En geometría , un planigon es un polígono convexo que puede llenar el plano con solo copias de sí mismo (que son isotópicas a las unidades fundamentales de teselaciones monoédricas ). En el plano euclidiano hay 3 formas regulares de triángulo equilátero , cuadrados y hexágonos regulares ; y 8 formas semirregulares ; y 4 formas semirregulares que pueden enlosar el plano con otros planigones.
Todos los ángulos de un planigon son divisores enteros de 360 °. Los mosaicos se hacen mediante conexiones de borde a borde mediante bisectrices perpendiculares de los bordes de la celosía uniforme original, o centroides a lo largo de los bordes comunes (coinciden).
Tilings hechos de planigons pueden ser vistos como duales embaldosados a los regulares, semirregulares , y demiregular embaldosados del plano de polígonos regulares .
Historia
En el libro de 1987, Tilings and Patterns , Branko Grünbaum llama a los mosaicos de vértice uniformes Arquímedes en paralelo a los sólidos de Arquímedes . Sus mosaicos duales se denominan mosaicos de Laves en honor al cristalógrafo Fritz Laves . [1] [2] También se les llama objetos de Shubnikov – Laves en honor a Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich . [3] John Conway llama a los duales uniformes mosaicos catalanes , en paralelo a los poliedros sólidos catalanes .
Los mosaicos de Laves tienen vértices en los centros de los polígonos regulares y bordes que conectan los centros de los polígonos regulares que comparten un borde. Las baldosas de los azulejos de Laves se llaman planigones . Esto incluye las 3 fichas regulares (triángulo, cuadrado y hexágono) y 8 irregulares. [4] Cada vértice tiene bordes espaciados uniformemente a su alrededor. Tres análogos dimensionales de los planigons se llaman stereohedrons .
Estos mosaicos se enumeran por su configuración de cara , el número de caras en cada vértice de una cara. Por ejemplo, V4.8.8 (o V4.8 2 ) significa baldosas triangulares isósceles con una esquina con cuatro triángulos y dos esquinas que contienen ocho triángulos.
Construcción
La operación Conway de caras y vértices de intercambios duales. En sólidos de Arquímedes y k Uniform embaldosados igual, los nuevos coincide vértice con el centro de cada cara normal , o el centroide . En el caso euclidiano (plano); Para hacer nuevas caras alrededor de cada vértice original, los centroides deben estar conectados por nuevos bordes, cada uno de los cuales debe intersecar exactamente uno de los bordes originales. Dado que los polígonos regulares tienen simetría diedro , vemos que estos nuevos bordes centroide-centroide deben ser bisectrices perpendiculares de los bordes originales comunes (por ejemplo, el centroide se encuentra en todas las bisectrices perpendiculares de los bordes de un polígono regular). Por lo tanto, los bordes de k embaldosados uniformes DUALES coinciden con centroide de punta segmentos de línea punto medio de todos los polígonos regulares en el k Uniform embaldosados.
Por lo tanto, podemos construir alternativamente k mosaicos uniformes duales (y los 21 planigones) de manera equivalente formando nuevos segmentos de línea de punto medio de borde centroide de los polígonos regulares originales (diseccionando los n -gones regulares en n deltoides congruentes, orto ), y luego eliminando los bordes originales ( dual ). Se formarán planigones cerrados alrededor de los vértices interiores, y segmentos de línea de (muchos posibles) planigones se formarán alrededor de los vértices de los límites, dando un fiel entramado uniforme k- dual ( orto- superponible y a escala). Por otro lado, la conexión centroide-centroide solo produce planigones interiores (con traslación y escala variables), pero esta construcción es equivalente en el interior. Si el mosaico original k -uniforme llena todo el marco, entonces también lo hará el enrejado uniforme k -dual de la primera construcción, y los segmentos de la línea de límite se pueden ignorar (equivalente a la segunda construcción).
Como se ve a continuación, algunos tipos de polígonos de vértice son diferentes de sus imágenes de espejo y se enumeran dos veces. Por ejemplo, un triangulo son imágenes espejo si son todos únicos. En estas imágenes, los polígonos de vértice se enumeran en sentido contrario a las agujas del reloj desde la derecha y están sombreados en varios colores con frecuencia de longitud de onda inversa al área. Tenga en cuenta que el planigón rojo violeta de 4.8 2 está coloreado fuera de lugar ya que no puede existir con ningún otro planigón en ningún mosaico uniforme k . Hay 29 posibles polígonos de vértices regulares (21 excluyendo los enantiomorfos ): 3 polígonos regulares , 8 planigones , 4 planigones semirregulares y 6 polígonos inutilizables .
