En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , el fuerte espacio dual de un espacio vectorial topológico (TVS)es el espacio dual continuo de equipado con la topología fuerte ( dual ) o la topología de convergencia uniforme en subconjuntos delimitados de donde esta topología se denota por o La topología polar más burda se llama topología débil . El espacio dual fuerte juega un papel tan importante en el análisis funcional moderno, que generalmente se asume que el espacio dual continuo tiene la topología dual fuerte a menos que se indique lo contrario. Para enfatizar que el espacio dual continuo, tiene la topología dual fuerte, o puede estar escrito.
Fuerte topología dual
En todo momento, se supondrá que todos los espacios vectoriales están sobre el campo. de los números reales o números complejos
Definición de un sistema dual
Dejar ser un par doble de espacios vectoriales sobre el campode números reales o números complejos Para cualquier y cualquier definir
Ninguno de los dos ni tiene una topología, así que di un subconjunto se dice que está delimitado por un subconjunto Si para todos Entonces un subconjunto se llama acotado si y solo si
Dejar denotar la familia de todos los subconjuntos delimitado por elementos de ; es decir, es el conjunto de todos los subconjuntos tal que por cada
La definición de la topología dual fuerte procede ahora como en el caso de un TVS. Tenga en cuenta que sies un televisor cuyo espacio dual continuo separa un punto en luego es parte de un sistema dual canónico dónde En el caso especial cuando es un espacio localmente convexo , la topología fuerte en el espacio dual (continuo) (es decir, en el espacio de todos los funcionales lineales continuos ) se define como la topología fuerte y coincide con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en es decir, con la topología en generado por las seminormas de la forma
Definición en un televisor
Suponer que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo Dejar ser cualquier sistema fundamental de conjuntos acotados de; es decir,es una familia de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de es un subconjunto de algunos ; el conjunto de todos los subconjuntos acotados de forma un sistema fundamental de conjuntos acotados de Una base de barrios cerrados del origen en viene dado por los polares :
Si es normal, entonces también lo es y será de hecho un espacio de Banach . Si es un espacio normado con norma luego tiene una norma canónica (la norma del operador ) dada por; la topología que esta norma induce en es idéntico a la topología dual fuerte.
Bidual
El bidual o segundo dual de un televisor. a menudo denotado por es el dual fuerte del dual fuerte de :
Propiedades
Dejar ser un TVS localmente convexo .
- Un subconjunto convexo balanceado débilmente compacto de está delimitado en [1]
- Cada subconjunto débilmente acotado de está fuertemente acotado. [2]
- Si es un espacio de barril entoncesLa topología es idéntica a la topología dual fuerte. y a la topología de Mackey en
- Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el fuerte dual de es un espacio bornológico si y solo si es un espacio infrabarreado , si y solo si es un espacio barreado . [3]
- Si ¿Son los televisores localmente convexos de Hausdorff? es metrizable si y solo si existe un conjunto contable de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de está contenido en algún elemento de [4]
- Si es localmente convexa, entonces esta topología es más fina que todas las demás -topologías en al considerar solo cuyos conjuntos son subconjuntos de
- Si es un espacio bornológico (por ejemplo, metrizable o LF-space ) entoncesestá completo .
Si es un espacio de barril , entonces su topología coincide con la topología fuerte en y con la topología Mackey generada por el emparejamiento
Ejemplos de
Si es un espacio vectorial normalizado , entonces su espacio dual (continuo) con la topología fuerte coincide con el espacio dual de Banach ; es decir, con el espaciocon la topología inducida por la norma del operador . en cambio-topología en es idéntica a la topología inducida por la norma sobre
Ver también
- Topología dual
- Sistema dual
- Lista de topologías
- Topología polar: topología de espacio dual de convergencia uniforme en algunas subconjuntos de subconjuntos delimitados
- Espacio reflexivo
- Espacio semi-reflexivo
- Topología fuerte
- Topologías en espacios de mapas lineales
Referencias
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 141.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 142.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 153.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
Bibliografía
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .