Icositetraedro pentagonal | |
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(Haga clic en ccw o cw para modelos rotativos). | |
Tipo | catalán |
Notación de Conway | gC |
Diagrama de Coxeter | |
Polígono de caras | pentágono irregular |
Caras | 24 |
Bordes | 60 |
Vértices | 38 = 6 + 8 + 24 |
Configuración de la cara | V3.3.3.3.4 |
Ángulo diedro | 136 ° 18 '33' |
Grupo de simetría | O , ½BC 3 , [4,3] + , 432 |
Poliedro doble | cubo de desaire |
Propiedades | convexo , cara transitiva , quiral |
Neto |
En geometría , un icositetraedro pentagonal o icosikaitetraedro pentagonal [1] es un sólido catalán que es el dual del cubo chato . En cristalografía también se le llama giroide . [2] [3]
Tiene dos formas distintas, que son imágenes especulares (o " enantiomorfos ") entre sí.
Construcción
El icositetraedro pentagonal se puede construir a partir de un cubo chato sin tomar el dual. Las pirámides cuadradas se agregan a las seis caras cuadradas del cubo chato, y las pirámides triangulares se agregan a las ocho caras triangulares que no comparten un borde con un cuadrado. Las alturas de las pirámides se ajustan para hacerlas coplanares con las otras 24 caras triangulares del cubo chato. El resultado es el icositetraedro pentagonal.
Coordenadas cartesianas
Denotan la constante tribonacci por. (Consulte el cubo plano para obtener una explicación geométrica de la constante de tribonacci). Entonces, las coordenadas cartesianas de los 38 vértices de un icositetraedro pentagonal centrado en el origen son las siguientes:
- las 12 permutaciones pares de (± 1, ± (2t + 1), ± t 2 ) con un número par de signos negativos
- las 12 permutaciones impares de (± 1, ± (2t + 1), ± t 2 ) con un número impar de signos menos
- los 6 puntos (± t 3 , 0, 0), (0, ± t 3 , 0) y (0, 0, ± t 3 )
- los 8 puntos (± t 2 , ± t 2 , ± t 2 )
Geometría
Las caras pentagonales tienen cuatro ángulos de y un ángulo de . El pentágono tiene tres bordes cortos de longitud unitaria cada uno y dos bordes largos de longitud. El ángulo agudo está entre los dos bordes largos. El ángulo diedro es igual a.
Si su cubo plano doble tiene una unidad de longitud de borde, su área de superficie y volumen son: [4]
Proyecciones ortogonales
El icositetraedro pentagonal tiene tres posiciones de simetría, dos centradas en los vértices y una en la mitad.
Simetría proyectiva | [3] | [4] + | [2] |
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Imagen | |||
Imagen dual |
Variaciones
Se pueden construir variaciones isoédricas con la misma simetría octaédrica quiral con caras pentagonales que tienen 3 longitudes de borde.
Esta variación que se muestra se puede construir agregando pirámides a 6 caras cuadradas y 8 caras triangulares de un cubo chato de modo que las nuevas caras triangulares con 3 triángulos coplanares se fusionen en caras idénticas del pentágono.
Cubo desaire con pirámides aumentadas y caras fusionadas | Icositetraedro pentagonal | Neto |
Poliedros y teselados relacionados
Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros y teselaciones de pentágonos con configuraciones de caras (V3.3.3.3. N ). (La secuencia progresa en teselaciones del plano hiperbólico a cualquier n .) Estas figuras transitivas de caras tienen (n32) simetría rotacional .
n 32 mutaciones de simetría de teselaciones chatas: 3.3.3.3.n | ||||||||
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Simetría n 32 | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Figuras chatas | ||||||||
Config. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Figuras Gyro | ||||||||
Config. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
El icositetraedro pentagonal es el segundo de una serie de poliedros y teselados dobles con configuración frontal V3.3.4.3. n .
4 n 2 mutaciones de simetría de teselaciones chatas : 3.3.4.3.n | ||||||||
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Simetría 4 n 2 | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||
242 | 342 | 442 | 542 | 642 | 742 | 842 | 42 | |
Figuras chatas | ||||||||
Config. | 3.3.4.3.2 | 3.3.4.3.3 | 3.3.4.3.4 | 3.3.4.3.5 | 3.3.4.3.6 | 3.3.4.3.7 | 3.3.4.3.8 | 3.3.4.3.∞ |
Figuras Gyro | ||||||||
Config. | V3.3.4.3.2 | V3.3.4.3.3 | V3.3.4.3.4 | V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | V3.3.4.3.8 | V3.3.4.3.∞ |
El icositetraedro pentagonal pertenece a una familia de duales de los poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
Poliedros octaédricos uniformes | ||||||||||
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Simetría : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {3 1,1 } | t {3,4} t {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h 2 {4,3} t {3,3} | s {3,4} s {3 1,1 } |
= | = | = | = o | = o | = | |||||
Poliedros duales a uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Referencias
- ^ Conway, Simetrías de las cosas, p.284
- ^ http://www.metafysica.nl/turing/promorph_crystals.html
- ^ http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm
- ^ Eric W. Weisstein , icositetraedro pentagonal ( sólido catalán ) en MathWorld .
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 28, icositetraedro pentagonal)
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Catalán, página 287, icosikaitetraedro pentagonal)
enlaces externos
- Icositetraedro pentagonal - Modelo de poliedro interactivo