Una construcción alternativa
Los 14 planigones regulares de vértice (VRP) utilizables uniformes arbitrarios también provienen [5] del dodecagrama 6-5 (donde cada segmento subtiende radianes, o grados).
El círculo de este dodecagrama demuestra que los 14 VRP son cocíclicos , como lo muestran alternativamente los empaques de ambón circular. Como recordatorio, la relación entre el círculo y el círculo es
¡y el casco convexo son precisamente los dodecágonos regulares en los mosaicos uniformes arbitrarios! De hecho, el triángulo equilátero, el cuadrado, el hexágono regular y el dodecágono regular; se muestran a continuación junto con los VRP:
Derivación de todos los posibles polígonos de vértices regulares
Para los mosaicos euclidianos de borde a borde, los ángulos internos de los polígonos que se encuentran en un vértice deben sumar 360 grados. Un n -gon regular tiene un ángulo internogrados. Hay diecisiete combinaciones de polígonos regulares cuyos ángulos internos suman 360 grados, cada uno de los cuales se conoce como una especie de vértice; en cuatro casos hay dos órdenes cíclicos distintos de los polígonos, lo que produce veintiún tipos de vértices.
De hecho, con los ángulos del vértice (interior) , podemos encontrar todas las combinaciones de ángulos de esquina admisibles de acuerdo con las siguientes reglas: (i) cada vértice tiene al menos grado 3 (un vértice de grado 2 debe tener dos ángulos rectos o un ángulo reflejo); (ii) si el vértice tiene grado, el mas pequeño los ángulos de los vértices del polígono suman más ; (iii) los ángulos de los vértices se suman a, y deben ser ángulos de polígonos regulares de lados enteros positivos (de la secuencia ). La solución al problema de desafío 9.46, Geometría (Rusczyk), se encuentra en la columna de grado 3 vértice a continuación. [6]
Vértice de grado 6 | Vértice de grado 5 | Vértice de grado 4 | Vértice de grado 3 |
---|---|---|---|
* | |||
(un triángulo con un endecágono produce un 13.200 gon, un cuadrado con un heptágono produce un 9.3333 gon, y un pentágono con un hexágono produce un 7.5000 gon). Entonces hay combinaciones de polígonos regulares que se encuentran en un vértice.
Solo once de estos pueden ocurrir en un mosaico uniforme de polígonos regulares, dado en secciones anteriores. *La no puede coexistir con ningún otro tipo de vértice.
En particular, si tres polígonos se encuentran en un vértice y uno tiene un número impar de lados, los otros dos polígonos deben ser iguales. De no ser así, tendrían que alternar alrededor del primer polígono, lo cual es imposible si su número de lados es impar. Por esa restricción, estos seis no pueden aparecer en ningún mosaico de polígonos regulares:
3 . 7 . 42 | 3. 8 . 24 | 3. 9 . 18 | 3. 10 . 15 | 4 . 5 . 20 | 5 2 .10 |
Estos cuatro se pueden utilizar en revestimientos uniformes k :
Válido tipos de vértice | 3 2 .4.12 | 3.4.3.12 | 3 2 .6 2 | 3.4 2 .6 |
---|---|---|---|---|
Ejemplo 2-mosaicos uniformes | con 3 6 | con 3.12 2 | con (3.6) 2 | con (3.6) 2 |
Válido Semiplanigons | Semiplanigon dual: V3 2 .4.12 | Semiplanigon dual: V3.4.3.12 | Semiplanigon dual: V3 2 .6 2 | Semiplanigon dual: V3.4 2 .6 |
Ejemplo Uniforme doble 2 Azulejos (Compuestos duales) | con V3 6 | con V3.12 2 | con V (3.6) 2 | con V3.4 2 .6 |
Finalmente, todos los polígonos regulares y polígonos de vértices utilizables se presentan en la segunda imagen a continuación, mostrando sus áreas y longitudes de lados, en relación con para cualquier polígono regular.
Número de mosaicos uniformes dobles
Cada mosaico uniforme dual tiene una correspondencia 1: 1 con el mosaico uniforme correspondiente, mediante la construcción de los planigones de arriba y la superposición.
Estos mosaicos periódicos pueden clasificarse por el número de órbitas de vértices, bordes y mosaicos. Si hay k órbitas de planigones, un mosaico se conoce como k -dual-uniforme o k -isoédrico; si hay t órbitas de vértices duales, como t -isogonal; si hay e órbitas de aristas, como e -isotoxal.
Los mosaicos k -duales-uniformes con las mismas figuras de vértice se pueden identificar adicionalmente por su simetría de grupo de papel tapiz , que es idéntica a la del mosaico k -uniforme correspondiente .
Los mosaicos 1-dual-uniform incluyen 3 mosaicos regulares y 8 mosaicos Laves, con 2 o más tipos de vértices de grados regulares. Hay 20 mosaicos uniformes dobles 2, 61 mosaicos uniformes 3 dobles, 151 mosaicos uniformes 4 dobles, 332 mosaicos uniformes 5 dobles y 673 6 mosaicos uniformes dobles. Cada uno se puede agrupar por el número m de distintas figuras de vértice, que también se denominan m - mosaicos arquimedianos. [7]
Finalmente, si el número de tipos de planigones es el mismo que la uniformidad ( m = k abajo), entonces se dice que el mosaico es Krotenheerdt . En general, la uniformidad es mayor o igual al número de tipos de vértices ( m ≥ k ), ya que diferentes tipos de planigones necesariamente tienen diferentes órbitas, pero no al revés. Estableciendo m = n = k , hay 11 teselaciones dobles de este tipo para n = 1; 20 de tales teselaciones dobles para n = 2; 39 tales teselaciones dobles para n = 3; 33 de tales teselaciones dobles para n = 4; 15 de tales teselaciones dobles para n = 5; 10 de tales teselaciones dobles para n = 6; y 7 de tales teselaciones dobles para n = 7.
Azulejos regulares y Laves
Se muestran los 3 mosaicos Laves regulares y 8 semirregulares, con planigones regulares de vértice coloreados inversamente al área como en la construcción.
triangulos | Cuadrícula | Hexágonos | |
---|---|---|---|
Embaldosado | |||
Imagen | |||
Config | V6 3 | V4 4 | V3 6 |
triangulos | |||
---|---|---|---|
Embaldosado | |||
Imagen | |||
Config | V4.8 2 | V3.12 2 | V4.6.12 |
Cuadriláteros | ||
---|---|---|
Embaldosado | ||
Imagen | ||
Config | V (3,6) 2 | V3.4.6.4 |
Pentágonos | |||
---|---|---|---|
Embaldosado | |||
Imagen | |||
Config | V3 4 .6 | V3 2 .4.3.4 | V3 3 .4 2 |
Alicatados uniformes dobles más altos
Inserciones de planigones duales en vértices de grado superior
- Un vértice de grado seis puede ser reemplazado por un hexágono regular central y seis aristas que emanan del mismo;
- Un vértice de grado doce puede ser reemplazado por seis deltoides (un hexágono deltoidal central) y doce bordes que emanan del mismo;
- Un vértice de grado doce puede ser reemplazado por seis pentágonos de El Cairo, un hexágono central y doce aristas que emanan del mismo (diseccionando el vértice de grado 6 en el centro del ejemplo anterior).
Procesos duales ('inserciones' dobles) |
---|
Krotenheerdt duales con dos planigones
Borrar cuando se resuelva: también, no veo ninguna razón por la que sus imágenes sean en general mejores que las mías, lo que parece sugerir. Es posible que necesitemos un tercer lector sobre esto ... ¿tienden los lectores a no hacer clic en las imágenes para inspeccionarlas más? Porque en el modo de inspección, mis imágenes son más claras, y en el modo de lectura, sus imágenes son más claras.
Hay 20 mosaicos hechos de 2 tipos de planigones, el doble de 2 mosaicos uniformes (Krotenheerdt Duals):
p6m, * 632 | p4m, * 442 | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
[V3 6 ; V3 2 .4.3.4] | [V3.4.6.4; V3 2 .4.3.4 | [V3.4.6.4; V3 3 .4 2 ] | [V3.4.6.4; V3.4 2 .6] | [V4.6.12; V3.4.6.4] | [V3 6 ; V3 2 .4.12] | [3.12.12; 3.4.3.12] |
p6m, * 632 | p6, 632 | p6, 632 | cmm, 2 * 22 | mmm, * 2222 | cmm, 2 * 22 | mmm, * 2222 |
[V3 6 ; V3 2 .6 2 ] | [V3 6 ; V3 4 .6] 1 | [V3 6 ; V3 4, 6] 2 | [V3 2 .6 2 ; V3 4 .6] | [V3.6.3.6; V3 2 .6 2 ] | [V3.4 2 .6; V3.6.3.6]] 2 | [3.4 2 .6; 3.6.3.6] 1 |
p4g, 4 * 2 | pgg, 22 × | cmm, 2 * 22 | cmm, 2 * 22 | mmm, * 2222 | cmm, 2 * 22 | |
[V3 3 .4 2 ; V3 2 .4.3.4] 1 | [V3 3 .4 2 ; V3 2 .4.3.4] 2 | [V4 4 ; V3 3 .4 2 ] 1 | [V4 4 ; V3 3 .4 2 ] 2 | [V3 6 ; V3 3 .4 2 ] 1 | [V3 6 ; V3 3 .4 2 ] 2 |
Krotenheerdt duales con tres planigones
[V3.4 2 6; 3.6.3.6; V4.6.12] (v = 6, e = 7) | [V3 6 ; 3 2 4,12; V4.6.12] (v = 5, e = 6) | [V3 2 4,12; 3.4.6.4; V3.12 2 ] (v = 5, e = 6) | [V3.4.3.12; 3.4.6.4; 3.12 2 ] (v = 5, e = 6) | [V3 3 4 2 ; 3 2 4,12; 3.4.6.4] (v = 6, e = 8) |
[V3 6 ; V3 3 4 2 ; V3 2 4.12] (v = 6, e = 7) | [V3 6 ; V3 2 4.3.4; V3 2 4.12] (v = 5, e = 6) | [V3 4 6; V3 3 4 2 ; V3 2 4.3.4] (v = 5, e = 6) | [V3 6 ; V3 2 4.3.4; V3.4 2 6] (v = 5, e = 6) | [V3 6 ; V3 2 4.3.4; V3.4.6.4] (v = 5, e = 6) |
[V3 6 ; V3 3 4 2 ; V3.4.6.4] (v = 6, e = 6) | [V3 6 ; V3 2 4.3.4; V3.4.6.4] (v = 6, e = 6) | [V3 6 ; V3 3 4 2 ; V3 2 4.3.4] (v = 4, e = 5) | [V3 2 4,12; V3.4.3.12; V3.12 2 ] (v = 4, e = 7) | [V3.4.6.4; V3.4 2 6; V4 4 ] (v = 3, e = 4) |
[V3 2 4.3.4; V3.4.6.4; V3.4 2 6] (v = 4, e = 6) | [V3 3 4 2 ; V3 2 4.3.4; 4 4 ] (v = 4, e = 6) | [V3.4 2 6; V3.6.3.6; V4 4 ] (v = 5, e = 7) | [V3.4 2 6; V3.6.3.6; V4 4 ] (v = 6, e = 7) | [V3.4 2 6; V3.6.3.6; V4 4 ] (v = 4, e = 5) |
[V3.4 2 6; V3.6.3.6; V4 4 ] (v = 5, e = 6) | [V3 3 4 2 ; V3 2 6 2 ; V3.4 2 6] (v = 5, e = 8) | [V3 2 6 2 ; V3.4 2 6; 3.6.3.6] (v = 4, e = 7) | [V3 2 6 2 ; V3.4 2 6; 3.6.3.6] (v = 5, e = 7) | [V3 4 6; V3 3 4 2 ; V3.4 2 6] (v = 5, e = 7) |
[V3 2 6 2 ; V3.6.3.6; V6 3 ] (v = 4, e = 5) | [V3 2 6 2 ; V3.6.3.6; V6 3 ] (v = 2, e = 4) | [V3 4 6; V3 2 6 2 ; V6 3 ] (v = 2, e = 5) | [V3 6 ; V3 2 6 2 ; V6 3 ] (v = 2, e = 3) | [V3 6 ; V3 4 6; V3 2 6 2 ] (v = 5, e = 8) |
[V3 6 ; V3 4 6; V3 2 6 2 ] (v = 3, e = 5) | [V3 6 ; V3 4 6; V3 2 6 2 ] (v = 3, e = 6) | [V3 6 ; V3 4 6; V3.6.3.6] (v = 5, e = 6) | [V3 6 ; V3 4 6; V3.6.3.6] (v = 4, e = 4) | [V3 6 ; V3 4 6; V3.6.3.6] (v = 3, e = 3) |
[V3 6 ; V3 3 4 2 ; V4 4 ] (v = 4, e = 6) | [V3 6 ; V3 3 4 2 ; V4 4 ] (v = 5, e = 7) | [V3 6 ; V3 3 4 2 ; V4 4 ] (v = 3, e = 5) | [V3 6 ; V3 3 4 2 ; V4 4 ] (v = 4, e = 6) |
Krotenheerdt duales con cuatro planigones
[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12] | [33434; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12] | [3 6 ; 33434; 334,12; 3.12 2 ] |
[3 6 ; 33434; 343,12; 3.12 2 ] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464] | [3 6 ; 33434; 3464; 3446] | [3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] |
[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] | [334,12; 343,12; 3464; 46.12] | [3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ] | [3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 4 4 ] | [3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ] |
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 4 4 ] | [33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446] | [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636] |
[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446] | [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] |
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] | [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ] | [3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] |
33 Krotenheerdt -4 Dual | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] | [3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] | 33 Krotenheerdt -4 Dual |
Krotenheerdt duales con cinco planigones
Hay 15 mosaicos duales de 5 uniformes con 5 planigones únicos.
