En matemáticas, particularmente en topología , un espacio G δ es un espacio topológico en el que los conjuntos cerrados están de alguna manera 'separados' de sus complementos utilizando solo un número contable de conjuntos abiertos . Por tanto, el espacio AG δ puede considerarse como un espacio que satisface un tipo diferente de axioma de separación . De hecho, los espacios G δ normales se denominan espacios perfectamente normales y satisfacen el axioma de separación más fuerte .
Los espacios G δ también se denominan espacios perfectos . [1] El término perfecto también se usa, de manera incompatible, para referirse a un espacio sin puntos aislados ; ver Juego perfecto .
Definición
Una intersección contable de conjuntos abiertos en un espacio topológico se denomina conjunto G δ . Trivialmente, todo conjunto abierto es un conjunto G δ . Dualmente, una unión contable de conjuntos cerrados se denomina conjunto F σ . Trivialmente, todo conjunto cerrado es un conjunto F σ .
Un espacio topológico X se denomina espacio G δ [2] si cada subconjunto cerrado de X es un conjunto G δ . De manera doble y equivalente, un espacio G δ es un espacio en el que todo conjunto abierto es un conjunto F σ .
Propiedades y ejemplos
- Cada subespacio de un espacio G δ es un espacio G δ .
- Todo espacio metrizable es un espacio G δ . Lo mismo ocurre con los espacios pseudometrizables .
- Cada segundo espacio regular contable es un espacio G δ . Esto se desprende del teorema de metrización de Urysohn en el caso de Hausdorff, pero se puede mostrar fácilmente de forma directa. [3]
- Todo espacio regular contable es un espacio G δ .
- Cada espacio regular hereditariamente de Lindelöf es un espacio G δ . [4] Estos espacios son, de hecho, perfectamente normales . Esto generaliza los dos elementos anteriores sobre los segundos espacios regulares contables y contables.
- El espacio AG δ no necesita ser normal, como muestra R dotado de la topología K. Ese ejemplo no es un espacio regular. Ejemplos de espacios de Tychonoff G δ que no son normales son el plano de Sorgenfrey [5] y el plano de Niemytzki . [6]
- En una primera contable T 1 espacio , cada singleton es un G δ conjunto. Eso no es suficiente para que el espacio sea un espacio G δ , como lo muestra, por ejemplo, la topología de orden lexicográfico en el cuadrado unitario . [7]
- La línea de Sorgenfrey es un ejemplo de un espacio perfectamente normal (es decir, G δ normal ) que no es metrizable.
- La suma topológica de una familia de espacios topológicos disjuntos es un espacio G δ si y solo si cadaes un espacio G δ .
Notas
- ↑ Engelking, 1.5.H (a), p. 48
- ^ Steen y Seebach, p. 162
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/1966730
- ^ https://arxiv.org/pdf/math/0412558.pdf , lema 6.1
- ^ https://dantopology.wordpress.com/2014/05/07/the-sorgenfrey-plane-is-subnormal/
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/2711463
- ^ https://dantopology.wordpress.com/2009/10/07/the-lexicographic-order-and-the-double-arrow-space/
Referencias
- Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología (reimpresión de Publicaciones de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
- Roy A. Johnson (1970). "Un espacio compacto no metrizable tal que cada subconjunto cerrado es un G-Delta". The American Mathematical Monthly , vol. 77, núm. 2, págs. 172-176. en JStor