1 32 politopo

3 21		2 31		1 32
Rectificado 3 21			birectificado 3 21
Rectificado 2 31			Rectificado 1 32
Proyecciones ortogonales en el plano de Coxeter E 7

En geometría de 7 dimensiones , 1 ₃₂ es un politopo uniforme , construido a partir del grupo E7 .

Su símbolo de Coxeter es 1 ₃₂ , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo al final de una de las secuencias de 1 nodo.

El 1 ₃₂ rectificado está construido por puntos en los bordes medios del 1 ₃₂ .

Estos politopos son parte de una familia de 127 (2 ⁷ -1) convexas politopos uniformes en 7-dimensiones , hechas de Polytope uniforme facetas y figura de vértice , definido por todas las permutaciones de los anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin :.

1_32 politopo

1 32
Escribe	7 politopos uniformes
Familia	1 K2 politopo
Símbolo de Schläfli	{3,3 3,2 }
Símbolo de coxeter	1 32
Diagrama de Coxeter
6 caras	182: 56 1 22 126 1 31
5 caras	4284: 756 1 21 1512 1 21 2016 {3 4 }
4 caras	23688: 4032 {3 3 } 7560 1 11 12096 {3 3 }
Células	50400: 20160 {3 2 } 30240 {3 2 }
Caras	40320 {3}
Bordes	10080
Vértices	576
Figura de vértice	t 2 {3 5 }
Polígono de Petrie	Octadecágono
Grupo Coxeter	E 7 , [3 3,2,1 ], pedido 2903040
Propiedades	convexo

Este politopo puede tessellate espacio 7-dimensional, con el símbolo de 1 ₃₃ , y el diagrama de Coxeter-Dynkin,. Es la celda de Voronoi de la celosía dual E 7 * . ^[1]

Nombres alternativos

• Emanuel Lodewijk Elte lo nombró V ₅₇₆ (por sus 576 vértices) en su lista de 1912 de politopos semirregulares. ^[2]
• Coxeter lo llamó 1 ₃₂ por su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo en el extremo de la rama de 1 nodo.
• Pentacontihexa-hecatonicosihexa-exón (acrónimo lin) - poliexón facetado 56-126 (Jonathan Bowers) ^[3]

Imágenes

Proyecciones del plano de Coxeter

E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

Construcción

Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 7 espejos hiperplanos en un espacio de 7 dimensiones.

La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,

Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el 6-demicubo , 1 ₃₁ ,

Quitar el nodo en el extremo de la rama de 3 longitudes deja el 1 22 ,

La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el 6-simplex birectificado , 0 ₃₂ ,

Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación de espejos y las proporciones de los pedidos del grupo Coxeter . ^[4]

E 7		cara k	f k	f 0	f 1	f 2	f 3		f 4			f 5			f 6		k -figuras	notas
A 6		()	f 0	576	35	210	140	210	35	105	105	21	42	21	7	7	2r {3,3,3,3,3}	E 7 / A 6 = 72 * 8! / 7! = 576
A 3 A 2 A 1		{}	f 1	2	10080	12	12	18	4	12	12	6	12	3	4	3	{3,3} x {3}	E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72 * 8! / 4! / 3! / 2 = 10080
A 2 A 2 A 1		{3}	f 2	3	3	40320	2	3	1	6	3	3	6	1	3	2	{} ∨ {3}	E 7 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 8! / 3! / 3! / 2 = 40320
A 3 A 2		{3,3}	f 3	4	6	4	20160	*	1	3	0	3	3	0	3	1	{3} ∨ ()	E 7 / A 3 A 2 = 72 * 8! / 4! / 3! = 20160
A 3 A 1 A 1				4	6	4	*	30240	0	2	2	1	4	1	2	2	Disfenoide fílico	E 7 / A 3 A 1 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2/2 = 30240
A 4 A 2		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	0	4032	*	*	3	0	0	3	0	{3}	E 7 / A 4 A 2 = 72 * 8! / 5! / 3! = 4032
D 4 A 1		{3,3,4}		8	24	32	8	8	*	7560	*	1	2	0	2	1	{} ∨ ()	Mi 7 / D 4 UNA 1 = 72 * 8! / 8/4! / 2 = 7560
A 4 A 1		{3,3,3}		5	10	10	0	5	*	*	12096	0	2	1	1	2		Mi 7 / UNA 4 UNA 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096
D 5 A 1		h {4,3,3,3}	f 5	dieciséis	80	160	80	40	dieciséis	10	0	756	*	*	2	0	{}	Mi 7 / D 5 UNA 1 = 72 * 8! / 16/5! / 2 = 756
D 5				dieciséis	80	160	40	80	0	10	dieciséis	*	1512	*	1	1		E 7 / D 5 = 72 * 8! / 16/5! = 1512
A 5 A 1		{3,3,3,3,3}		6	15	20	0	15	0	0	6	*	*	2016	0	2		E 7 / A 5 A 1 = 72 * 8! / 6! / 2 = 2016
E 6		{3,3 2,2 }	f 6	72	720	2160	1080	1080	216	270	216	27	27	0	56	*	()	Mi 7 / Mi 6 = 72 * 8! / 72/6! = 56
D 6		h {4,3,3,3,3}		32	240	640	160	480	0	60	192	0	12	32	*	126		E 7 / D 6 = 72 * 8! / 32/6! = 126

Politopos y panales relacionados

El 1 ₃₂ es el tercero en una serie dimensional de politopos uniformes y panales, expresada por Coxeter como una serie 1 _3k . La siguiente figura es el panal euclidiano 1 33 y la última es un panal hiperbólico no compacto, 1 ₃₄ .

1 figuras dimensionales de _3k

Espacio	Finito				Euclidiana	Hiperbólico
norte	4	5	6	7	8	9
Grupo Coxeter	A 3 A 1	A 5	D 6	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$= E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$= E 7 ++
Diagrama de Coxeter
Simetría	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[3 1,3,1 ]	[3 2,3,1 ]	[[3 3,3,1 ]]	[3 4,3,1 ]
Orden	48	720	23,040	2.903.040	∞
Grafico					-	-
Nombre	1 3, -1	1 30	1 31	1 32	1 33	1 34

Figuras de 1 k2 en n dimensiones
Espacio	Finito						Euclidiana	Hiperbólico
norte	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxetergroup	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9 = ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ = E8+	E10 = ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$ = E8++
Coxeterdiagram
Symmetry (order)	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[31,2,1]	[[32,2,1]]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Order	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	1−1,2	102	112	122	132	142	152	162

Politopo 1_32 rectificado

Rectificado 1 32
Escribe	7 politopos uniformes
Símbolo de Schläfli	t 1 {3,3 3,2 }
Símbolo de coxeter	0 321
Diagrama de Coxeter-Dynkin
6 caras	758
5 caras	12348
4 caras	72072
Células	191520
Caras	241920
Bordes	120960
Vértices	10080
Figura de vértice	{3,3} × {3} × {}
Grupo Coxeter	E 7 , [3 3,2,1 ], pedido 2903040
Propiedades	convexo

El 1 ₃₂ rectificado (también llamado 0 ₃₂₁ ) es una rectificación del politopo 1 ₃₂ , creando nuevos vértices en el centro del borde del 1 ₃₂ . Su figura de vértice es un prisma de duoprisma, el producto de un tetraedro regular y un triángulo, duplicado en un prisma: {3,3} × {3} × {}.

Nombres alternativos

• Pentacontihexa-hecatonicosihexa-exón rectificado para poliexón facetado 56-126 rectificado (acrónimo rolin) (Jonathan Bowers) ^[5]

Construcción

Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 7 espejos hiperplanos en un espacio de 7 dimensiones. Estos espejos están representados por su diagrama de Coxeter-Dynkin ,, y el anillo representa la posición de los espejos activos.

Quitar el nodo en el extremo de la rama de 3 longitudes deja el politopo rectificado 1 22 ,

Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el demihexeract , 1 ₃₁ ,

Quitar el nodo en el extremo de la rama de 1 longitud deja el 6-simplex birectificado ,

La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el prisma de duoprisma tetraedro-triángulo, {3,3} × {3} × {},

Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación de espejos y las proporciones de los pedidos del grupo Coxeter . ^[6]