V [33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446; 6 3 ] | V [3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ] | V [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 46.12] | V [3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434; 3446; 4 4 ] | V [3 6 ; 33434; 3464; 3446; 3636] |
V [3 6 ; 3 4 6; 3464; 3446; 3636] | V [33434; 334,12; 3464; 3,12,12; 46.12] | V [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] | V [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] | V [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] |
V [3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ] | V [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636; 4 4 ] | V [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 4 4 ] | V [3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 3636] | [3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446] |
Krotenheerdt duales con seis planigones
Hay 10 mosaicos duales de 6 uniformes con 6 planigones únicos.
[V4 4 ; V3.4.6.4; V3.4.4.6; 2 .4.3.4; V3 3 .4 2 ; V3 2 .6 2 ] | ; V3 4 .6; V3.4.4.6; V3 2 .4.3.4; V3 3 .4 2 ; V3 2 .6 2 ] | [V4 4 ; V3 4 .6; V3.4.4.6; V3 6 ; V3 3 .4 2 ; V3 2 .6 2 ] | [V4 4 ; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V (3,6) 2 ; V3 3 .4 2 ; V3 2 .46; V3 6 ; V3 3 .4 2 ; V3 2 .4.3.4] | |
[V3 6 , V3.4.6.4; V3.4.4.6; V3 2 .4.3.4; V3 3 .4 2 ; V3 2 .6 2 ] | [V3 4 .6; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V3 2 .6 2 ; V3 3 .4 2 ; V3 2 .4.3.4] | [V3 6 ; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V (3,6) 2 ; V3 3 .4 2 ; V3 2 .4.12] | [V3 6 ; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V3 4 .6; V3 3 .4 2 ; V3 2 .4.3.4] | [V3 4 .6; V3.4.6.4; V3.4.4.6; V (3,6) 2 ; V3 3 .4 2 ; V3 2 .4.3.4] |
Krotenheerdt duales con siete planigones
Hay 7 7 teselaciones dobles uniformes con 7 planigones únicos.
V [3 6 ; 3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4; 4 4 ; 3,4 2 .6; 3 2 .6 2 ; 6 3 ] | V [3 6 ; 3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4; 3 4 .6; 3,4 2 .6; 3 2 .4,12; 4.6.12] | V [3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4; 3,4 2 .6; 3 2 .6 2 ; 3 2 .4,12; 4.6.12] | V [3 6 ; 3 2 .4.3.4; 4 4 ; 3,4 2 .6; 3 4 .6; 3.4.6.4; (3.6) 2 ] |
V [3 6 ; 3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4; 3 4 .6; 3,4 2 .6; 3.4.6.4; (3.6) 2 ] 1 | V [3 6 ; 3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4; 3 4 .6; 3,4 2 .6; 3.4.6.4; 3 2 .4.12] | V [3 6 ; 3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4; 3 4 .6; 3,4 2 .6; 3.4.6.4; (3.6) 2 ] 2 | V [3 6 ; 3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4; 3 4 .6; 3,4 2 .6; 3 2 .4,12; 4.6.12] |
Por extraño que parezca, las teselaciones de Krotenheerdt dual uniform-7 quinto y séptimo tienen los mismos tipos de vértices, ¡aunque no se parecen en nada!
De en adelante, no hay n teselaciones uniformes con n tipos de vértice, o no hay n duales uniformes con n (semi) planigones distintos. [8]
Fractalización de mosaicos uniformes k duales
Hay muchas formas de generar nuevos mosaicos de k-dual-uniform a partir de viejos mosaicos de k-uniform. Por ejemplo, observe que la V uniforme 2 [3.12.12; 3.4.3.12] el mosaico tiene una celosía cuadrada, el 4 (3-1) -uniforme V [343.12; (3.12 2 ) 3 ] el embaldosado tiene una celosía cuadrada chata, y el 5 (3-1-1) -uniforme V [334.12; 343,12; (3.12.12) 3] las baldosas tienen una celosía triangular alargada. Estos mosaicos uniformes de orden superior utilizan la misma celosía pero poseen una mayor complejidad. La base de fractalización dual para estas teselaciones es la siguiente:
Triángulo | Cuadrado | Hexágono | Disecado Dodecágono | |
---|---|---|---|---|
Forma | ||||
Fractalizando (Doble) |
Las longitudes de los lados están dilatadas por un factor de :
- Cada triángulo se reemplaza por tres polígonos V [3.12 2 ] (la unidad del mosaico 1-dual-uniforme V [3.12 2 ]);
- Cada cuadrado se reemplaza por cuatro polígonos V [3.12 2 ] y cuatro V [3.4.3.12] (la unidad del mosaico V [3.12 2 ; V3.4.3.12] 2-dual-uniforme );
- Cada hexágono se reemplaza por seis deltoides V [3.4.6.4], seis cometas V [3.4.3.12] y seis polígonos V [3.12 2 ] (la unidad de ese mosaico uniforme de 3 dobles)
- Cada dodecágono se diseca en seis triángulos grandes, seis cuadrados grandes y un hexágono central, todos los cuales constan de arriba.
Esto se puede hacer de manera similar con el mosaico trihexagonal truncado como base, con la correspondiente dilatación de .
Triángulo | Cuadrado | Hexágono | Disecado Dodecágono | |
---|---|---|---|---|
Forma | ||||
Fractalizando (Doble) |
- Cada triángulo se reemplaza por tres polígonos V [4.6.12] (la unidad del mosaico 1-dual-uniforme V [4.6.12]);
- Cada cuadrado se reemplaza por un cuadrado, cuatro polígonos V [3 3 .4 2 ], cuatro polígonos V [3.4.3.12] y cuatro polígonos V [3 2 .4.12] (la unidad de ese mosaico de Krotenheerdt 4-dual-uniform );
- Cada hexágono se reemplaza por seis deltoides V [3.4.6.4] y treinta y seis V [4.6.12] polígonos (la unidad de ese mosaico uniforme de 5 dobles)
- Cada dodecágono se diseca en seis triángulos grandes, seis cuadrados grandes y un hexágono central, todos los cuales constan de arriba.
Ejemplos de fractalización
Mosaico hexagonal truncado | Azulejos truncados trihexagonales | |
---|---|---|
Fractalización dual |
Diverso
Referencias
- ^ Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . WH Freeman and Company. págs. 59, 96 . ISBN 0-7167-1193-1.
- ^ Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (18 de abril de 2008). "Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Cataluña, Teselaciones planas euclidianas ". Las simetrías de las cosas . AK Peters / CRC Press . pag. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2010.
- ^ Enciclopedia de Matemáticas: Órbita - Ecuación de Rayleigh , 1991
- ^ Ivanov, AB (2001) [1994], "Planigon" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ "EL SISTEMA DE GRAN LISTA DE AZULEJOS DE POLÍGONOS REGULARES" . EL SISTEMA GRAN LISTA DE ALICATADOS DE POLÍGONOS REGULARES . Consultado el 30 de agosto de 2019 .
- ^ Rusczyk, Richard. (2006). Introducción a la geometría . Alpine, CA: AoPS Inc. ISBN 0977304523. OCLC 68040014 .
- ^ K-uniformes mosaicos por polígonos regulares Archivado el 30 de junio de 2015 en la Wayback Machine Nils Lenngren, 2009 [ verificación necesaria ]
- ^ "11,20,39,33,15,10,7 - OEIS" . oeis.org . Consultado el 26 de junio de 2019 .
- Autómatas celulares de teselación planigon Alexander Korobov, 30 de septiembre de 1999
- BN Delone, “Teoría de los planigones” , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 23: 3 (1959), 365–386