Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
En la teoría del sistema de control , el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es una prueba matemática que es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad de un sistema dinámico o sistema de control lineal invariante en el tiempo (LTI) . Un sistema estable es aquel cuya señal de salida está acotada; la posición, la velocidad o la energía no aumentan hasta el infinito a medida que pasa el tiempo. La prueba de Routh es un algoritmo recursivo eficiente que el matemático inglés Edward John Routh propuso en 1876 para determinar si todas las raíces del polinomio característico de un sistema linealtienen partes reales negativas. [1] El matemático alemán Adolf Hurwitz propuso de forma independiente en 1895 ordenar los coeficientes del polinomio en una matriz cuadrada, llamada matriz de Hurwitz , y demostró que el polinomio es estable si y solo si la secuencia de determinantes de sus submatrices principales son todas positivas . [2] Los dos procedimientos son equivalentes, y la prueba de Routh proporciona una forma más eficiente de calcular los determinantes de Hurwitz que calcularlos directamente. Un polinomio que satisface el criterio de Routh-Hurwitz se llama polinomio de Hurwitz .
La importancia del criterio es que las raíces p de la ecuación característica de un sistema lineal con partes reales negativas representan soluciones e pt del sistema que son estables ( acotadas ). Por lo tanto, el criterio proporciona una forma de determinar si las ecuaciones de movimiento de un sistema lineal solo tienen soluciones estables, sin resolver el sistema directamente. Para sistemas discretos, la prueba de estabilidad correspondiente puede manejarse mediante el criterio de Schur-Cohn, la prueba de Jury y la prueba de Bistritz.. Con la llegada de las computadoras, el criterio se ha vuelto menos utilizado, ya que una alternativa es resolver el polinomio numéricamente, obteniendo aproximaciones a las raíces directamente.
La prueba de Routh se puede derivar mediante el uso del algoritmo de Euclides y el teorema de Sturm para evaluar los índices de Cauchy . Hurwitz derivó sus condiciones de manera diferente. [3]
El criterio está relacionado con el teorema de Routh-Hurwitz . Del enunciado de ese teorema, tenemos donde:
Por el teorema fundamental del álgebra , cada polinomio de grado n debe tener n raíces en el plano complejo (es decir, para una ƒ sin raíces en la línea imaginaria, p + q = n ). Por lo tanto, tenemos la condición de que f es un polinomio estable (Hurwitz) si y solo si p − q = n (la prueba se da a continuación). Usando el teorema de Routh-Hurwitz, podemos reemplazar la condición en p y qpor una condición sobre la cadena de Sturm generalizada, que dará a su vez una condición sobre los coeficientes de ƒ .