En el área de las matemáticas conocida como análisis funcional , un espacio semi-reflexivo es un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) X tal que el mapa de evaluación canónica de X a su bidual (que es el dual fuerte del dual fuerte de X ) es biyectiva. Si este mapa también es un isomorfismo de TVS, entonces se llama reflexivo .
Los espacios semi-reflexivos juegan un papel importante en la teoría general de TVS localmente convexos . Dado que un TVS normalizable es semi-reflexivo si y solo si es reflexivo, el concepto de semi-reflexividad se usa principalmente con TVS que no son normativos.
Definición y notación
- Breve definición
Suponga que X es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo(que son los números reales o complejos) cuyo espacio dual continuo ,, separa puntos en X (es decir, para cualquier existe algo tal que ). Dejar y ambos denotan el fuerte dual de X , que es el espacio vectorialde funcionales lineales continuos en X dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de X ; esta topología también se denomina topología dual fuerte y es la topología "predeterminada" colocada en un espacio dual continuo (a menos que se especifique otra topología). Si X es un espacio normado, entonces el dual fuerte de X es el espacio dual continuocon su topología de norma habitual. El bidual de X , denotado por, es el fuerte dual de ; es decir, es el espacio. [1]
Para cualquier dejar ser definido por , dónde se llama mapa de evaluación en x ; desde es necesariamente continua, se sigue que . Desdesepara puntos en X , el mapa definido por es inyectivo donde este mapa se llama mapa de evaluación o mapa canónico . Este mapa fue introducido por Hans Hahn en 1927. [2]
Llamamos a X semirreflexivo sies biyectiva (o equivalentemente, sobreyectiva ) y llamamos X reflexiva si ademáses un isomorfismo de TVS. [1] Si X es un espacio normalizado, entonces J es una incrustación de TVS y una isometría en su rango; Además, según el teorema de Goldstine (probado en 1938), el rango de J es un subconjunto denso de la bidual. [2] Un espacio normable es reflexivo si y sólo si es semi-reflexivo. Un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su bola unitaria cerrada es-compacto. [2]
- Definición detallada
Sea X un espacio vectorial topológico sobre un campo numérico(de números reales o números complejos ). Considere su fuerte espacio dual , que consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte , Es decir, la topología de la convergencia uniforme sobre subconjuntos delimitadas en X . El espacio es un espacio vectorial topológico (para ser más precisos, un espacio localmente convexo), por lo que se puede considerar su fuerte espacio dual , Que se llama el fuerte bidual espacio para X . Consiste en todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte . Cada vector genera un mapa por la siguiente fórmula:
Este es un funcional lineal continuo en , es decir, . Se obtiene un mapa llamado mapa de evaluación o inyección canónica :
que es un mapa lineal. Si X es localmente convexo, del teorema de Hahn-Banach se deduce que J es inyectivo y abierto (es decir, para cada vecindad de ceroen X hay una vecindad de cero V en tal que ). Pero puede ser no sobreyectiva y / o discontinua.
Un espacio localmente convexo se llama semi-reflexivo si el mapa de evaluaciónes sobreyectiva (por lo tanto, biyectiva); se llama reflexivo si el mapa de evaluaciónes sobreyectiva y continua, en cuyo caso J será un isomorfismo de TVS ).
Caracterizaciones de espacios semi-reflexivos
Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff, los siguientes son equivalentes:
- X es semirreflexivo;
- la topología débil en X tenía la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil, cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). [1]
- Si forma lineal en que continuo cuando tiene la topología dual fuerte, entonces es continuo cuando tiene la topología débil; [3]
- es cañón , donde elindica la topología de Mackey en; [3]
- X débil la topología débiles casi completo . [3]
Teorema [4] - Un espacio de Hausdorff localmente convexo es semi-reflexivo si y solo si con el -topología tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, subconjuntos débilmente cerrados y acotados de son débilmente compactos).
Condiciones suficientes
Cada espacio semi-Montel es semi-reflexivo y cada espacio Montel es reflexivo.
Propiedades
Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces la inyección canónica de en su bidual es una incrustación topológica si y sólo si es infrabarrelled. [5]
El fuerte dual de un espacio semirreflexivo es un cañón . Cada espacio semi-reflexivo es casi completo . [3] Todo espacio normado semi-reflexivo es un espacio reflexivo de Banach. [6] El fuerte dual de un espacio semirreflexivo es un cañón. [7]
Espacios reflexivos
Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff, los siguientes son equivalentes:
- X es reflexivo ;
- X es semirreflexivo y cañón ;
- X tiene un barril y la topología débil en X tenía la propiedad de Heine-Borel (lo que significa que para la topología débil, cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). [8]
- X es semirreflexivo y cuasibarrelizado . [9]
Si X es un espacio normado , los siguientes son equivalentes:
- X es reflexivo;
- la bola unitaria cerrada es compacta cuando X tiene la topología débil. [10]
- X es un espacio de Banach yes reflexivo. [11]
Ejemplos de
Todo espacio de Banach de dimensión infinita no reflexiva es un espacio distinguido que no es semirreflexivo. [12] Si es un subespacio de vector propio denso de un espacio reflexivo de Banach entonces Es un espacio normado que no es semi-reflexivo pero su fuerte espacio dual es un espacio reflexivo de Banach. [12] Existe un espacio semirreflexivo con cañón numerable que no tiene cañón . [12]
Ver también
- Espacio Grothendieck : una generalización que tiene algunas de las propiedades de los espacios reflexivos e incluye muchos espacios de importancia práctica.
- Álgebra de operador reflexivo
- Espacio reflexivo
Citas
- ↑ a b c Trèves , 2006 , págs. 372–374.
- ↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 225–273.
- ↑ a b c d Schaefer y Wolff , 1999 , p. 144.
- ↑ Edwards , 1965 , 8.4.2.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 488–491.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 145.
- ↑ Edwards , 1965 , 8.4.3.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 372-374.
- ^ Khaleelulla 1982 , págs. 32-63.
- ^ Trèves , 2006 , p. 376.
- ^ Trèves , 2006 , p. 377.
- ↑ a b c Khaleelulla , 1982 , págs. 28-63.
Bibliografía
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- John B. Conway , Un curso de análisis funcional , Springer, 1985.
- James, Robert C. (1972), Algunas propiedades auto-duales de los espacios lineales normativos. Simposio sobre topología de dimensiones infinitas (Univ. Del estado de Luisiana, Baton Rouge, Luisiana, 1967) , Ann. de Matemáticas. Estudios, 69 , Princeton, Nueva Jersey: Universidad de Princeton. Prensa, págs. 159-175.
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de clase en matemáticas . 936 . Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
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