E 7		cara k	f k	f 0	f 1	f 2			f 3					f 4						f 5					f 6			k -figuras	notas
A 3 A 2 A 1		()	f 0	10080	24	24	12	36	8	12	36	18	24	4	12	18	24	12	6	6	8	12	6	3	4	2	3	{3,3} x {3} x {}	E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72 * 8! / 4! / 3! / 2 = 10080
A 2 A 1 A 1		{}	f 1	2	120960	2	1	3	1	2	6	3	3	1	3	6	6	3	1	3	3	6	2	1	3	1	2	() v {3} v {}	E 7 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 8! / 3! / 2/2 = 120960
A 2 A 2		0 1	f 2	3	3	80640	*	*	1	1	3	0	0	1	3	3	3	0	0	3	3	3	1	0	3	1	1	{3} v () v ()	E 7 / A 2 A 2 = 72 * 8! / 3! / 3! = 80640
A 2 A 2 A 1				3	3	*	40320	*	0	2	0	3	0	1	0	6	0	3	0	3	0	6	0	1	3	0	2	{3} v {}	E 7 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 8! / 3! / 3! / 2 = 40320
A 2 A 1 A 1				3	3	*	*	120960	0	0	2	1	2	0	1	2	4	2	1	1	2	4	2	1	2	1	2	{} v {} v ()	E 7 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 8! / 3! / 2/2 = 120960
A 3 A 2		0 2	f 3	4	6	4	0	0	20160	*	*	*	*	1	3	0	0	0	0	3	3	0	0	0	3	1	0	{3} v ()	E 7 / A 3 A 2 = 72 * 8! / 4! / 3! = 20160
		0 11		6	12	4	4	0	*	20160	*	*	*	1	0	3	0	0	0	3	0	3	0	0	3	0	1
A 3 A 1				6	12	4	0	4	*	*	60480	*	*	0	1	1	2	0	0	1	2	2	1	0	2	1	1	Esfenoides	E 7 / A 3 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2 = 60480
A 3 A 1 A 1				6	12	0	4	4	*	*	*	30240	*	0	0	2	0	2	0	1	0	4	0	1	2	0	2	{} v {}	E 7 / A 3 A 1 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2/2 = 30240
A 3 A 1		0 2		4	6	0	0	4	*	*	*	*	60480	0	0	0	2	1	1	0	1	2	2	1	1	1	2	Esfenoides	E 7 / A 3 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2 = 60480
A 4 A 2		0 21	f 4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	4032	*	*	*	*	*	3	0	0	0	0	3	0	0	{3}	E 7 / A 4 A 2 = 72 * 8! / 5! / 3! = 4032
A 4 A 1				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	12096	*	*	*	*	1	2	0	0	0	2	1	0	{} v ()	Mi 7 / UNA 4 UNA 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096
D 4 A 1		0 111		24	96	32	32	32	0	8	8	8	0	*	*	7560	*	*	*	1	0	2	0	0	2	0	1		Mi 7 / D 4 UNA 1 = 72 * 8! / 8/4! / 2 = 7560
A 4		0 21		10	30	10	0	20	0	0	5	0	5	*	*	*	24192	*	*	0	1	1	1	0	1	1	1	() v () v ()	E 7 / A 4 = 72 * 8! / 5! = 34192
A 4 A 1				10	30	0	10	20	0	0	0	5	5	*	*	*	*	12096	*	0	0	2	0	1	1	0	2	{} v ()	Mi 7 / UNA 4 UNA 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096
		0 3		5	10	0	0	10	0	0	0	0	5	*	*	*	*	*	12096	0	0	0	2	1	0	1	2
D 5 A 1		0 211	f 5	80	480	320	160	160	80	80	80	40	0	dieciséis	dieciséis	10	0	0	0	756	*	*	*	*	2	0	0	{}	Mi 7 / D 5 UNA 1 = 72 * 8! / 16/5! / 2 = 756
A 5		0 22		20	90	60	0	60	15	0	30	0	15	0	6	0	6	0	0	*	4032	*	*	*	1	1	0		E 7 / A 5 = 72 * 8! / 6! = 4032
D 5		0 211		80	480	160	160	320	0	40	80	80	80	0	0	10	dieciséis	dieciséis	0	*	*	1512	*	*	1	0	1		E 7 / D 5 = 72 * 8! / 16/5! = 1512
A 5		0 31		15	60	20	0	60	0	0	15	0	30	0	0	0	6	0	6	*	*	*	4032	*	0	1	1		E 7 / A 5 = 72 * 8! / 6! = 4032
A 5 A 1				15	60	0	20	60	0	0	0	15	30	0	0	0	0	6	6	*	*	*	*	2016	0	0	2		E 7 / A 5 A 1 = 72 * 8! / 6! / 2 = 2016
E 6		0 221	f 6	720	6480	4320	2160	4320	1080	1080	2160	1080	1080	216	432	270	432	216	0	27	72	27	0	0	56	*	*	()	Mi 7 / Mi 6 = 72 * 8! / 72/6! = 56
A 6		0 32		35	210	140	0	210	35	0	105	0	105	0	21	0	42	0	21	0	7	0	7	0	*	576	*		E 7 / A 6 = 72 * 8! / 7! = 576
D 6		0 311		240	1920	640	640	1920	0	160	480	480	960	0	0	60	192	192	192	0	0	12	32	32	*	*	126		E 7 / D 6 = 72 * 8! / 32/6! = 126

Imágenes

Proyecciones del plano de Coxeter

E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[14]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

Ver también

• Lista de politopos E7

Notas

1. Las celdas de Voronoi de las celosías E 6 * y E 7 * Archivado el 30 de enero de 2016 en la Wayback Machine , Edward Pervin
2. Elte, 1912
3. Klitzing, (o3o3o3x * c3o3o3o - lin)
4. Coxeter, Regular Polytopes, 11,8 figuras de Gossett en seis, siete y ocho dimensiones, p. 202-203
5. Klitzing, (o3o3x3o * c3o3o3o - rolin)
6. Coxeter, Regular Polytopes, 11,8 figuras de Gossett en seis, siete y ocho dimensiones, p. 202-203

Referencias

• Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen
• HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
• Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 7D (polyexa)" . o3o3o3x * c3o3o3o - lin, o3o3x3o * c3o3o3o - rolin

v t mi Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia	Un n	B n	Yo 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme	Pentacoron	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes	5 simplex	5-ortoplex • 5-cubo	5-demicubo
6 politopos uniformes	6-simplex	6 ortoplex • 6 cubos	6-demicubo	1 22 • 2 21
7 politopos uniformes	7-simplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicubo	1 32 • 2 31 • 3 21
Politopo uniforme de 8	8 simplex	8 ortoplex • 8 cubos	8-demicubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes	9 simplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubo
Politopo uniforme 10	10-simplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubo
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplejo • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos