El lema de Shapley-Folkman es un resultado en geometría convexa con aplicaciones en economía matemática que describe la suma de conjuntos de Minkowski en un espacio vectorial . La suma de Minkowski se define como la suma de los miembros de los conjuntos : por ejemplo, sumar el conjunto que consta de los enteros cero y uno a sí mismo da como resultado el conjunto que consta de cero, uno y dos:
![El lema de Shapley-Folkman representado por un diagrama con dos paneles, uno a la izquierda y otro a la derecha. El panel de la izquierda muestra cuatro conjuntos, que se muestran en una matriz de dos por dos. Cada uno de los conjuntos contiene exactamente dos puntos, que se muestran en rojo. En cada conjunto, los dos puntos están unidos por un segmento de línea rosa, que es el casco convexo del conjunto original. Cada conjunto tiene exactamente un punto que se indica con un símbolo más. En la fila superior de la matriz de dos por dos, el símbolo más se encuentra en el interior del segmento de línea; en la fila inferior, el símbolo más coincide con uno de los puntos rojos. Esto completa la descripción del panel de la izquierda del diagrama. El panel de la derecha muestra la suma de Minkowski de los conjuntos, que es la unión de las sumas que tienen exactamente un punto de cada conjunto de sumandos; para los conjuntos mostrados, las dieciséis sumas son puntos distintos, que se muestran en rojo: Los puntos de suma roja de la derecha son las sumas de los puntos de suma roja de la izquierda. El casco convexo de los dieciséis puntos rojos está sombreado en rosa. En el interior rosa de la suma de la derecha se encuentra exactamente un símbolo más, que es la suma (única) de los símbolos más del lado derecho. Comparando la matriz de la izquierda y el panel derecho, se confirma que el símbolo más de la derecha es de hecho la suma de los cuatro símbolos más de los conjuntos de la izquierda, precisamente dos puntos de los conjuntos de sumandos no convexos originales y dos puntos de los cascos convexos de los conjuntos de sumandos restantes.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Shapley%E2%80%93Folkman_lemma.svg/300px-Shapley%E2%80%93Folkman_lemma.svg.png)
- {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}.
El lema de Shapley-Folkman y los resultados relacionados proporcionan una respuesta afirmativa a la pregunta: "¿La suma de muchos conjuntos está cerca de ser convexa ?" [2] Un conjunto se define como convexo si cada segmento de línea que une dos de sus puntos es un subconjunto del conjunto: por ejemplo, el disco sólido es un conjunto convexo pero el círculo no lo es, porque el segmento de recta que une dos puntos distintos no es un subconjunto del círculo. El lema de Shapley-Folkman sugiere que si el número de conjuntos sumados excede la dimensión del espacio vectorial, entonces su suma de Minkowski es aproximadamente convexa. [1]
El Shapley-Folkman lema se introdujo como un paso en la prueba de la Shapley-Folkman teorema , que establece un límite superior en la distancia entre la suma Minkowski y su casco convexo . El casco convexo de un conjunto Q es el conjunto convexo más pequeño que contiene Q . Esta distancia es cero si y solo si la suma es convexa. El teorema de atado de la distancia depende de la dimensión D y en las formas de los sumandos-conjuntos, pero no en el número de sumandos conjuntos de N , cuando N > D . Las formas de una subcolección de solo D conjuntos de sumandos determinan el límite de la distancia entre el promedio de Minkowski de N conjuntos
- 1 ⁄ N ( Q 1 + Q 2 + ... + Q N )
y su casco convexo. A medida que N aumenta hasta el infinito , el límite disminuye a cero (para conjuntos de sumando de tamaño uniformemente acotado). [3] El límite superior del teorema de Shapley-Folkman se redujo por el corolario de Starr (alternativamente, el teorema de Shapley-Folkman-Starr ).
El lema de Lloyd Shapley y Jon Folkman fue publicado por primera vez por el economista Ross M. Starr , quien estaba investigando la existencia de equilibrios económicos mientras estudiaba con Kenneth Arrow . [1] En su artículo, Starr estudió una economía convexificada , en la que los conjuntos no convexos fueron reemplazados por sus cascos convexos; Starr demostró que la economía convexificada tiene equilibrios que se aproximan mucho a los "cuasi-equilibrios" de la economía original; además, demostró que todo cuasi-equilibrio tiene muchas de las propiedades óptimas de los verdaderos equilibrios, que se ha demostrado que existen para las economías convexas. Siguiendo el artículo de Starr de 1969, los resultados de Shapley-Folkman-Starr se han utilizado ampliamente para mostrar que los resultados centrales de la teoría económica (convexa) son buenas aproximaciones a las grandes economías con no convexidades; por ejemplo, los cuasi-equilibrios se aproximan mucho a los equilibrios de una economía convexificada. "La derivación de estos resultados en forma general ha sido uno de los principales logros de la teoría económica de la posguerra", escribió Roger Guesnerie . [4] El tema de los conjuntos no convexos en economía ha sido estudiado por muchos premios Nobel , además de Lloyd Shapley, que ganó el premio en 2012: Arrow (1972), Robert Aumann (2005), Gérard Debreu (1983), Tjalling Koopmans ( 1975), Paul Krugman (2008) y Paul Samuelson (1970); El tema complementario de los conjuntos convexos en economía ha sido enfatizado por estos galardonados, junto con Leonid Hurwicz , Leonid Kantorovich (1975) y Robert Solow (1987).
El lema de Shapley-Folkman también tiene aplicaciones en la teoría de la optimización y la probabilidad . [3] En la teoría de la optimización, el lema de Shapley-Folkman se ha utilizado para explicar la solución exitosa de problemas de minimización que son sumas de muchas funciones . [5] [6] El lema de Shapley-Folkman también se ha utilizado en las demostraciones de la "ley de los promedios" para conjuntos aleatorios , un teorema que se había probado solo para conjuntos convexos. [7]
Ejemplo introductorio
Por ejemplo, el subconjunto de los números enteros {0, 1, 2} está contenido en el intervalo de números reales [0, 2], que es convexo. El lema de Shapley-Folkman implica que cada punto en [0, 2] es la suma de un número entero de {0, 1} y un número real de [0, 1]. [8]
La distancia entre el intervalo convexo [0, 2] y el conjunto no convexo {0, 1, 2} es igual a la mitad
- 1/2 = | 1 - 1/2 | = | 0 - 1/2 | = | 2 - 3/2 | = | 1 - 3/2 |.
Sin embargo, la distancia entre la suma media de Minkowski
- 1/2 ({0, 1} + {0, 1}) = {0, 1/2, 1}
y su casco convexo [0, 1] es sólo 1/4, que es la mitad de la distancia (1/2) entre su sumando {0, 1} y [0, 1]. A medida que se suman más conjuntos, el promedio de su suma "llena" su casco convexo: la distancia máxima entre el promedio y su casco convexo se acerca a cero cuando el promedio incluye más sumandos . [8]
Preliminares
El lema de Shapley-Folkman depende de las siguientes definiciones y resulta de la geometría convexa .
Espacios vectoriales reales
A un espacio vectorial real de dos dimensiones se le puede dar un sistema de coordenadas cartesianas en el que cada punto se identifica mediante un par ordenado de números reales, llamados "coordenadas", que se denotan convencionalmente por x e y . Se pueden agregar dos puntos en el plano cartesiano por coordenadas
- ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 );
Además, un punto se puede multiplicar por cada número real λ en coordenadas
- λ ( x , y ) = ( λx , λy ).
De manera más general, cualquier espacio vectorial real de dimensión (finita) D puede verse como el conjunto de todas las D -tuplas de D números reales {( v 1 , v 2 ,..., V D ) } en el que se definen dos operaciones : suma y multiplicación de vectores por un número real . Para espacios vectoriales de dimensión finita, las operaciones de suma de vectores y multiplicación de números reales se pueden definir cada una por coordenadas, siguiendo el ejemplo del plano cartesiano. [9]
Conjuntos convexos
![Illustration of a green non-convex set, which looks somewhat like a boomerang or cashew nut. The black line-segment joins the points x and y of the green non-convex set. Part of the line segment is not contained in the green non-convex set.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Convex_polygon_illustration2.svg/155px-Convex_polygon_illustration2.svg.png)
En un espacio vectorial real, un no vacío conjunto Q se define para ser convexa si, para cada par de sus puntos, cada punto en el segmento de línea que los une es un subconjunto de Q . Por ejemplo, un disco sólido es convexo pero un circulo no lo es, porque no contiene un segmento de línea que une sus puntos ; el conjunto no convexo de tres enteros {0, 1, 2} está contenido en el intervalo [0, 2], que es convexo. Por ejemplo, un cubo sólido es convexo; sin embargo, todo lo que esté hueco o abollado, por ejemplo, una forma de media luna , no es convexo. El conjunto vacío es convexo, ya sea por definición [10] o vacuo , según el autor.
Más formalmente, un conjunto Q es convexo si, para todos los puntos v 0 y v 1 en Q y para cada número real λ en el intervalo unitario [0,1], el punto
- (1 - λ ) v 0 + λv 1
es un miembro de Q .
Por inducción matemática , un conjunto Q es convexo si y sólo si cada combinación convexa de los miembros de Q también pertenece a Q . Por definición, una combinación convexa de un subconjunto indexada { v 0 , v 1 ,. . . , v D } de un espacio vectorial es cualquier promedio ponderado λ 0 v 0 + λ 1 v 1 +. . . + λ D v D , para algún conjunto indexado de números reales no negativos { λ d } que satisfacen la ecuación λ 0 + λ 1 +. . . + λ D = 1. [11]
La definición de un conjunto convexo implica que la intersección de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. De manera más general, la intersección de una familia de conjuntos convexos es un conjunto convexo. En particular, la intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío, que es convexo. [10]
Casco convexo
![A picture of a smoothed triangle, like a triangular (Mexican) tortilla-chip or a triangular road-sign. Each of the three rounded corners is drawn with a red curve. The remaining interior points of the triangular shape are shaded with blue.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/8e/Extreme_points.svg/220px-Extreme_points.svg.png)
Para cada subconjunto Q de un espacio vectorial real, su casco convexo Conv ( Q ) es el mínimo conjunto convexo que contiene Q . Por lo tanto Conv ( Q ) es la intersección de todos los conjuntos convexos que la cubierta Q . El casco convexo de un conjunto se puede equivalentemente define como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en Q . [12] Por ejemplo, el casco convexo del conjunto de números enteros {0,1} es el intervalo cerrado de números reales [0,1], que contiene los puntos finales enteros. [8] El casco convexo del círculo unitario es el disco unitario cerrado , que contiene el círculo unitario.
Adición de Minkowski
![Three squares are shown in the non-negative quadrant of the Cartesian plane.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Minkowski_sum_graph_-_vector_version.svg/220px-Minkowski_sum_graph_-_vector_version.svg.png)
En cualquier espacio vectorial (o estructura algebraica con adición), , la suma de Minkowski de dos conjuntos no vacíos se define como la operación por elementos (Ver también. [13] ) Por ejemplo
Esta operación es claramente conmutativa y asociativa en la colección de conjuntos no vacíos. Todas estas operaciones se extienden de manera bien definida a formas recursivas.Por el principio de inducción es fácil ver que [14]
Cascos convexos de sumas de Minkowski
La adición de Minkowski se comporta bien con respecto a la toma de cascos convexos. Específicamente, para todos los subconjuntos de un espacio vectorial real, , el casco convexo de su suma Minkowski es la suma Minkowski de sus cascos convexos. Es decir,
Y por inducción se sigue que
para cualquier y subconjuntos no vacíos , . [15] [16]
Declaraciones
![The Shapley–Folkman lemma depicted by a diagram with two panes, one on the left and the other on the right. The left-hand pane displays four sets, which are displayed in a two-by-two array. Each of the sets contains exactly two points, which are displayed in red. In each set, the two points are joined by a pink line-segment, which is the convex hull of the original set. Each set has exactly one point that is indicated with a plus-symbol. In the top row of the two-by-two array, the plus-symbol lies in the interior of the line segment; in the bottom row, the plus-symbol coincides with one of the red-points. This completes the description of the left-hand pane of the diagram. The right-hand pane displays the Minkowski sum of the sets, which is the union of the sums having exactly one point from each summand-set; for the displayed sets, the sixteen sums are distinct points, which are displayed in red: The right-hand red sum-points are the sums of the left-hand red summand-points. The convex hull of the sixteen red-points is shaded in pink. In the pink interior of the right-hand sumset lies exactly one plus-symbol, which is the (unique) sum of the plus-symbols from the right-hand side. The right-hand plus-symbol is indeed the sum of the four plus-symbols from the left-hand sets, precisely two points from the original non-convex summand-sets and two points from the convex hulls of the remaining summand-sets.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Shapley%E2%80%93Folkman_lemma.svg/300px-Shapley%E2%80%93Folkman_lemma.svg.png)
Por la identidad anterior, para cada punto existen elementos en los cascos convexos, por , depende de , y tal que .
Lema de Shapley y Folkman
Trabajando con la configuración anterior, el lema Shapley-Folkman establece que en la representación anterior
a lo sumo de los sumandos deben tomarse estrictamente de los cascos convexos. Es decir, existe una representación de la forma anterior, tal que. Mezclar índices si es necesario, esto significa que el punto tiene una representación
dónde por y por . Tenga en cuenta que la reindexación depende del punto. [17] De manera más sucinta, el lema de Shapley-Folkman establece que
Como ejemplo, cada punto en es según el lema la suma de un elemento en y un elemento en . [8]
Dimensión de un espacio vectorial real
Por el contrario, el lema de Shapley-Folkman caracteriza la dimensión de los espacios vectoriales reales de dimensión finita. Es decir, si un espacio vectorial obedece al lema de Shapley-Folkman para un número natural D , y no menos de D , entonces su dimensión es exactamente D ; [18] el lema de Shapley-Folkman sólo se aplica a espacios vectoriales de dimensión finita. [19]
Teorema de Shapley-Folkman y corolario de Starr
![A blue disk contains red points. A smaller green disk sits in the largest concavity in among these red points.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Inner_radius.svg/220px-Inner_radius.svg.png)
Shapley y Folkman usaron su lema para probar su teorema, que limita la distancia entre una suma de Minkowski y su casco convexo, la suma " convexificada ":
- El teorema de Shapley-Folkman establece que la distancia euclidiana al cuadrado desde cualquier punto de la suma convexificada Conv (∑ Q n ) a la suma original (no vexificada) ∑ Q n está limitada por la suma de los cuadrados de los D circunradios más grandes de los conjuntos Q n (los radios de las esferas más pequeñas que encierran estos conjuntos ). [20] Este límite es independiente del número de conjuntos de sumandos N (si N > D ). [21]
El teorema de Shapley-Folkman establece un límite en la distancia entre la suma de Minkowski y su casco convexo; esta distancia es cero si y solo si la suma es convexa. Su unido de la distancia depende de la dimensión D y en las formas de los sumandos-conjuntos, pero no en el número de sumandos conjuntos de N , cuando N > D . [3]
El circunradio a menudo excede (y no puede ser menor que) el radio interior : [22]
- El radio interior de un conjunto Q n se define como el número más pequeño r tal que, para cualquier punto q en el casco convexo de Q n , hay una esfera de radio r que contiene un subconjunto de Q n cuyo casco convexo contiene q .
Starr usó el radio interno para reducir el límite superior establecido en el teorema de Shapley-Folkman:
- El corolario de Starr al teorema de Shapley-Folkman establece que la distancia euclidiana al cuadrado desde cualquier punto x en la suma convexificada Conv (∑ Q n ) a la suma original (no vexificada) ∑ Q n está limitada por la suma de los cuadrados de la D mayor radios internos de los conjuntos Q n . [22] [23]
El corolario de Starr establece un límite superior en la distancia euclidiana entre la suma de Minkowski de N conjuntos y el casco convexo de la suma de Minkowski; esta distancia entre la suma y su casco convexo es una medida de la no convexidad del conjunto. Por simplicidad , esta distancia se denomina " no convexidad " del conjunto (con respecto a la medida de Starr). Por lo tanto, de Starr con destino a la no convexidad de la suma depende sólo el D más grande radios interiores de los sumandos conjuntos; Sin embargo, Starr de cota no depende del número de sumandos conjuntos de N , cuando N > D . Por ejemplo, la distancia entre el intervalo convexo [0, 2] y el conjunto no convexo {0, 1, 2} es igual a la mitad
- 1/2 = | 1 - 1/2 | = | 0 - 1/2 | = | 2 - 3/2 | = | 1 - 3/2 |.
Por lo tanto, la cota de Starr sobre la no convexidad del promedio
- 1 ⁄ N ∑ Q n
disminuye a medida que el número de sumandos N aumenta. Por ejemplo, la distancia entre el conjunto promediado
- 1/2 ({0, 1} + {0, 1}) = {0, 1/2, 1}
y su casco convexo [0, 1] es sólo 1/4, que es la mitad de la distancia (1/2) entre su sumando {0, 1} y [0, 1]. Las formas de una subcolección de sólo D conjuntos de sumas determinan el límite de la distancia entre el conjunto medio y su casco convexo; por lo tanto, a medida que el número de sumandos aumenta hasta el infinito , el límite disminuye a cero (para conjuntos de sumandos de tamaño uniformemente acotado). [3] De hecho, el límite de Starr sobre la no convexidad de este conjunto promedio disminuye a cero a medida que el número de sumandos N aumenta hasta el infinito (cuando los radios internos de todos los sumandos están delimitados por el mismo número). [3]
Pruebas y cálculos
La prueba original del lema de Shapley-Folkman estableció solo la existencia de la representación, pero no proporcionó un algoritmo para calcular la representación: Arrow y Hahn , [24] Cassels , [25] y Schneider, [ 26] entre otros. Artstein ha ampliado una prueba abstracta y elegante de Ekeland . [27] [28] También han aparecido diferentes pruebas en artículos inéditos. [2] [29] En 1981, Starr publicó un método iterativo para calcular una representación de un punto de suma dado; sin embargo, su demostración computacional proporciona un límite más débil que el resultado original. [30] Una prueba elemental del lema de Shapley-Folkman en el espacio de dimensión finita se puede encontrar en el libro de Bertsekas [31] junto con aplicaciones para estimar la brecha de dualidad en problemas de optimización separables y juegos de suma cero.
Aplicaciones
El lema de Shapley-Folkman permite a los investigadores extender los resultados de las sumas de conjuntos convexos de Minkowski a sumas de conjuntos generales, que no necesitan ser convexos. Tales sumas de conjuntos surgen en economía , en optimización matemática y en teoría de probabilidades ; en cada una de estas tres ciencias matemáticas, la no convexidad es una característica importante de las aplicaciones.
Ciencias económicas
![The nonnegative quadrant of the Cartesian plane appears. A blue straight-line slopes downward as a secant joining two points, one on each of the axes. This blue line is tangent to a red curve that touches it at a marked point, whose coordinates are labeled Qx and Qy.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Indifference_curves_showing_budget_line.svg/220px-Indifference_curves_showing_budget_line.svg.png)
En economía , las preferencias de un consumidor se definen sobre todas las "canastas" de bienes. Cada canasta se representa como un vector no negativo, cuyas coordenadas representan las cantidades de la mercancía. Sobre este conjunto de cestas, se define una curva de indiferencia para cada consumidor; La curva de indiferencia de un consumidor contiene todas las canastas de productos básicos que el consumidor considera equivalentes: es decir, por cada par de canastas en la misma curva de indiferencia, el consumidor no prefiere una canasta sobre otra. A través de cada canasta de productos básicos pasa una curva de indiferencia. El conjunto de preferencias de un consumidor (en relación con una curva de indiferencia) es la unión de la curva de indiferencia y todas las canastas de productos básicos que el consumidor prefiere sobre la curva de indiferencia. Las preferencias de un consumidor son convexas si todos esos conjuntos de preferencias son convexos. [32]
Una canasta de bienes óptima ocurre cuando la línea presupuestaria apoya el conjunto de preferencias de un consumidor, como se muestra en el diagrama. Esto significa que una canasta óptima se encuentra en la curva de indiferencia más alta posible dada la línea presupuestaria, que se define en términos de un vector de precios y el ingreso del consumidor (vector de dotación). Por tanto, el conjunto de cestas óptimas es una función de los precios, y esta función se denomina demanda del consumidor . Si el conjunto de preferencias es convexo, entonces, a cada precio, la demanda del consumidor es un conjunto convexo, por ejemplo, una canasta óptima única o un segmento de línea de canastas. [33]
Preferencias no convexas
![Image of a non-convex preference set with a concavity un-supported by the budget line](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/5/5f/NonConvex.gif/220px-NonConvex.gif)
Sin embargo, si un conjunto de preferencias no es convexo , algunos precios determinan una línea presupuestaria que admite dos cestas óptimas separadas . Por ejemplo, podemos imaginar que, para los zoológicos, un león cuesta tanto como un águila y, además, que el presupuesto de un zoológico es suficiente para un águila o un león. Podemos suponer también que el cuidador de un zoológico ve a cualquiera de los animales como igualmente valiosos. En este caso, el zoológico compraría un león o un águila. ¡Por supuesto, un cuidador de zoológico contemporáneo no quiere comprar la mitad de un águila y la mitad de un león (o un grifo )! Por lo tanto, las preferencias del cuidador del zoológico no son convexas: el cuidador del zoológico prefiere tener cualquiera de los animales a tener una combinación estrictamente convexa de ambos. [34]
Cuando el conjunto de preferencias del consumidor no es convexo, entonces (para algunos precios) la demanda del consumidor no está conectada ; una demanda desconectada implica un comportamiento discontinuo por parte del consumidor, como lo analiza Harold Hotelling :
Si se piensa que las curvas de indiferencia para las compras poseen un carácter ondulado, convexas al origen en algunas regiones y cóncavas en otras, nos vemos obligados a concluir que sólo las porciones convexas al origen pueden considerarse de importancia. , ya que los otros son esencialmente inobservables. Solo pueden detectarse por las discontinuidades que pueden ocurrir en la demanda con variación en las relaciones de precios, lo que lleva a un salto abrupto de un punto de tangencia a través de un abismo cuando se gira la línea recta. Pero, aunque tales discontinuidades pueden revelar la existencia de abismos, nunca pueden medir su profundidad. Las porciones cóncavas de las curvas de indiferencia y sus generalizaciones multidimensionales, si existen, deben permanecer para siempre en una oscuridad inconmensurable. [35]
Las dificultades de estudiar las preferencias no convexas fueron enfatizadas por Herman Wold [36] y nuevamente por Paul Samuelson , quien escribió que las no convexidades están "envueltas en una oscuridad eterna ...", [37] según Diewert. [38]
No obstante, las preferencias no convexas fueron iluminadas desde 1959 hasta 1961 por una secuencia de artículos en The Journal of Political Economy ( JPE ). Los principales contribuyentes fueron Farrell, [39] Bator, [40] Koopmans , [41] y Rothenberg. [42] En particular, el artículo de Rothenberg discutió la convexidad aproximada de las sumas de conjuntos no convexos. [43] Estos JPE -papers estimularon un artículo de Lloyd Shapley y Martin Shubik , que considera convexified consumidores-preferencias e introdujo el concepto de un "equilibrio aproximado". [44] El JPE -papers y el documento de Shapley-Shubik influenciados otra noción de "cuasi-equilibrio", debido a Robert Aumann . [45] [46]
El artículo de Starr de 1969 y la economía contemporánea
Las publicaciones anteriores sobre la no convexidad y la economía se recopilaron en una bibliografía anotada por Kenneth Arrow . Le dio la bibliografía a Starr , quien entonces era un estudiante matriculado en el curso avanzado de matemática y economía de Arrow (posgrado). [47] En su trabajo final, Starr estudió los equilibrios generales de una economía artificial en la que las preferencias no convexas fueron reemplazadas por sus cascos convexos. En la economía convexificada, a cada precio, la demanda agregada era la suma de los cascos convexos de las demandas de los consumidores. Las ideas de Starr interesaron a los matemáticos Lloyd Shapley y Jon Folkman , quienes demostraron su lema y teorema epónimo en "correspondencia privada", que fue reportada por el artículo publicado por Starr en 1969. [1]
En su publicación de 1969, Starr aplicó el teorema de Shapley-Folkman-Starr. Starr demostró que la economía "convexificada" tiene equilibrios generales que pueden aproximarse mucho a los " cuasi-equilibrios " de la economía original, cuando el número de agentes excede la dimensión de los bienes: Concretamente, Starr demostró que existe al menos un cuasi -equilibrio de precios p opt con las siguientes propiedades:
- Para los precios de cada uno de cuasi-equilibrio p opt , todos los consumidores pueden elegir cestas óptimas (máximamente preferidos y que cumplan sus limitaciones presupuestarias).
- A precios de cuasi equilibrio p opt en la economía convexificada, el mercado de todos los bienes está en equilibrio: su oferta es igual a su demanda.
- Para cada cuasi-equilibrio, los precios "casi limpian" los mercados de la economía original: un límite superior en la distancia entre el conjunto de equilibrios de la economía "convexificada" y el conjunto de cuasi-equilibrios de la economía original seguido de Starr corolario del teorema de Shapley-Folkman. [48]
Starr estableció que
"en conjunto, la discrepancia entre una asignación en la economía ficticia generada por [tomando los cascos convexos de todos los conjuntos de consumo y producción] y alguna asignación en la economía real está acotada de una manera que es independiente del número de agentes. Por lo tanto, el agente promedio experimenta una desviación de las acciones previstas que se desvanece en importancia a medida que el número de agentes se va al infinito ". [49]
Siguiendo el artículo de 1969 de Starr, los resultados de Shapley-Folkman-Starr se han utilizado ampliamente en la teoría económica. Roger Guesnerie resumió sus implicaciones económicas: "Algunos resultados clave obtenidos bajo el supuesto de convexidad siguen siendo (aproximadamente) relevantes en circunstancias en las que falla la convexidad. Por ejemplo, en economías con un gran consumo, las no convexidades de preferencia no destruyen los resultados estándar". [50] "La derivación de estos resultados en forma general ha sido uno de los principales logros de la teoría económica de la posguerra", escribió Guesnerie. [4] El tema de los conjuntos no convexos en economía ha sido estudiado por muchos premios Nobel : Arrow (1972), Robert Aumann (2005), Gérard Debreu (1983), Tjalling Koopmans (1975), Paul Krugman (2008) y Paul Samuelson (1970); El tema complementario de los conjuntos convexos en economía ha sido enfatizado por estos galardonados, junto con Leonid Hurwicz , Leonid Kantorovich (1975) y Robert Solow (1987). [51] Los resultados de Shapley-Folkman-Starr han aparecido en la literatura económica: en microeconomía , [52] en la teoría del equilibrio general, [53] [54] en la economía pública [55] (incluidas las fallas del mercado ), [56 ] así como en teoría de juegos , [57] en economía matemática , [58] y en matemáticas aplicadas (para economistas). [59] [60] Los resultados de Shapley-Folkman-Starr también han influido en la investigación económica utilizando la teoría de la medida y la integración . [61]
Optimización matemática
![A graph of a convex function, which is drawn in black. Its epigraph, the area above its graph, is solid green.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/3/31/Epigraph_convex.svg/300px-Epigraph_convex.svg.png)
El lema de Shapley-Folkman se ha utilizado para explicar por qué los grandes problemas de minimización con no convexidades pueden casi resolverse (con métodos iterativos cuyas pruebas de convergencia se establecen solo para problemas convexos ). El lema de Shapley-Folkman ha fomentado el uso de métodos de minimización convexa en otras aplicaciones con sumas de muchas funciones. [62]
Preliminares de la teoría de la optimización
La optimización no lineal se basa en las siguientes definiciones de funciones :
- La gráfica de una función f es el conjunto de pares de argumentos x y evaluaciones de funciones f ( x )
- Gráfico ( f ) = { ( x , f ( x ) ) }
- El epígrafe de una función de valor real f es el conjunto de puntos sobre el gráfico
![A graph of the sine function, which periodically oscillates up and down between −1 and +1, with the period 2π.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Sine.svg/220px-Sine.svg.png)
- Epi ( f ) = { ( x , u ): f ( x ) ≤ u } .
