Paquete de vectores

En matemáticas , un paquete vectorial es una construcción topológica que precisa la idea de una familia de espacios vectoriales parametrizados por otro espacio X (por ejemplo , X podría ser un espacio topológico , una variedad o una variedad algebraica ): a todo punto x de el espacio X asociamos (o "adjuntamos") un espacio vectorial V ( x ) de tal manera que estos espacios vectoriales encajan para formar otro espacio del mismo tipo que X(por ejemplo, un espacio topológico, una variedad o una variedad algebraica), que luego se denomina paquete vectorial sobre  X .

El ejemplo más simple es el caso en que la familia de espacios vectoriales es constante, es decir, existe un espacio vectorial fijo V tal que V ( x ) =  V para todo x en X : en este caso existe una copia de V para cada x en X y estas copias encajan para formar el paquete vectorial X  ×  V sobre X . Se dice que estos paquetes de vectores son triviales . Una clase de ejemplos más complicada (y prototípica) son los paquetes tangentes de variedades suaves (o diferenciables): a cada punto de tal variedad adjuntamos el espacio tangente a la variedad en ese punto. Los paquetes tangentes no son, en general, paquetes triviales. Por ejemplo, el paquete tangente de la esfera no es trivial según el teorema de la bola peluda . En general, se dice que una variedad es paralelizable si, y solo si, su paquete tangente es trivial.

Sin embargo, casi siempre se requiere que los haces de vectores sean localmente triviales , lo que significa que son ejemplos de haces de fibra . Además, generalmente se requiere que los espacios vectoriales estén sobre los números reales o complejos, en cuyo caso se dice que el paquete vectorial es un paquete vectorial real o complejo (respectivamente). Los paquetes de vectores complejos se pueden ver como paquetes de vectores reales con una estructura adicional. A continuación, nos enfocamos en paquetes de vectores reales en la categoría de espacios topológicos .

donde se cumple la siguiente condición de compatibilidad: para todo punto p en X , existe una vecindad abierta U ⊆ X de p , un número natural k , y un homeomorfismo

La vecindad abierta U junto con el homeomorfismo se denomina trivialización local del fibrado vectorial. La trivialización local muestra que localmente el mapa π "se parece" a la proyección de U × R ^k sobre U .${\ estilo de visualización \ varphi}$

Toda fibra π ⁻¹ ({ x }) es un espacio vectorial real de dimensión finita y, por lo tanto, tiene una dimensión k _x . Las trivializaciones locales muestran que la función x ↦ k _x es localmente constante y, por lo tanto , es constante en cada componente conexa de X. Si k _x es igual a una constante k en todo X , entonces k se llama el rango del paquete vectorial, y se dice que E es un paquete vectorial de rango k. A menudo, la definición de un paquete vectorial incluye que el rango está bien definido, de modo que k _x es constante. Los haces vectoriales de rango 1 se denominan haces lineales , mientras que los de rango 2 se denominan menos comúnmente haces planos.

La cinta de Möbius (infinitamente extendida) es un haz de líneas sobre la 1 esfera S ¹ . Localmente alrededor de cada punto en S ¹ , parece U  ×  R (donde U es un arco abierto que incluye el punto), pero el paquete total es diferente de S ¹  ×  R (que es un cilindro ).

Un paquete vectorial sobre una base . Un punto en corresponde al origen en una fibra del haz vectorial , y esta fibra es mapeada hasta el punto por la proyección .${\ estilo de visualización E}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización m_ {1}}$${\ estilo de visualización M}$${\displaystyle E_{m_{1}}}$${\ estilo de visualización E}$${\ estilo de visualización m_ {1}}$${\ estilo de visualización \ pi: E \ a M}$

Dos paquetes de vectores triviales sobre conjuntos abiertos y pueden pegarse sobre la intersección mediante funciones de transición que sirven para unir las regiones grises sombreadas después de aplicar una transformación lineal a las fibras (observe la transformación del cuadrilátero azul bajo el efecto de ). Las diferentes opciones de funciones de transición pueden dar como resultado diferentes paquetes de vectores que no son triviales una vez que se completa el pegado.${\displaystyle U_{\alfa}}$${\displaystyle U_{\beta}}$${\displaystyle U_{\alfa \beta}}$${\displaystyle g_{\alfa \beta}}$${\displaystyle g_{\alfa \beta}}$

La tira de Möbius se puede construir mediante un pegado no trivial de dos paquetes triviales en subconjuntos abiertos U y V del círculo S ¹ . Cuando se pega trivialmente (con g _UV = 1 ) se obtiene el paquete trivial, pero con el pegado no trivial de g _UV = 1 en una superposición y g _UV = -1 en la segunda superposición, se obtiene el paquete no trivial E , la cinta de Möbius. Esto se puede visualizar como una "torsión" de uno de los gráficos locales.

Un subpaquete lineal de un paquete vectorial trivial de rango 2 sobre una variedad unidimensional .${\ estilo de visualización L}$${\ estilo de visualización E}$${\ estilo de visualización M}$

Un paquete vectorial sobre una base con sección .${\ estilo de visualización E}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización}$

El mapa que asocia una normal a cada punto de una superficie se puede considerar como una sección. La superficie es el espacio X , y en cada punto x hay un vector en el espacio vectorial unido a x .

La regularidad de las funciones de transición que describen un paquete vectorial determina el tipo de paquete vectorial. Si se utilizan las funciones de transición continua g _UV , el haz vectorial E resultante es solo continuo pero no suave. Si se utilizan las funciones de transición suave h _UV , entonces el paquete vectorial resultante F es un paquete vectorial suave.