En matemáticas , los anillos son estructuras algebraicas que generalizan campos : la multiplicación no necesita ser conmutativa y los inversos multiplicativos no necesitan existir. En otras palabras, un anillo es un conjunto equipado con dos operaciones binarias que satisfacen propiedades análogas a las de la suma y multiplicación de números enteros . Los elementos del anillo pueden ser números como enteros o números complejos , pero también pueden ser objetos no numéricos como polinomios ,matrices cuadradas , funciones y series de potencias .
Formalmente, un anillo es un grupo abeliano cuya operación se llama suma , con una segunda operación binaria llamada multiplicación que es asociativa , es distributiva sobre la operación de suma y tiene un elemento de identidad multiplicativo . (Algunos autores utilizan el término "anillo" para referirse a la estructura más general que omite este último requisito; ver § Notas sobre la definición ).
Si un anillo es conmutativo (es decir, si el orden en el que se multiplican dos elementos puede cambiar el resultado) tiene profundas implicaciones en su comportamiento. El álgebra conmutativa , la teoría de los anillos conmutativos , es una rama importante de la teoría de los anillos . Su desarrollo ha estado muy influenciado por problemas e ideas de la teoría de números algebraicos y la geometría algebraica . Los anillos conmutativos más simples son los que admiten la división por elementos distintos de cero; tales anillos se llaman campos .
Ejemplos de anillos conmutativos incluyen el conjunto de números enteros con su suma y multiplicación estándar, el conjunto de polinomios con su suma y multiplicación, el anillo de coordenadas de una variedad algebraica afín y el anillo de números enteros de un campo numérico. Ejemplos de anillos no conmutativos incluyen el anillo de n × n matrices cuadradas reales con n ≥ 2 , anillos de grupo en teoría de representación , álgebras de operadores en análisis funcional , anillos de operadores diferenciales y anillos de cohomología en topología .
La conceptualización de los anillos se extendió desde la década de 1870 hasta la de 1920, con contribuciones clave de Dedekind , Hilbert , Fraenkel y Noether . Los anillos se formalizaron por primera vez como una generalización de los dominios de Dedekind que ocurren en la teoría de números , y de los anillos polinomiales y los anillos de invariantes que ocurren en la geometría algebraica y la teoría de invariantes . Posteriormente resultaron útiles en otras ramas de las matemáticas como la geometría y el análisis .
Definición
Un anillo es un conjunto R equipado con dos operaciones binarias [a] + (suma) y ⋅ (multiplicación) que satisfacen los siguientes tres conjuntos de axiomas, llamados axiomas del anillo [1] [2] [3]
- R es un grupo abeliano en adición, lo que significa que:
- ( a + b ) + c = a + ( b + c ) para todo a , b , c en R (es decir, + es asociativo ).
- a + b = b + a para todo a , b en R (es decir, + es conmutativo ).
- Hay un elemento 0 en R tal que a + 0 = a para todo a en R (es decir, 0 es la identidad aditiva ).
- Para cada a en R existe - a en R tal que a + (- a ) = 0 (es decir, - a es el inverso aditivo de a ).
- R es un monoide en multiplicación, lo que significa que:
- ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) para todo a , b , c en R (es decir, ⋅ es asociativo).
- Hay un elemento 1 en R tal que a ⋅ 1 = a y 1 ⋅ a = a para todo a en R (es decir, 1 es la identidad multiplicativa ). [B]
- La multiplicación es distributiva con respecto a la suma, lo que significa que:
- a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) para todo a , b , c en R (distributividad izquierda).
- ( b + c ) ⋅ a = ( b ⋅ a ) + ( c ⋅ a ) para todo a , b , c en R (distributividad derecha).
Notas sobre la definición
En la terminología de este artículo, un anillo se define para tener una identidad multiplicativa, y una estructura con la misma definición axiomática pero por el requisito de una identidad multiplicativa se llama rng (IPA: / r ʊ ŋ / ). Por ejemplo, el conjunto de enteros pares con los habituales + y ⋅ es un rng, pero no un anillo. Como se explica en § Historia a continuación, muchos autores aplican el término "anillo" sin requerir una identidad multiplicativa.
El símbolo de multiplicación ⋅ generalmente se omite; por ejemplo, xy significa x ⋅ y .
Aunque la suma de anillos es conmutativa , no se requiere que la multiplicación de anillos sea conmutativa: ab no tiene por qué ser necesariamente igual a ba . Los anillos que también satisfacen la conmutatividad para la multiplicación (como el anillo de números enteros) se denominan anillos conmutativos . Los libros sobre álgebra conmutativa o geometría algebraica a menudo adoptan la convención de que anillo significa anillo conmutativo , para simplificar la terminología.
En un anillo, no se requiere que existan inversos multiplicativos. Un anillo conmutativo distinto de cero en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo se llama campo .
El grupo aditivo de un anillo es el conjunto subyacente equipado únicamente con la operación de adición. Aunque la definición requiere que el grupo aditivo sea abeliano, esto se puede inferir de los otros axiomas del anillo. [4] La demostración hace uso del "1" y no funciona en un rng. (Para un rng, omitir el axioma de conmutatividad de la adición lo deja inferible de los supuestos rng restantes solo para elementos que son productos: ab + cd = cd + ab .)
Aunque la mayoría de los autores modernos usan el término "anillo" como se define aquí, hay algunos que usan el término para referirse a estructuras más generales en las que no es necesario que la multiplicación sea asociativa. [5] Para estos otros, cada álgebra es un "anillo".
Ilustración
El ejemplo más familiar de un anillo es el conjunto de todos los números enteros. , que consta de los números
- ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Las propiedades familiares para la suma y multiplicación de números enteros sirven como modelo para los axiomas de un anillo.
Algunas propiedades
Algunas propiedades básicas de un anillo se derivan inmediatamente de los axiomas:
- La identidad aditiva es única.
- El inverso aditivo de cada elemento es único.
- La identidad multiplicativa es única.
- Para cualquier elemento x en un anillo R , uno tiene x 0 = 0 = 0 x (cero es un elemento absorbente con respecto a la multiplicación) y (–1) x = - x .
- Si 0 = 1 en un anillo R (o más generalmente, 0 es un elemento unitario), entonces R tiene solo un elemento y se llama anillo cero .
- Si un anillo R contiene el anillo cero como un subanillo, entonces el propio R es el anillo cero. [6]
- La fórmula binomial se cumple para cualquier x y y satisfacer xy = yx .
Ejemplo: Enteros módulo 4
Equipar el set con las siguientes operaciones:
- La suma en Z / 4 Z es el resto cuando el número entero x + y se divide por 4 (como x + y siempre es menor que 8, este resto es x + y o x + y - 4 ). Por ejemplo, y .
- El producto en Z / 4 Z es el resto cuando el número entero xy se divide por 4. Por ejemplo, y .
Entonces Z / 4 Z es un anillo: cada axioma sigue de la axioma correspondiente para Z . Si x es un número entero, el resto de x cuando se divide por 4 puede considerarse como un elemento de Z / 4 Z , y este elemento a menudo se denota por " x mod 4" o, que es consistente con la notación para 0, 1, 2, 3. El inverso aditivo de cualquier en Z / 4 Z es. Por ejemplo,
Ejemplo: matrices de 2 por 2
El conjunto de matrices cuadradas de 2 por 2 con entradas en un campo F es [7] [8] [9] [10]
Con las operaciones de suma y multiplicación de matrices ,satisface los axiomas de anillo anteriores. El elementoes la identidad multiplicativa del anillo. Si y , luego tiempo ; este ejemplo muestra que el anillo no es conmutativo.
De manera más general, para cualquier anillo R , conmutativo o no, y cualquier número entero no negativo n , las matrices cuadradas de dimensión n con entradas en R forman un anillo: consulte Anillo de matriz .
Historia
Dedekind
El estudio de los anillos se originó a partir de la teoría de los anillos polinomiales y la teoría de los enteros algebraicos . [11] En 1871, Richard Dedekind definió el concepto del anillo de números enteros de un campo numérico. [12] En este contexto, introdujo los términos "ideal" (inspirado en la noción de número ideal de Ernst Kummer ) y "módulo" y estudió sus propiedades. Dedekind no utilizó el término "anillo" y no definió el concepto de anillo en un escenario general.
Hilbert
El término "Zahlring" (anillo numérico) fue acuñado por David Hilbert en 1892 y publicado en 1897. [13] En el alemán del siglo XIX, la palabra "Ring" podría significar "asociación", que todavía se utiliza hoy en día en inglés de forma limitada. sentido (por ejemplo, anillo espía), [14] así que si esa fuera la etimología, sería similar a la forma en que "grupo" ingresó a las matemáticas al ser una palabra no técnica para "colección de cosas relacionadas". Según Harvey Cohn, Hilbert usó el término para un anillo que tenía la propiedad de "dar vueltas directamente hacia atrás" a un elemento de sí mismo (en el sentido de una equivalencia ). [15] Específicamente, en un anillo de números enteros algebraicos, todas las potencias altas de un entero algebraico pueden escribirse como una combinación integral de un conjunto fijo de potencias inferiores, y así las potencias "retroceden". Por ejemplo, si a 3 - 4 a + 1 = 0 entonces a 3 = 4 a - 1 , a 4 = 4 a 2 - a , a 5 = - a 2 + 16 a - 4 , a 6 = 16 a 2 - 8 a + 1 , a 7 = −8 a 2 + 65 a - 16 , y así sucesivamente; en general, un n va a ser una combinación lineal integral de 1, una , y un 2 .
Fraenkel y Noether
La primera definición axiomática de un anillo fue dada por Adolf Fraenkel en 1915, [16] [17] pero sus axiomas eran más estrictos que los de la definición moderna. Por ejemplo, requirió que cada divisor distinto de cero tuviera un inverso multiplicativo . [18] En 1921, Emmy Noether dio una definición axiomática moderna de anillos conmutativos (con y sin 1) y desarrolló los fundamentos de la teoría del anillo conmutativo en su artículo Idealtheorie in Ringbereichen . [19]
Identidad multiplicativa y el término "anillo"
Los axiomas de Fraenkel para un "anillo" incluían el de una identidad multiplicativa, [20] mientras que los de Noether no. [19]
La mayoría o todos los libros sobre álgebra [21] [22] hasta alrededor de 1960 siguieron la convención de Noether de no requerir un 1 para un "anillo". A partir de la década de 1960, se hizo cada vez más común ver libros que incluían la existencia de 1 en la definición de "anillo", especialmente en libros avanzados de autores notables como Artin, [23] Atiyah y MacDonald, [24] Bourbaki, [25 ] Eisenbud, [26] y Lang. [27] También hay libros publicados hasta 2006 que utilizan el término sin el requisito de un 1. [28] [29] [30]
Gardner y Wiegandt afirman que, cuando se trata de varios objetos en la categoría de anillos (en lugar de trabajar con un anillo fijo), si se requiere que todos los anillos tengan un 1, algunas consecuencias incluyen la falta de existencia de sumas directas infinitas de anillos, y que los sumandos directos adecuados de anillos no son subanillos. Concluyen que "en muchas, tal vez la mayoría, de las ramas de la teoría del anillo, el requisito de la existencia de un elemento de unidad no es sensato y, por tanto, inaceptable". [31] Poonen hace el contraargumento de que los anillos sin una identidad multiplicativa no son totalmente asociativos (el producto de cualquier secuencia finita de elementos del anillo, incluida la secuencia vacía, está bien definida, es independiente del orden de las operaciones) y escribe "el natural La extensión de la asociatividad exige que los anillos contengan un producto vacío, por lo que es natural exigir que los anillos tengan un 1 ". [32]
Los autores que sigan cualquiera de las convenciones para el uso del término "anillo" pueden utilizar uno de los siguientes términos para referirse a objetos que satisfagan la otra convención:
- para incluir un requisito una identidad multiplicativa: "anillo unital", "anillo unitario", "anillo unitario", "anillo con unidad", "anillo con identidad", "anillo con una unidad", [33] o "anillo con 1 ". [34]
- omitir un requisito para una identidad multiplicativa: "rng" [35] o "pseudo-anillo", [36] aunque este último puede ser confuso porque también tiene otros significados.
Ejemplos básicos
Anillos conmutativos
- El ejemplo prototípico es el anillo de números enteros con las dos operaciones de suma y multiplicación.
- Los números racionales, reales y complejos son anillos conmutativos de un tipo llamado campos .
- A asociativo unital álgebra sobre un anillo conmutativo R es en sí mismo un anillo, así como un R -módulo . Algunos ejemplos:
- El álgebra de R [ X ] de polinomios con coeficientes en R . Como módulo R , R [ X ] está libre de rango infinito.
- El álgebra de R [[ X 1 , ..., X n ]] de series formales con coeficientes en R .
- El conjunto de todas las funciones continuas de valor real definidas en la línea real forma un álgebra R conmutativa. Las operaciones son la suma y la multiplicación puntuales de funciones.
- Sea X un conjunto y sea R un anillo. Entonces, el conjunto de todas las funciones de X a R forma un anillo, que es conmutativo si R es conmutativo. El anillo de funciones continuas en el ejemplo anterior es un subanillo de este anillo si X es la línea real y R = R .
- , los enteros con un número real o complejo c adjunto. Como módulo Z , está libre de rango infinito si c es trascendental , libre de rango finito si c es un número entero algebraico y no libre en caso contrario.
- , el conjunto de fracciones decimales . No es gratis como módulo Z.
- , donde d es un número entero libre de cuadrados de la forma 4 n + 1 , con d ≠ 1 . Un módulo Z libre de rango 2. Consulte Entero cuadrático .
- , los enteros gaussianos .
- , los enteros de Eisenstein .
- Los dos ejemplos anteriores son los casos n = 4 y n = 3 del anillo ciclotómico Z [ζ n ] .
- Los cuatro ejemplos anteriores son los casos de la anillo de los enteros de un campo de número de K , se define como el conjunto de enteros algebraicos en K .
- El conjunto de todos los enteros algebraicos en C forma un anillo llamado el cierre integral de Z en C .
- Si S es un conjunto, entonces el conjunto de potencias de S se convierte en un anillo si definimos la adición como la diferencia simétrica de conjuntos y la multiplicación como intersección . Este es un ejemplo de anillo booleano .
Anillos no conmutativos
- Para cualquier anillo R y cualquier número natural n , el conjunto de todas las matrices cuadradas n- por- n con entradas de R , forma un anillo con la suma de matrices y la multiplicación de matrices como operaciones. Para n = 1 , este anillo de matriz es isomorfo al propio R. Para n > 1 (y R no el anillo cero), este anillo de matriz no es conmutativo.
- Si G es un grupo abeliano , entonces los endomorfismos de G forman un anillo, el anillo endomorphism End ( G ) de G . Las operaciones en este anillo son la adición y composición de endomorfismos. De manera más general, si V es un módulo izquierdo sobre un anillo R , entonces el conjunto de todos los mapas lineales R forma un anillo, también llamado anillo de endomorfismo y denotado por el extremo R ( V ).
- Si G es un grupo y R es un anillo, el anillo de grupo de G sobre R es un módulo libre sobre R que tiene a G como base. La multiplicación se define por las reglas que los elementos de G conmutan con los elementos de R y se multiplican juntos como lo hacen en el grupo G .
- Muchos anillos que aparecen en el análisis no son conmutativos. Por ejemplo, la mayoría de las álgebras de Banach no son conmutativas.
No anillos
- El conjunto de números naturales N con las operaciones habituales no es un anillo, ya que ( N , +) ni siquiera es un grupo (los elementos no son todos invertibles con respecto a la suma). Por ejemplo, no hay un número natural que se pueda sumar a 3 para obtener 0 como resultado. Existe una forma natural de convertirlo en un anillo agregando números negativos al conjunto, obteniendo así el anillo de números enteros. Los números naturales (incluido el 0) forman una estructura algebraica conocida como semiring (que tiene todos los axiomas de un anillo excluyendo el de un inverso aditivo).
- Sea R el conjunto de todas las funciones continuas en la línea real que se desvanecen fuera de un intervalo acotado que depende de la función, con la suma como de costumbre pero con la multiplicación definida como convolución :
Conceptos básicos
Productos y poderes
Para cada entero no negativo n , dada una secuenciade n elementos de R , se puede definir el productorecursivamente: sea P 0 = 1 y sea P m = P m −1 a m para 1 ≤ m ≤ n .
Como caso especial, se pueden definir potencias enteras no negativas de un elemento a de un anillo: a 0 = 1 y a n = a n −1 a para n ≥ 1 . Entonces a m + n = a m a n para todo m , n ≥ 0 .
Elementos en un anillo
Un divisor cero a la izquierda de un anillo es un elemento en el anillo de manera que exista un elemento distinto de cero de tal que . [c] Un divisor de cero a la derecha se define de manera similar.
Un elemento nilpotente es un elemento tal que para algunos . Un ejemplo de un elemento nilpotente es una matriz nilpotente . Un elemento nilpotente en un anillo distinto de cero es necesariamente un divisor de cero.
Un idempotente es un elemento tal que . Un ejemplo de elemento idempotente es una proyección en álgebra lineal.
Una unidad es un elementotener un inverso multiplicativo ; en este caso la inversa es única, y se denota por. El conjunto de unidades de un anillo es un grupo bajo multiplicación de anillos; este grupo se denota por o o . Por ejemplo, si R es el anillo de todas las matrices cuadradas de tamaño n sobre un campo, entoncesConsiste en el conjunto de todas las matrices invertibles de tamaño n , y se denomina grupo lineal general .
Subring
Un subconjunto S de R se denomina subanillo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- la adición y multiplicación de R restringen para dar operaciones S × S → S haciendo S un anillo con la misma identidad multiplicativa como R .
- 1 ∈ S ; y para todos los x , y en S , los elementos xy , x + y , y - x están en S .
- S puede equiparse con operaciones que lo convierten en un anillo de modo que el mapa de inclusión S → R sea un homomorfismo de anillo.
Por ejemplo, el anillo Z de números enteros es un subanillo del campo de números reales y también un subanillo del anillo de polinomios Z [ X ] (en ambos casos, Z contiene 1, que es la identidad multiplicativa de los anillos más grandes). Por otro lado, el subconjunto de enteros pares 2 Z no contiene el elemento de identidad 1 y, por lo tanto, no califica como un subanillo de Z ; sin embargo, se podría llamar a 2 Z una subrng .
Una intersección de subanillos es un subanillo. Dado un subconjunto E de R , el subanillo más pequeño de R que contiene E es la intersección de todos los subanillos de R que contiene E , y se llama el subanillo generada por E .
Para un anillo R , el subanillo más pequeño de R se llama el subanillo característica de R . Se puede generar mediante la adición de copias de 1 y -1. Es posible que( n veces) puede ser cero. Si n es el número entero positivo más pequeño de tal manera que esto ocurre, entonces n se llama la característica de R . En algunos anillosnunca es cero para ningún entero positivo n , y se dice que esos anillos tienen la característica cero .
Dado un anillo R , dejedenotar el conjunto de todos los elementos x en R tal que x conmuta con cada elemento en R :para cualquier y en R . Luegoes un subanillo de R , llamado el centro de R . Más en general, dado un subconjunto X de R , vamos S ser el conjunto de todos los elementos en R que conmutan con todos los elementos de X . Entonces S es un subanillo de R , llamado el centralizador (o commutant) de X . El centro es el centralizador de todo el anillo R . Se dice que los elementos o subconjuntos del centro son centrales en R ; ellos (cada uno individualmente) generan un subanillo del centro.
Ideal
Sea R un anillo. Un ideal izquierdo de R es un subconjunto no vacío I de R tal que para cualquier x , y en I y r en R , los elementos y están en yo . Sidenota el intervalo R de I , es decir, el conjunto de sumas finitas
entonces yo es un ideal de izquierda si. De manera similar, un ideal correcto es un subconjunto I tal que. Se dice que un subconjunto I es un ideal de dos caras o simplemente un ideal si es tanto un ideal de izquierda como un ideal de derecha. Un ideales de un solo lado o de dos lados es entonces un subgrupo aditivo de R . Si E es un subconjunto de R , entonceses un ideal de izquierda, llamado ideal de izquierda generado por E ; es el ideal más pequeño que contiene izquierdo E . Del mismo modo, se puede considerar el ideal derecha o el ideal de dos caras generado por un subconjunto de R .
Si x está en R , entonces y son ideales de izquierda e ideales de derecha, respectivamente; se denominan ideales principales de izquierda e ideales de derecha generados por x . El principal ideal está escrito como . Por ejemplo, el conjunto de todos los múltiplos positivos y negativos de 2 junto con 0 forman un ideal de los enteros, y este ideal es generado por el entero 2. De hecho, todo ideal del anillo de enteros es principal.
Al igual que un grupo, se dice que un anillo es simple si es distinto de cero y no tiene ideales de dos caras distintos de cero. Un anillo simple conmutativo es precisamente un campo.
Los anillos a menudo se estudian con condiciones especiales impuestas a sus ideales. Por ejemplo, un anillo en el que no hay una cadena infinita estrictamente creciente de ideales izquierdos se llama anillo noetheriano izquierdo . Un anillo en el que no hay una cadena infinita estrictamente decreciente de ideales izquierdos se llama anillo artiniano izquierdo . Es un hecho algo sorprendente que un anillo artiniano izquierdo sea noetheriano (el teorema de Hopkins-Levitzki ). Los números enteros, sin embargo, forman un anillo noetheriano que no es artiniano.
Para los anillos conmutativos, los ideales generalizan la noción clásica de divisibilidad y descomposición de un entero en números primos en álgebra. Un ideal adecuado P de R se llama ideal primo si para cualquier elemento tenemos eso implica ya sea o . De manera equivalente, P es primo si para cualquier ideal tenemos eso implica ya sea o Esta última formulación ilustra la idea de ideales como generalizaciones de elementos.
Homomorfismo
Un homomorfismo de un anillo ( R , +, ⋅ ) a un anillo ( S , ‡, ∗) es una función f de R a S que conserva las operaciones del anillo; es decir, tal que, para todo a , b en R , se cumplen las siguientes identidades:
- f ( a + b ) = f ( a ) ‡ f ( b )
- f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b )
- f (1 R ) = 1 S
Si uno está trabajando con rngs, se descarta la tercera condición.
Se dice que un homomorfismo de anillo f es un isomorfismo si existe un homomorfismo inverso af (es decir, un homomorfismo de anillo que es una función inversa ). Cualquier homomorfismo de anillo biyectivo es un isomorfismo de anillo. Dos anillos se dice que son isomorfos si hay un isomorfismo entre ellos y en ese caso se escribe . Un homomorfismo de anillo entre el mismo anillo se denomina endomorfismo y un isomorfismo entre el mismo anillo, automorfismo.
Ejemplos:
- La función que asigna cada entero x a su resto módulo 4 (un número en {0, 1, 2, 3}) es un homomorfismo del anillo Z al anillo del cociente Z / 4 Z (el "anillo del cociente" se define a continuación) .
- Si es un elemento unitario en un anillo R , entonceses un homomorfismo de anillo, llamado un automorfismo interior de R .
- Sea R un anillo conmutativo de característica prima p . Luegoes un endomorfismo de anillo de R llamado homomorfismo de Frobenius .
- El grupo Galois de una extensión de campoes el conjunto de todos los automorfismos de L cuyas restricciones a K son la identidad.
- Para cualquier anillo R , hay un homomorfismo de anillo único Z → R y un homomorfismo de anillo único R → 0 .
- Un epimorfismo (es decir, un morfismo cancelable a la derecha) de anillos no tiene por qué ser sobreyectivo. Por ejemplo, el mapa único Z → Q es un epimorfismo.
- Un homomorfismo de álgebra desde un álgebra k hasta el álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial sobre k se llama una representación del álgebra .
Dado un homomorfismo de anillo , el conjunto de todos los elementos asignados a 0 por f se denomina núcleo de f . El núcleo es un ideal bilateral de R . La imagen de f , por otro lado, no siempre es un ideal, pero siempre es un subanillo de S .
Dar un homomorfismo de anillo de un anillo conmutativo R a un anillo A con una imagen contenida en el centro de A es lo mismo que dar una estructura de un álgebra sobre R a A (que en particular da una estructura de un módulo A ) .
Anillo de cociente
La noción de anillo cociente es análoga a la noción de grupo cociente . Dado un anillo ( R , +, ⋅ ) y un ideal de dos lados I de ( R , +, ⋅ ) , vea I como un subgrupo de ( R , +) ; entonces el anillo cociente R / I es el conjunto de clases laterales de I junto con las operaciones
- ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I y
- ( a + yo ) ( b + yo ) = ( ab ) + yo .
para todos un , b en R . El anillo R / I también se denomina anillo de factor .
Al igual que con un grupo de cocientes, hay un homomorfismo canónico , dada por . Es sobreyectiva y satisface la siguiente propiedad universal:
- Si es un homomorfismo de anillo tal que , entonces hay un homomorfismo único tal que .
Para cualquier homomorfismo de anillo , invocando la propiedad universal con produce un homomorfismo que da un isomorfismo de a la imagen de f .
Módulo
El concepto de módulo sobre un anillo generaliza el concepto de espacio vectorial (sobre un campo ) generalizando desde la multiplicación de vectores con elementos de un campo ( multiplicación escalar ) hasta la multiplicación con elementos de un anillo. Más precisamente, dado un anillo R con 1, un módulo R M es un grupo abeliano equipado con una operación R × M → M (asociando un elemento de M a cada par de un elemento de R y un elemento de M ) que satisface ciertos axiomas . Esta operación comúnmente se denota multiplicativamente y se llama multiplicación. Los axiomas de los módulos son los siguientes: para todo a , b en R y todo x , y en M , tenemos:
- M es un grupo abeliano bajo adición.
Cuando el anillo es no conmutativo, estos axiomas definen los módulos izquierdos ; Los módulos de la derecha se definen de manera similar escribiendo xa en lugar de ax . Esto no es solo un cambio de notación, ya que el último axioma de los módulos de la derecha (es decir, x ( ab ) = ( xa ) b ) se convierte en ( ab ) x = b ( ax ) , si se usa la multiplicación por la izquierda (por elementos del anillo) para un módulo correcto.
Los ejemplos básicos de módulos son ideales, incluido el anillo en sí.
Aunque definida de manera similar, la teoría de módulos es mucho más complicada que la del espacio vectorial, principalmente porque, a diferencia de los espacios vectoriales, los módulos no se caracterizan (hasta un isomorfismo) por una sola invariante (la dimensión de un espacio vectorial ). En particular, no todos los módulos tienen una base .
Los axiomas de los módulos implican que (−1) x = - x , donde el primero menos denota el inverso aditivo en el anillo y el segundo menos el inverso aditivo en el módulo. Usar esto y denotar la suma repetida mediante una multiplicación por un entero positivo permite identificar grupos abelianos con módulos sobre el anillo de números enteros.
Cualquier homomorfismo de anillo induce una estructura de módulo: si f : R → S es un homomorfismo de anillo, entonces S es un módulo izquierdo sobre R por la multiplicación: rs = f ( r ) s . Si R es conmutativo o si f ( R ) está contenido en el centro de S , el anillo S se llama R - álgebra . En particular, cada anillo es un álgebra sobre los números enteros.
Construcciones
Producto directo
Sean R y S anillos. Entonces, el producto R × S puede equiparse con la siguiente estructura de anillo natural:
- ( r 1 , s 1 ) + ( r 2 , s 2 ) = ( r 1 + r 2 , s 1 + s 2 )
- ( r 1 , s 1 ) ⋅ ( r 2 , s 2 ) = ( r 1 ⋅ r 2 , s 1 ⋅ s 2 )
para todos r 1 , r 2 en R y s 1 , s 2 en S . El anillo R × S con las operaciones de suma y multiplicación anteriores y la identidad multiplicativase llama el producto directo de R con S . La misma construcción también funciona para una familia arbitraria de anillos: sison anillos indexados por un conjunto I , entonces es un anillo con suma y multiplicación por componentes.
Sea R un anillo conmutativo y ser ideales tales que cuando sea . Entonces, el teorema del resto chino dice que hay un isomorfismo de anillo canónico:
- .
Un producto directo "finito" también puede verse como una suma directa de ideales. [37] Es decir, que ser anillos, las inclusiones con las imágenes (En particular son anillos pero no subanillos). Luegoson ideales de R y
como una suma directa de grupos abelianos (porque para los grupos abelianos los productos finitos son lo mismo que las sumas directas). Es evidente que la suma directa de tales ideales también define un producto de anillos que es isomorfo a R . De manera equivalente, lo anterior se puede hacer a través de idempotentes centrales . Suponga que R tiene la descomposición anterior. Entonces podemos escribir
Por las condiciones en , uno tiene eso son idempotentes centrales y (ortogonal). Una vez más, se puede revertir la construcción. Es decir, si a uno se le da una partición de 1 en idempotentes centrales ortogonales, entonces dejemos, que son ideales de dos caras. Si cadano es una suma de idempotentes centrales ortogonales, [d] entonces su suma directa es isomorfo a R .
Una aplicación importante de un producto directo infinito es la construcción de un límite proyectivo de anillos (ver más abajo). Otra aplicación es un producto restringido de una familia de anillos (cf. anillo adele ).
Anillo polinomial
Dado un símbolo t (llamado variable) y un anillo conmutativo R , el conjunto de polinomios
forma un anillo conmutativo con la adición y la multiplicación habituales, que contiene R como subanillo. Se llama el anillo de polinomios sobre R . De manera más general, el conjunto de todos los polinomios en variables forma un anillo conmutativo, que contiene como subanillos.
Si R es un dominio integral , entoncestambién es un dominio integral; su campo de fracciones es el campo de funciones racionales . Si R es un anillo noetheriano, entonceses un anillo noetheriano. Si R es un dominio de factorización único, entonceses un dominio de factorización único. Finalmente, R es un campo si y solo si es un dominio ideal principal.
Dejar Ser anillos conmutativos. Dado un elemento x de S , se puede considerar el homomorfismo del anillo
(es decir, la sustitución ). Si S = R [ t ] y x = t , entonces f ( t ) = f . Debido a esto, el polinomio f a menudo también se denota por. La imagen del mapa se denota por ; es lo mismo que el subanillo de S generado por R y x .
Ejemplo: denota la imagen del homomorfismo
En otras palabras, es la subálgebra de generado por t 2 y t 3 .
Ejemplo: que f sea un polinomio de una variable, es decir, un elemento en un anillo de polinomios R . Luego es un elemento en y es divisible por h en ese anillo. El resultado de sustituir cero ah en es , la derivada de f en x .
La sustitución es un caso especial de la propiedad universal de un anillo polinomial. La propiedad dice: dado un homomorfismo de anilloy un elemento x en S existe un homomorfismo de anillo único tal que y se restringe a . [38] Por ejemplo, al elegir una base, un álgebra simétrica satisface la propiedad universal y también lo es un anillo polinomial.
Para dar un ejemplo, sea S el anillo de todas las funciones desde R hacia sí misma; la suma y la multiplicación son las de funciones. Sea x la función identidad. Cada r en R define una función constante, dando lugar al homomorfismo. La propiedad universal dice que este mapa se extiende únicamente a
( t se asigna ax ) dondees la función polinomial definida por f . El mapa resultante es inyectivo si y solo si R es infinito.
Dado un polinomio mónico no constante f en, existe un anillo S que contiene R tal que f es un producto de factores lineales en. [39]
Sea k un campo algebraicamente cerrado. El Nullstellensatz de Hilbert (teorema de ceros) establece que existe una correspondencia biunívoca natural entre el conjunto de todos los ideales primos en y el conjunto de subvariedades cerradas de . En particular, muchos problemas locales de geometría algebraica pueden atacarse mediante el estudio de los generadores de un ideal en un anillo polinomial. (cf. base de Gröbner .)
Hay algunas otras construcciones relacionadas. Un anillo formal de la serie Power consiste en series de poder formales
junto con la multiplicación y la suma que imitan las de las series convergentes. Contienecomo un subanillo. Un anillo formal en serie de potencias no tiene la propiedad universal de un anillo polinomial; una serie puede no converger después de una sustitución. La importante ventaja de un anillo formal en serie de potencias sobre un anillo polinomial es que es local (de hecho, completo ).
Anillo de matriz y anillo de endomorfismo
Sea R un anillo (no necesariamente conmutativo). El conjunto de todas las matrices cuadradas de tamaño n con entradas en R forma un anillo con la adición de entrada y la multiplicación de matrices habitual. Se llama anillo de matriz y se denota por M n ( R ). Dado un módulo R derecho, el conjunto de todos los mapas lineales R de U a sí mismo forma un anillo con la suma que es de función y la multiplicación que es de composición de funciones ; se llama anillo de endomorfismo de U y se denota por.
Como en el álgebra lineal, un anillo de matriz puede interpretarse canónicamente como un anillo de endomorfismo: . Este es un caso especial del siguiente hecho: Sies un mapa lineal R , entonces f puede escribirse como una matriz con entradas en , resultando en el isomorfismo del anillo:
Cualquier homomorfismo de anillo R → S induce M n ( R ) → M n ( S ) . [40]
El lema de Schur dice que si U es un módulo R derecho simple , entonceses un anillo de división. [41] Sies una suma directa de m i -copias de módulos R simples, luego
- .
El teorema de Artin-Wedderburn establece que cualquier anillo semisimple (véase más adelante) tiene esta forma.
Un anillo R y el anillo matriz M n ( R ) sobre él son equivalentes de Morita : la categoría de módulos derechos de R es equivalente a la categoría de módulos derechos sobre M n ( R ). [40] En particular, los ideales de dos caras en R corresponden en uno a uno a ideales de dos caras en M n ( R ).
Límites y colimits de anillos
Sea R i una secuencia de anillos tal que R i sea un subanillo de R i +1 para todo i . Entonces la unión (o colimit filtrado ) de R i es el anillodefinido de la siguiente manera: es la unión disjunta de todos los módulos de R i la relación de equivalencia si y solo si en R i para suficientemente grande i .
Ejemplos de colimits:
- Un anillo polinomial en infinitas variables:
- El cierre algebraico de campos finitos de la misma característica.
- El campo de la serie formal de Laurent sobre un campo k :(es el campo de fracciones del anillo formal de la serie de potencias .)
- El campo de función de una variedad algebraica sobre un campo k es donde el límite pasa por todos los anillos de coordenadas de subconjuntos abiertos no vacíos U (más sucintamente es el tallo de la gavilla de estructura en el punto genérico ).
Cualquier anillo conmutativo es el colimito de subanillos generados finitamente .
Un límite proyectivo (o un límite filtrado ) de anillos se define de la siguiente manera. Supongamos que nos dan una familia de anillos, I corriendo sobre números enteros positivos, por ejemplo, y homomorfismos de anillos tal que son todas las identidades y es cuando sea . Luego es el subanillo de que consiste en tal que mapas a debajo .
Para ver un ejemplo de un límite proyectivo, consulte § Finalización .
Localización
La localización generaliza la construcción del campo de fracciones de un dominio integral a un anillo y módulos arbitrarios. Dado un anillo (no necesariamente conmutativo) R y un subconjunto S de R , existe un anillo junto con el homomorfismo del anillo que "invierte" S ; es decir, el homomorfismo mapea elementos en S a elementos unitarios en, y, además, cualquier homomorfismo de anillo de R que "invierte" S factores únicos a través de. [42] El anillose llama la localización de R con respecto a S . Por ejemplo, si R es un anillo conmutativo yf un elemento en R , entonces la localización consta de elementos de la forma (para ser preciso, ) [43]
La localización se aplica con frecuencia a un anillo conmutativo R con respecto al complemento de un ideal primo (o una unión de ideales primos) en R . En ese caso, se escribe a menudo por . es entonces un anillo local con el ideal máximo . Ésta es la razón de la terminología "localización". El campo de fracciones de un dominio integral R es la localización de R en el cero ideal primo. Sies un ideal primo de un anillo conmutativo R , entonces el campo de fracciones de es el mismo que el campo de residuos del anillo local y se denota por .
Si M es un módulo R izquierdo , entonces la localización de M con respecto a S viene dada por un cambio de anillos .
Las propiedades más importantes de la localización son las siguientes: cuando R es un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativamente cerrado
- es una biyección entre el conjunto de todos los ideales primos en R disjunto de S y el conjunto de todos los ideales primos en. [44]
- , f corriendo sobre elementos en S con orden parcial dado por divisibilidad. [45]
- La localización es exacta:
- es exacto terminado cuando sea es exacto sobre R .
- Por el contrario, si es exacta para cualquier ideal máximo , luego es exacto.
- Una observación: la localización no ayuda a demostrar una existencia global. Un ejemplo de esto es que si dos módulos son isomorfos en todos los ideales primos, no se sigue que sean isomorfos. (Una forma de explicar esto es que la localización permite ver un módulo como un haz de ideales primarios y un haz es inherentemente una noción local).
En la teoría de categorías , la localización de una categoría equivale a hacer isomorfismos de algunos morfismos. Un elemento en un anillo conmutativo R puede considerarse como un endomorfismo de cualquier módulo R. Así, categóricamente, una localización de R con respecto a un subconjunto S de R es un funtor de la categoría de módulos R a sí mismo que envía elementos de S vistos como endomorfismos a automorfismos y es universal con respecto a esta propiedad. (Por supuesto, R luego se asigna ay R -modules se asignan a-módulos.)
Terminación
Deje que R sea un anillo conmutativo, y dejar que sea un ideal de R . La finalización de R en I es el límite proyectivo; es un anillo conmutativo. Los homomorfismos canónicos de R a los cocientes inducir un homomorfismo . El último homomorfismo es inyectivo si R es un dominio integral noetheriano e I es un ideal adecuado, o si R es un anillo local noetheriano con ideal máximo I , según el teorema de intersección de Krull . [46] La construcción es especialmente útil cuando I es un ideal máximo.
El ejemplo básico es la finalización de Z en el ideal principal ( p ) generado por un número primo p ; se llama el anillo de p -enteros ádicos y se denota Z p . La lata finalización en este caso estar construido también de la p valor absoluto -adic en Q . El valor absoluto p -ádico en Q es un mapade Q a R dada por dónde denota el exponente de p en la factorización prima de un entero distinto de cero n en números primos (también ponemos y ). Define una función de distancia en Q y la finalización de Q como un espacio métrico se denota por Q p . Es nuevamente un campo ya que las operaciones de campo se extienden hasta la finalización. El subanillo de Q p que consta de elementos x cones isomorfo a Z p .
Del mismo modo, el anillo formal de la serie de poder es la finalización de a (ver también el lema de Hensel )
Un anillo completo tiene una estructura mucho más simple que un anillo conmutativo. Esto se debe al teorema de la estructura de Cohen , que dice, a grandes rasgos, que un anillo local completo tiende a parecerse a un anillo formal en serie de potencias o un cociente del mismo. Por otro lado, la interacción entre el cierre integral y la terminación ha sido uno de los aspectos más importantes que distinguen la teoría moderna de anillos conmutativos de la clásica desarrollada por gente como Noether. Los ejemplos patológicos encontrados por Nagata llevaron a reexaminar los roles de los anillos noetherianos y motivaron, entre otras cosas, la definición de anillo excelente .
Anillos con generadores y relaciones.
La forma más general de construir un anillo es especificando generadores y relaciones. Deje que F sea un anillo libre (es decir, el álgebra libre sobre los números enteros) con el conjunto X de símbolos, es decir, F consta de polinomios con coeficientes enteros en noncommuting variables que son elementos de X . Un anillo libre satisface la propiedad universal: cualquier función del conjunto X a un anillo R factoriza a través de F de modo quees el homomorfismo de anillo único. Al igual que en el caso del grupo, cada anillo se puede representar como un cociente de un anillo libre. [47]
Ahora, podemos imponer relaciones entre símbolos en X tomando un cociente. Explícitamente, si E es un subconjunto de F , entonces el anillo cociente de F por el ideal generado por E se llama el anillo con los generadores X y las relaciones E . Si usamos un anillo, por ejemplo, una como un anillo de base en lugar de Z , entonces el anillo resultante será de más de una . Por ejemplo, si, entonces el anillo resultante será el anillo polinomial habitual con coeficientes en A en variables que son elementos de X (también es lo mismo que el álgebra simétrica sobre A con símbolos X ).
En términos de teoría de categorías, la formación es el functor adjunto izquierdo del functor olvidadizo de la categoría de anillos a Set (y a menudo se lo llama el functor de anillo libre).
Deje que A , B sea álgebra sobre un anillo conmutativo R . Entonces el producto tensorial de R -moduleses un álgebra R con multiplicación caracterizada por. Ver también: Producto tensorial de álgebras , Cambio de anillos .
Tipos especiales de anillos
Dominios
A distinto de cero anillo con no hay distintos de cero cero divisores se denomina un dominio . Un dominio conmutativo se denomina dominio integral . Los dominios integrales más importantes son los principales dominios ideales, los PID para abreviar y los campos. Un dominio ideal principal es un dominio integral en el que todo ideal es principal. Una clase importante de dominios integrales que contienen un PID es un dominio de factorización único (UFD), un dominio integral en el que cada elemento no unitario es un producto de elementos primos (un elemento es primo si genera un ideal primo ). La pregunta fundamental en La teoría algebraica de números se centra en la medida en que el anillo de números enteros (generalizados) en un campo numérico , donde un "ideal" admite la factorización prima, deja de ser un PID.
Entre los teoremas relacionados con un PID, el más importante es el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal . El teorema puede ilustrarse mediante la siguiente aplicación al álgebra lineal. [48] Let V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k yun mapa lineal con polinomio mínimo q . Entonces, desdees un dominio de factorización único, q factoriza en potencias de polinomios irreducibles distintos (es decir, elementos primos):
Dejando , hacemos V un módulo k [ t ]. El teorema de la estructura dice que V es una suma directa de módulos cíclicos , cada uno de los cuales es isomorfo al módulo de la forma. Ahora si, entonces un módulo cíclico (para ) tiene una base en la que la restricción de f está representada por una matriz de Jordan . Por tanto, si, digamos, k es algebraicamente cerrado, entonces todosson de la forma y la descomposición anterior corresponde a la forma canónica de Jordan de f .
En geometría algebraica, las UFD surgen debido a la suavidad. Más precisamente, un punto en una variedad (sobre un campo perfecto) es suave si el anillo local en el punto es un anillo local regular . Un anillo local regular es un UFD. [49]
La siguiente es una cadena de inclusiones de clases que describe la relación entre anillos, dominios y campos:
- RNGs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios de integridad ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios GCD ⊃ dominio de factorización única ⊃ principales dominios ideales ⊃ dominio euclídeo ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados
Anillo de división
Un anillo de división es un anillo tal que cada elemento distinto de cero es una unidad. Un anillo de división conmutativa es un campo . Un ejemplo destacado de un anillo de división que no es un campo es el anillo de cuaterniones . Cualquier centralizador en un anillo de división es también un anillo de división. En particular, el centro de un anillo de división es un campo. Resultó que cada dominio finito (en particular, el anillo de división finita) es un campo; en particular conmutativa (el pequeño teorema de Wedderburn ).
Cada módulo sobre un anillo de división es un módulo libre (tiene una base); en consecuencia, gran parte del álgebra lineal se puede realizar sobre un anillo de división en lugar de un campo.
El estudio de las clases de conjugación ocupa un lugar destacado en la teoría clásica de los anillos de división; véase, por ejemplo, el teorema de Cartan-Brauer-Hua .
Un álgebra cíclica , introducido por LE Dickson , es una generalización de un álgebra de cuaterniones .
