La teoría de campos es la rama de las matemáticas en la que se estudian los campos . Este es un glosario de algunos términos del tema. (Ver teoría de campo (física) para las teorías de campo no relacionadas en física).
Definición de un campo
Un campo es un anillo conmutativo ( F , +, *) en el que 0 ≠ 1 y cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo. Así, en un campo podemos realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Los elementos distintos de cero de un campo F forman un grupo abeliano bajo multiplicación; este grupo se denota típicamente por F × ;
El anillo de polinomios en la variable x con coeficientes en F se denota por F [ x ].
Definiciones basicas
- Característica
- La característica del campo F es el menor entero positivo n tal que n · 1 = 0; aquí n · 1 representa n sumandos 1 + 1 + 1 + ... + 1. Si no existe tal n , decimos que la característica es cero. Toda característica distinta de cero es un número primo . Por ejemplo, los números racionales , los números reales y los números p -ádicos tienen la característica 0, mientras que el campo finito Z p donde p es primo tiene la característica p .
- Subcampo
- Un subcampo de un campo F es un subconjunto de F que se cierra bajo la operación de campo + y * de F y que, con estas operaciones, forma en sí mismo un campo.
- Primer campo
- El campo primordial del campo F es el único subcampo más pequeño de F .
- Campo de extensión
- Si F es un subcampo de E entonces E es un campo de extensión de F . Entonces también decimos que E / F es una extensión de campo .
- Grado de una extensión
- Dada una extensión E / F , el campo E se puede considerar como un espacio vectorial sobre el campo F , y la dimensión de este espacio vectorial es el grado de extensión, denotado por [ E : F ].
- Extensión finita
- Una extensión finita es una extensión de campo cuyo grado es finito.
- Extensión algebraica
- Si un α elemento de un campo de extensión E sobre F es la raíz de un no-cero polinomio en F [ x ], entonces α es algebraico sobre F . Si cada elemento de E es algebraico sobre F , entonces E / F es una extensión algebraica .
- Grupo electrógeno
- Dada una extensión de campo E / F y un subconjunto S de E , se escribe F ( S ) para el subcampo más pequeño de E que contiene tanto F y S . Se compone de todos los elementos de E que se pueden obtener mediante el uso de varias veces las operaciones +, -, *, / en los elementos de F y S . Si E = F ( S ) decimos que E es generado por S sobre F .
- Elemento primitivo
- Un elemento α de un campo de extensión E sobre un campo F se denomina elemento primitivo si E = F (α), el campo de extensión más pequeño que contiene α. Tal extensión se llama extensión simple .
- División de campo
- Una extensión de campo generada por la factorización completa de un polinomio.
- Extensión normal
- Una extensión de campo generada por la factorización completa de un conjunto de polinomios.
- Extensión separable
- Una extensión generada por raíces de polinomios separables .
- Campo perfecto
- Un campo tal que toda extensión finita sea separable. Todos los campos de característica cero y todos los campos finitos son perfectos.
- Grado imperfecto
- Sea F un campo de característica p > 0; entonces F p es un subcampo. El grado [ F : F p ] se llama el grado imperfecto de F . El campo F es perfecto si y solo si su grado de imperfecto es 1 . Por ejemplo, si F es un campo de función de n variables sobre un campo finito de característica p > 0, entonces su grado de imperfecto es p n . [1]
- Campo algebraicamente cerrado
- Un campo F está algebraicamente cerrado si cada polinomio en F [ x ] tiene una raíz en F ; de manera equivalente: cada polinomio en F [ x ] es un producto de factores lineales.
- Cierre algebraico
- Un cierre algebraico de un campo F es una extensión algebraica de F que está algebraicamente cerrado. Cada campo tiene una clausura algebraica, y es único hasta un isomorfismo que fija F .
- Trascendental
- Aquellos elementos de un campo de extensión de F que no son algebraico sobre F son trascendental sobre F .
- Elementos algebraicamente independientes
- Elementos de un campo de extensión de F son algebraicamente independiente sobre F si no satisfacen cualquier ecuación polinómica no cero con coeficientes en F .
- Grado de trascendencia
- El número de elementos trascendentales algebraicamente independientes en una extensión de campo. Se utiliza para definir la dimensión de una variedad algebraica .
Homomorfismos
- Homomorfismo de campo
- Un homomorfismo de campo entre dos campos E y F es una función
- f : E → F
- tal que, para todo x , y en E ,
- f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
- f ( xy ) = f ( x ) f ( y )
- f (1) = 1.
- Estas propiedades implican que f (0) = 0 , f ( x −1 ) = f ( x ) −1 para x en E con x ≠ 0 , y que f es inyectiva . Los campos, junto con estos homomorfismos, forman una categoría . Dos campos E y F se denominan isomorfos si existe un homomorfismo biyectivo
- f : E → F .
- Los dos campos son entonces idénticos a todos los efectos prácticos; sin embargo, no necesariamente de una manera única . Vea, por ejemplo, conjugación compleja .
Tipos de campos
- Campo finito
- Un campo con un número finito de elementos. Campo de Aka Galois .
- Campo ordenado
- Un campo con un orden total compatible con sus operaciones.
- Campo numérico
- Extensión finita del campo de los números racionales.
- Números algebraicos
- El campo de los números algebraicos es la extensión algebraicamente cerrada más pequeña del campo de los números racionales. Sus propiedades detalladas se estudian en la teoría algebraica de números .
- Campo cuadrático
- Una extensión de grado dos de los números racionales.
- Campo ciclotómico
- Una extensión de los números racionales generados por una raíz de unidad .
- Campo totalmente real
- Un campo numérico generado por la raíz de un polinomio, que tiene todas sus raíces números reales.
- Campo formalmente real
- Campo cerrado real
- Campo global
- Un campo numérico o un campo de función de una variable sobre un campo finito.
- Campo local
- A la finalización de algunas de campo global ( WRT un número primo del anillo entero).
- Campo completo
- Un campo completo con alguna valoración.
- Campo pseudo algebraicamente cerrado
- Un campo en el que cada variedad tiene un punto racional . [2]
- Campo henseliano
- Un campo que satisface el lema de Hensel significa cierta valoración. Una generalización de campos completos.
- Campo hilbertiano
- Un campo que satisface el teorema de irreductibilidad de Hilbert : formalmente, uno para el que la línea proyectiva no es delgada en el sentido de Serre . [3] [4]
- Campo Kroneckerian
- Un campo numérico algebraico totalmente real o una extensión cuadrática totalmente imaginaria de un campo totalmente real. [5]
- Campo CM o campo J
- Un campo numérico algebraico que es una extensión cuadrática totalmente imaginaria de un campo totalmente real. [6]
- Campo vinculado
- Un campo en el que ningún álgebra de biquaternion es un álgebra de división . [7]
- Campo de Frobenius
- Un campo pseudo algebraicamente cerrado cuyo grupo de Galois absoluto tiene la propiedad de incrustación. [8]
Extensiones de campo
Sea E / F una extensión de campo.
- Extensión algebraica
- Una extensión en la que todos los elementos de E es algebraico sobre F .
- Extensión simple
- Una extensión que es generada por un solo elemento, llamado elemento primitivo o elemento generador . [9] El teorema del elemento primitivo clasifica tales extensiones. [10]
- Extensión normal
- Una extensión que divide una familia de polinomios: cada raíz del polinomio mínimo de un elemento de E sobre F es también en E .
- Extensión separable
- Una extensión algebraica en la que el polinomio mínimo de cada elemento de E sobre F es un polinomio separable , es decir, tiene raíces distintas. [11]
- Extensión de Galois
- Una extensión de campo normal y separable.
- Extensión primaria
- Una extensión E / F tal que el cierre algebraico de F en E es puramente inseparable sobre F ; equivalentemente, E es disjunta linealmente desde el cierre separable de F . [12]
- Extensión puramente trascendental
- Una extensión E / F en la que todos los elementos de E no en F es trascendental sobre F . [13] [14]
- Extensión regular
- Una extensión E / F de tal manera que E es separable sobre F y F se cierra algebraicamente en E . [12]
- Extensión radical simple
- Una simple extensión E / F generada por un solo elemento α que satisface para un elemento b de F . En la característica p , también tomamos una extensión por una raíz de un polinomio de Artin-Schreier como una extensión radical simple. [15]
- Extensión radical
- Una torre donde cada extensión es una simple extensión radical. [15]
- Extensión auto-regular
- Una extensión E / F tal que E ⊗ F E es un dominio integral. [dieciséis]
- Extensión totalmente trascendental
- Una extensión E / F tal que F es algebraicamente cerrado en F . [14]
- Clase distinguida
- Una clase C de extensiones de campo con las tres propiedades [17]
- Si E es un C-extensión de F y F es un C-extensión de K entonces E es un C-extensión de K .
- Si E y F son C-extensiones de K en un común Overfield M , entonces el compositum EF es un C-extensión de K .
- Si E es un C-extensión de F y E > K > F entonces E es una extensión del C- K .
Teoría de Galois
- Extensión de Galois
- Una extensión de campo normal y separable.
- Grupo Galois
- El grupo de automorfismo de una extensión de Galois. Cuando es una extensión finita, este es un grupo finito de orden igual al grado de extensión. Los grupos de Galois para extensiones infinitas son grupos lucrativos .
- Teoría de Kummer
- La teoría de Galois de tomar n raíces -ésimos, dado suficientes raíces de la unidad . Incluye la teoría general de extensiones cuadráticas .
- Teoría de Artin-Schreier
- Cubre un caso excepcional de la teoría de Kummer, en la característica p .
- Base normal
- Una base en el sentido del espacio vectorial de L sobre K , sobre la cual el grupo de Galois de L sobre K actúa transitivamente.
- Producto tensorial de campos
- Una pieza fundamental de álgebra diferente, incluida la operación compositum ( unión de campos).
Extensiones de la teoría de Galois
- Problema inverso de la teoría de Galois
- Dado un grupo G , encuentre una extensión del número racional u otro campo con G como grupo de Galois.
- Teoría diferencial de Galois
- Materia en la que se estudian grupos de simetría de ecuaciones diferenciales siguiendo las líneas tradicionales de la teoría de Galois. Esta es en realidad una idea antigua, y una de las motivaciones cuando Sophus Lie fundó la teoría de los grupos de Lie . Probablemente no haya alcanzado una forma definitiva.
- Teoría de Galois de Grothendieck
- Un enfoque muy abstracto de la geometría algebraica , introducido para estudiar el análogo del grupo fundamental .
Referencias
- ^ Fried y Jarden (2008) p.45
- ^ Fried y Jarden (2008) p.214
- ^ Serre (1992) p.19
- ^ Schinzel (2000) p.298
- ↑ Schinzel (2000) p.5
- ^ Washington, Lawrence C. (1996). Introducción a los campos ciclotómicos (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047 .
- ^ Lam (2005) p.342
- ^ Fried y Jarden (2008) p.564
- ↑ Roman (2007) p.46
- ↑ Lang (2002) p.243
- ^ Fried y Jarden (2008) p.28
- ↑ a b Fried y Jarden (2008) p.44
- ↑ Roman (2007) p.102
- ^ a b Isaacs, I. Martin (1994). Álgebra: un curso de posgrado . Estudios de posgrado en matemáticas. 100 . Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 389. ISBN 0-8218-4799-6. ISSN 1065-7339 .
- ↑ a b Roman (2007) p.273
- ^ Cohn, PM (2003). Álgebra básica. Grupos, anillos y campos . Springer-Verlag . pag. 427. ISBN 1-85233-587-4. Zbl 1003.00001 .
- ↑ Lang (2002) p.228
- Adamson, Iain T. (1982). Introducción a la teoría de campos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-28658-1.
- Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (tercera edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 .
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1095-2. Señor 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Lang, Serge (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0.984,00001
- Roman, Steven (2007). Teoría de campo . Textos de Posgrado en Matemáticas . 158 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-27678-5.
- Serre, Jean-Pierre (1989). Conferencias sobre el teorema de Mordell-Weil . Aspectos de las matemáticas. E15 . Traducido y editado por Martin Brown a partir de notas de Michel Waldschmidt. Braunschweig, etc .: Friedr. Vieweg y Sohn. Zbl 0676.14005 .
- Serre, Jean-Pierre (1992). Temas de la teoría de Galois . Notas de investigación en matemáticas. 1 . Jones y Bartlett. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001 .
- Schinzel, Andrzej (2000). Polinomios con especial atención a la reducibilidad . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 77 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-66225-7. Zbl 0956.12001 .