidades impenetrables ( porque no toda la tierra soporta todas las cosas [es decir, no todas las naciones pueden sobresalir en todo]), por lo que difícilmente podría haber esperado una solución de los ingleses; sin embargo, confiesa que, sin embargo, estará encantado de ser desengañado por este ingenioso y erudito Lord [es decir, Brouncker]; será por esa razón por la que él mismo [es decir, Fermat] felicitaría usted. En cuanto a mí mismo, le ruego con humilde agradecimiento que se haya dignado llamarme para participar en su Victoria,…) [Nota: La fecha al final de la carta de Wallis es "20 de enero de 1657"; sin embargo, esa fecha estaba de acuerdo con el antiguo calendario juliano que Gran Bretaña finalmente descartó en 1752 : la mayor parte del resto de Europa habría considerado esa fecha como el 31 de enero de 1658. Ver fechas de estilo antiguo y estilo nuevo # Transposición de fechas de eventos históricos y posibles conflictos de fecha )
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Otras lecturas
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enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Ecuación de Pell" . MathWorld .
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Ecuación de Pell" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- Solucionador de ecuaciones de Pell ( n no tiene límite superior)
- Solucionador de ecuaciones Pell ( n <10 ^ 10, también puede devolver la solución ax ^ 2-ny ^ 2 = + -1, + -2, + -3 y + -4)