Anillos semisimple
Un módulo semisimple es una suma directa de módulos simples. Un anillo semisimple es un anillo que es semisimple como un módulo izquierdo (o módulo derecho) sobre sí mismo.
Ejemplos de
- Un anillo de división es semisimple (y simple ).
- Para cualquier anillo de división D y número entero positivo n , el anillo de matriz M n ( D ) es semisimple (y simple ).
- Para un campo k y un grupo finito G , el anillo de grupo kG es semisimple si y solo si la característica de k no divide el orden de G ( teorema de Maschke ).
- Las álgebras de Clifford son semisimples.
El álgebra de Weyl sobre un campo es un anillo simple , pero no semisimple. Lo mismo vale para un anillo de operadores diferenciales en muchas variables .
Propiedades
Cualquier módulo sobre un anillo semisimple es semisimple. (Prueba: un módulo libre sobre un anillo semisimple es semisimple y cualquier módulo es un cociente de un módulo libre).
Para un anillo R , los siguientes son equivalentes:
- R es semisimple.
- R es artiniano y semiprimitivo .
- R es un producto directo finito donde cada n i es un número entero positivo y cada D i es un anillo de división ( teorema de Artin-Wedderburn ).
La semisimplicidad está estrechamente relacionada con la separabilidad. Se dice que un álgebra asociativa unital A sobre un campo k es separable si la extensión de la basees semisimple para cada extensión de campo . Si A resulta ser un campo, entonces esto es equivalente a la definición habitual en la teoría de campos (cf. extensión separable ).
Álgebra simple central y grupo de Brauer
Para un campo k , un k -álgebra es central si su centro es k y es simple si es un anillo simple . Dado que el centro de un álgebra k simple es un campo, cualquier álgebra k simple es un álgebra simple central sobre su centro. En esta sección, se supone que un álgebra simple central tiene una dimensión finita. Además, la mayoría de las veces arreglamos el campo base; por lo tanto, un álgebra se refiere a un álgebra k . El anillo de matriz de tamaño n sobre un anillo R se denotará por.
El teorema de Skolem-Noether establece que cualquier automorfismo de un álgebra simple central es interno.
Dos central simple álgebra de A y B se dice que son similares si hay números enteros n y m tal que. [50] Desde, la similitud es una relación de equivalencia. Las clases de similitud con la multiplicacion forman un grupo abeliano llamado grupo de Brauer de k y se denota por. Según el teorema de Artin-Wedderburn , un álgebra simple central es el anillo de matriz de un anillo de división; por tanto, cada clase de similitud está representada por un anillo de división único.
Por ejemplo, es trivial si k es un campo finito o un campo algebraicamente cerrado (más generalmente un campo casi algebraicamente cerrado ; cf. el teorema de Tsen ).tiene orden 2 (un caso especial del teorema de Frobenius ). Finalmente, si k es un campo local no arquimediano (por ejemplo,), luego a través del mapa invariante .
Ahora, si F es una extensión de campo de k , entonces la extensión base induce . Su núcleo se denota por. Consiste en tal que es un anillo de matriz sobre F (es decir, A está dividido por F ). Si la extensión es finita y Galois, entonces es canónicamente isomorfo a . [51]
Las álgebras de Azumaya generalizan la noción de álgebras centrales simples a un anillo local conmutativo.
Anillo de valoración
Si K es un campo, una valoración v es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo K ∗ a un grupo abeliano G totalmente ordenado tal que, para cualquier f , g en K con f + g distinto de cero, v ( f + g ) ≥ min { v ( f ), v ( g )}. El anillo de valoración de v es el subanillo de K que consta de cero y todo f distinto de cero, de modo que v ( f ) ≥ 0 .
Ejemplos:
- El campo de la serie Laurent formal sobre un campo k viene con la valoración v tal que v ( f ) es el menor grado de un término distinto de cero en f ; el anillo de valoración de v es el anillo formal de la serie de potencias .
- De manera más general, dado un campo k y un grupo abeliano G totalmente ordenado , seaser el conjunto de todas las funciones desde G hasta k cuyos soportes (los conjuntos de puntos en los que las funciones son distintas de cero) están bien ordenados . Es un campo con la multiplicación dada por convolución :
- .
Ver también: anillo Novikov y anillo uniserial .
Anillos con estructura extra
Un anillo puede verse como un grupo abeliano (usando la operación de suma), con una estructura adicional: es decir, multiplicación de anillos. Del mismo modo, existen otros objetos matemáticos que pueden considerarse como anillos con estructura extra. Por ejemplo:
- Un álgebra asociativa es un anillo que también es un espacio vectorial sobre un campo K tal que la multiplicación escalar es compatible con la multiplicación de anillos. Por ejemplo, el conjunto de n- por- n matrices sobre el campo real R tiene una dimensión n 2 como un espacio vectorial real.
- Un anillo R es un anillo topológico si a su conjunto de elementos R se le da una topología que hace el mapa de adición () y el mapa de multiplicación ( ) para ser tanto continuos como mapas entre espacios topológicos (donde X × X hereda la topología del producto o cualquier otro producto de la categoría). Por ejemplo, las matrices n- por- n sobre los números reales podrían recibir la topología euclidiana o la topología de Zariski , y en cualquier caso se obtendría un anillo topológico.
- Un anillo λ es un anillo conmutativo R junto con las operaciones λ n : R → R que son como n -ésimas potencias exteriores :
- .
- Por ejemplo, Z es un anillo λ con , los coeficientes binomiales . La noción juega una regla central en el enfoque algebraico del teorema de Riemann-Roch .
- Un anillo totalmente ordenado es un anillo con un orden total que es compatible con las operaciones del anillo.
Algunos ejemplos de la ubicuidad de los anillos
Se pueden analizar fructíferamente muchos tipos diferentes de objetos matemáticos en términos de algún anillo asociado .
Anillo de cohomología de un espacio topológico
A cualquier espacio topológico X se le puede asociar su anillo de cohomología integral
un anillo graduado . También hay grupos de homología de un espacio, y de hecho estos se definieron primero, como una herramienta útil para distinguir entre ciertos pares de espacios topológicos, como las esferas y los toros , para los cuales los métodos de topología de conjuntos de puntos no son adecuados. Los grupos de cohomología se definieron más tarde en términos de grupos de homología de una manera que es aproximadamente análoga al dual de un espacio vectorial . Conocer cada grupo de homología integral individual es esencialmente lo mismo que conocer cada grupo de cohomología integral individual, debido al teorema del coeficiente universal . Sin embargo, la ventaja de los grupos de cohomología es que hay un producto natural , que es análogo a la observación de que se puede multiplicar puntualmente una forma k - multilineal y una l - multilineal para obtener una forma ( k + l ) - multilineal.
La estructura de anillo en cohomología proporciona la base para clases características de haces de fibras , teoría de intersecciones en variedades y variedades algebraicas , cálculo de Schubert y mucho más.
Anillo quemado de un grupo
A cualquier grupo se le asocia su anillo Burnside, que usa un anillo para describir las diversas formas en que el grupo puede actuar en un conjunto finito. El grupo aditivo del anillo Burnside es el grupo abeliano libre cuya base son las acciones transitivas del grupo y cuya adición es la unión disjunta de la acción. Expresar una acción en términos de la base es descomponer una acción en sus constituyentes transitivos. La multiplicación se expresa fácilmente en términos del anillo de representación : la multiplicación en el anillo de Burnside se forma escribiendo el producto tensorial de dos módulos de permutación como un módulo de permutación. La estructura del anillo permite una forma formal de restar una acción de otra. Dado que el anillo de Burnside está contenido como un subanillo de índice finito del anillo de representación, se puede pasar fácilmente de uno a otro extendiendo los coeficientes de los números enteros a los números racionales.
Anillo de representación de un anillo de grupo
A cualquier grupo anillo o álgebra de Hopf se le asocia su representación anillo o "anillo verde". El grupo aditivo del anillo de representación es el grupo abeliano libre cuya base son los módulos indecomponibles y cuya suma corresponde a la suma directa. Expresar un módulo en términos de base es encontrar una descomposición indecomponible del módulo. La multiplicación es el producto tensorial. Cuando el álgebra es semisimple, el anillo de representación es solo el anillo de carácter de la teoría del carácter , que es más o menos el grupo de Grothendieck dado una estructura de anillo.
Campo funcional de una variedad algebraica irreducible
A toda variedad algebraica irreductible se le asocia su campo funcional . Los puntos de una variedad algebraica corresponden a anillos de valoración contenidos en el campo de función y que contienen el anillo de coordenadas . El estudio de la geometría algebraica hace un uso intensivo del álgebra conmutativa para estudiar conceptos geométricos en términos de propiedades teóricas de anillos. La geometría biracional estudia mapas entre los subanillos del campo de función.
Anillo facial de un complejo simplicial
Cada complejo simplicial tiene un anillo facial asociado, también llamado anillo de Stanley-Reisner . Este anillo refleja muchas de las propiedades combinatorias del complejo simplicial, por lo que es de particular interés en la combinatoria algebraica . En particular, se utilizó la geometría algebraica del anillo de Stanley-Reisner para caracterizar el número de caras en cada dimensión de los politopos simpliciales .
Descripción de la teoría de la categoría
Cada anillo puede ser considerado como un monoide en Ab , la categoría de grupos abelianos (pensados como una categoría monoidal bajo el producto tensorial de Z {\ Displaystyle {\ mathbf {Z}}} -módulos ). La acción monoid de un anillo R en un grupo abeliano es simplemente un R -módulo . Esencialmente, un módulo R es una generalización de la noción de espacio vectorial , donde en lugar de un espacio vectorial sobre un campo, se tiene un "espacio vectorial sobre un anillo".
Sea ( A , +) un grupo abeliano y deje que End ( A ) sea su anillo de endomorfismo (ver arriba). Tenga en cuenta que, esencialmente, End ( A ) es el conjunto de todos los morfismos de A , donde si f está en End ( A ) y g está en End ( A ), las siguientes reglas pueden usarse para calcular f + g y f ⋅ g :
- ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
- ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( g ( x )),
donde + como en f ( x ) + g ( x ) es la suma en A , y la composición de la función se denota de derecha a izquierda. Por tanto, asociado a cualquier grupo abeliano, es un anillo. Por el contrario, dado cualquier anillo, ( R , +, ⋅ ) , ( R , +) es un grupo abeliano. Además, para cada r en R , la multiplicación derecha (o izquierda) por r da lugar a un morfismo de ( R , +) , por distributividad derecha (o izquierda). Sea A = ( R , +) . Considere esos endomorfismos de A , que "factor de a través de" multiplicación de la derecha (o izquierda) de R . En otras palabras, sea End R ( A ) el conjunto de todos los morfismos m de A , con la propiedad de que m ( r ⋅ x ) = r ⋅ m ( x ) . Se vio que toda r en R da lugar a un morfismo de A : multiplicación derecha por r . De hecho, es cierto que esta asociación de cualquier elemento de R , a un morfismo de A , en función de R al extremo R ( A ), es un isomorfismo de anillos. En este sentido, por lo tanto, cualquier anillo puede verse como el anillo de endomorfismo de algún grupo X abeliano (por grupo X , se entiende un grupo en el que X es su conjunto de operadores ). [52] En esencia, la forma más general de un anillo es el grupo de endomorfismo de algún grupo X abeliano .
Cualquier anillo puede verse como una categoría preaditiva con un solo objeto. Por tanto, es natural considerar categorías preaditivas arbitrarias como generalizaciones de anillos. Y de hecho, muchas definiciones y teoremas dados originalmente para anillos pueden traducirse a este contexto más general. Los functores aditivos entre categorías preaditivas generalizan el concepto de homomorfismo de anillo, y los ideales en categorías aditivas pueden definirse como conjuntos de morfismos cerrados por adición y por composición con morfismos arbitrarios.
Generalización
Los algebristas han definido estructuras más generales que los anillos al debilitar o eliminar algunos de los axiomas del anillo.
Rng
Un rng es lo mismo que un anillo, excepto que no se asume la existencia de una identidad multiplicativa. [53]
Anillo no asociativo
Un anillo no asociativo es una estructura algebraica que satisface todos los axiomas del anillo excepto la propiedad asociativa y la existencia de una identidad multiplicativa. Un ejemplo notable es el álgebra de Lie . Existe alguna teoría de la estructura para tales álgebras que generaliza los resultados análogos para las álgebras de Lie y las álgebras asociativas. [ cita requerida ]
Semiring
Un semiring (a veces rig ) se obtiene debilitando el supuesto de que ( R , +) es un grupo abeliano al supuesto de que ( R , +) es un monoide conmutativo, y sumando el axioma de que 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 para todo a en R (ya que ya no se sigue de los otros axiomas).
Ejemplos:
- los enteros no negativos con suma y multiplicación ordinarias;
- el semirrío tropical .
Otros objetos en forma de anillo
Anillo de objeto en una categoría
Sea C una categoría con productos finitos . Sea pt un objeto terminal de C (un producto vacío). Un objeto de anillo en C es un objeto R equipado con morfismos (adición), (multiplicación), (identidad aditiva), (aditivo inverso), y (multiplicative identity) satisfying the usual ring axioms. Equivalently, a ring object is an object R equipped with a factorization of its functor of points through the category of rings: .
Ring scheme
In algebraic geometry, a ring scheme over a base scheme S is a ring object in the category of S-schemes. One example is the ring scheme Wn over Spec Z, which for any commutative ring A returns the ring Wn(A) of p-isotypic Witt vectors of length n over A.[54]
Ring spectrum
In algebraic topology, a ring spectrum is a spectrum X together with a multiplication and a unit map from the sphere spectrum S, such that the ring axiom diagrams commute up to homotopy. In practice, it is common to define a ring spectrum as a monoid object in a good category of spectra such as the category of symmetric spectra.
Ver también
- Algebra over a commutative ring
- Categorical ring
- Category of rings
- Glossary of ring theory
- Nonassociative ring
- Ring of sets
- Semiring
- Spectrum of a ring
- Simplicial commutative ring
Special types of rings:
- Boolean ring
- Dedekind ring
- Differential ring
- Exponential ring
- Finite ring
- Lie ring
- Local ring
- Noetherian and artinian rings
- Ordered ring
- Poisson ring
- Reduced ring
- Regular ring
- Ring of periods
- SBI ring
- Valuation ring and discrete valuation ring
Notas
- ^ This means that each operation is defined and produces a unique result in R for each ordered pair of elements of R.
- ^ The existence of 1 is not assumed by some authors; here, the term rng is used if existence of a multiplicative identity is not assumed. See next subsection.
- ^ Some other authors such as Lang require a zero divisor to be nonzero.
- ^ Such a central idempotent is called centrally primitive.
Citas
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