En el álgebra lineal , una rama de las matemáticas , la identidad de polarización es cualquiera de una familia de fórmulas que expresan el producto interno de dos vectores en términos de la norma de un espacio vectorial normalizado . De manera equivalente, la identidad de polarización describe cuándo se puede suponer que una norma surge de un producto interno. En esa terminología: [1] [2]
Vectores implicados en la identidad de polarización.
En un espacio normado ( V , ), si se cumple la ley del paralelogramo , entonces hay un producto interno en V tal que para todos .
Fórmulas
Cualquier producto interno en un espacio vectorial induce una norma por la ecuación
Las identidades de polarización invierten esta relación, recuperando el producto interno de la norma.
Espacios vectoriales reales
Si el espacio vectorial está por encima de los reales , entonces expandir los cuadrados de los binomios revela
Para espacios vectoriales sobre números complejos , las fórmulas anteriores no son del todo correctas. Ellos asumenpero para un producto interno complejo, esta suma anula en cambio la parte imaginaria . Sin embargo, una expresión análoga asegura que se conserven tanto las partes reales como las imaginarias. La parte real de cualquier producto interno (sin importar qué coordenada sea antilineal y sin importar si es real o compleja) es un mapa bilineal simétrico que siempre es igual a:
La parte compleja del producto interno depende de si es antilineal en la primera o en la segunda coordenada.
Si el producto interior es antilineal en la primera coordenada, luego para todos
se mantiene, entonces hay un producto interno en V tal que para todos .
Prueba
Aquí solo daremos el caso real; la prueba de espacios vectoriales complejos es análoga.
Por las fórmulas anteriores, si la norma es descrita por un producto interno (como esperamos), entonces debe satisfacer
para todos
Necesitamos probar que esta fórmula define un producto interno que induce la norma . Es decir, debemos mostrar:
para todos
para todos y todo
(Esta axiomatización omite la positividad , que está implícita en (1) y el hecho de que || · || es una norma).
Para las propiedades (1) y (2), simplemente sustituimos: , y .
Para la propiedad (3), es conveniente trabajar al revés. Buscamos mostrar que
Equivalentemente,
Ahora aplicamos la identidad de paralelogramo:
Por tanto, la afirmación que buscamos es
Pero la última afirmación se puede verificar restando las siguientes dos aplicaciones adicionales de la identidad del paralelogramo:
Por lo tanto (3) se mantiene.
Es sencillo verificar por inducción que (3) implica (4), siempre que nos limitemos a Pero "(4) cuando "implica" (4) cuando ". Y cualquier positivo-definido, valor real ,-forma bilineal satisface la desigualdad de Cauchy-Schwarz , de modo quees continuo. Por lo tanto debe ser -lineal también.
Solicitud
Isometrías
Si es una isometría lineal entre dos espacios de Hilbert (por lo que para todos ) luego
para todos ;
es decir, las isometrías lineales preservan los productos internos.
La segunda forma de la identidad de polarización se puede escribir como
Esta es esencialmente una forma vectorial de la ley de los cosenos para el triángulo formado por los vectores, , y . En particular,
dónde es el ángulo entre los vectores y .
Derivación
La relación básica entre la norma y el producto escalar viene dada por la ecuación
Luego
y de manera similar
Las formas (1) y (2) de la identidad de polarización siguen ahora resolviendo estas ecuaciones para u · v , mientras que la forma (3) se sigue de restar estas dos ecuaciones. (La suma de estas dos ecuaciones da la ley del paralelogramo).
Generalizaciones
Formas bilineales simétricas
Las identidades de polarización no se limitan a productos internos. Si B es cualquier forma bilineal simétrica en un espacio vectorial, y Q es la forma cuadrática definida por
luego
The so-called symmetrization map generalizes the latter formula, replacing Q by a homogeneous polynomial of degree k defined by Q(v) = B(v, ..., v), where B is a symmetric k-linear map.[4]
The formulas above even apply in the case where the field of scalars has characteristic two, though the left-hand sides are all zero in this case. Consequently, in characteristic two there is no formula for a symmetric bilinear form in terms of a quadratic form, and they are in fact distinct notions, a fact which has important consequences in L-theory; for brevity, in this context "symmetric bilinear forms" are often referred to as "symmetric forms".
These formulas also apply to bilinear forms on modules over a commutative ring, though again one can only solve for B(u, v) if 2 is invertible in the ring, and otherwise these are distinct notions. For example, over the integers, one distinguishes integral quadratic forms from integral symmetric forms, which are a narrower notion.
More generally, in the presence of a ring involution or where 2 is not invertible, one distinguishes ε-quadratic forms and ε-symmetric forms; a symmetric form defines a quadratic form, and the polarization identity (without a factor of 2) from a quadratic form to a symmetric form is called the "symmetrization map", and is not in general an isomorphism. This has historically been a subtle distinction: over the integers it was not until the 1950s that relation between "twos out" (integral quadratic form) and "twos in" (integral symmetric form) was understood – see discussion at integral quadratic form; and in the algebraization of surgery theory, Mishchenko originally used symmetricL-groups, rather than the correct quadraticL-groups (as in Wall and Ranicki) – see discussion at L-theory.
Homogeneous polynomials of higher degree
Finally, in any of these contexts these identities may be extended to homogeneous polynomials (that is, algebraic forms) of arbitrary degree, where it is known as the polarization formula, and is reviewed in greater detail in the article on the polarization of an algebraic form.
notas y referencias
^ Philippe Blanchard, Erwin Brüning (2003). "Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan)". Mathematical methods in physics: distributions, Hilbert space operators, and variational methods. Birkhäuser. p. 192. ISBN 0817642285.
^Gerald Teschl (2009). "Theorem 0.19 (Jordan–von Neumann)". Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators. American Mathematical Society Bookstore. p. 19. ISBN 978-0-8218-4660-5.
^Butler, Jon (20 June 2013). "norm - Derivation of the polarization identities?". Mathematics Stack Exchange. Archived from the original on 14 October 2020. Retrieved 2020-10-14. See Harald Hanche-Olson's answer.