- Una función de valor real se define como una función convexa si su epígrafe es un conjunto convexo. [63]
Por ejemplo, la función cuadrática f ( x ) = x 2 es convexa, al igual que la función de valor absoluto g ( x ) = | x |. Sin embargo, la función seno (en la imagen) no es convexa en el intervalo (0, π).
Problemas de optimización aditiva
En muchos problemas de optimización, la función objetivo f es separable : es decir, f es la suma de muchas funciones sumando, cada una de las cuales tiene su propio argumento:
- f ( x ) = f ( ( x 1 , ..., x N ) ) = Σ f n ( x n ).
Por ejemplo, los problemas de optimización lineal son separables. Dado un problema separable con una solución óptima, arreglamos una solución óptima
- x min = ( x 1 , ..., x N ) min
con el valor mínimo f ( x min ). Para este problema separable, también consideramos una solución óptima ( x min , f ( x min ) ) al " problema convexificado ", donde se toman cascos convexos de las gráficas de las funciones sumando. Una solución tan óptima es el límite de una secuencia de puntos en el problema convexificado.
- ( x j , f ( x j ) ) ∈ ∑ Conv ( Gráfico ( f n ) ) . [5] [64]
Por supuesto, el punto óptimo dado es una suma de puntos en las gráficas de los sumandos originales y de un pequeño número de sumandos convexificados, según el lema de Shapley-Folkman.
Este análisis fue publicado por Ivar Ekeland en 1974 para explicar la aparente convexidad de problemas separables con muchos sumandos, a pesar de la no convexidad de los problemas de sumandos. En 1973, el joven matemático Claude Lemaréchal se sorprendió por su éxito con los métodos de minimización convexa en problemas que se sabía que no eran convexos; Para minimizar problemas no lineales , una solución del problema dual no necesita proporcionar información útil para resolver el problema primario, a menos que el problema primario sea convexo y satisfaga una calificación de restricción . El problema de Lemaréchal era aditivamente separable y cada función de suma no era convexa; no obstante, una solución al problema dual proporcionó una aproximación cercana al valor óptimo del problema primario. [65] [5] [66] El análisis de Ekeland explicó el éxito de los métodos de minimización convexa en problemas grandes y separables , a pesar de las no convexidades de las funciones sumando. Ekeland y autores posteriores argumentaron que la separabilidad aditiva producía un problema agregado aproximadamente convexo, aunque las funciones sumatorias no eran convexas. El paso crucial en estas publicaciones es el uso del lema Shapley-Folkman. [5] [66] [67] El lema de Shapley-Folkman ha fomentado el uso de métodos de minimización convexa en otras aplicaciones con sumas de muchas funciones. [5] [6] [59] [62]
Teoría de la probabilidad y la medida
Los conjuntos convexos a menudo se estudian con la teoría de la probabilidad . Cada punto en el casco convexo de un subconjunto ( no vacío ) Q de un espacio de dimensión finita es el valor esperado de un vector aleatorio simple que toma sus valores en Q , como consecuencia del lema de Carathéodory . Así, para un conjunto no vacío Q , la recogida de los valores esperados de la simple, Q -valued vectores aleatorios es igual a Q 's casco convexo; esta igualdad implica que los resultados de Shapley-Folkman-Starr son útiles en la teoría de la probabilidad. [68] En la otra dirección, la teoría de la probabilidad proporciona herramientas para examinar conjuntos convexos en general y los resultados de Shapley-Folkman-Starr específicamente. [69] Los resultados de Shapley-Folkman-Starr se han utilizado ampliamente en la teoría probabilística de conjuntos aleatorios , [70] por ejemplo, para demostrar una ley de números grandes , [7] [71] un teorema del límite central , [71] [72] y un principio de grandes desviaciones . [73] Estas demostraciones de teoremas del límite probabilístico utilizaron los resultados de Shapley-Folkman-Starr para evitar la suposición de que todos los conjuntos aleatorios son convexos.
Una medida de probabilidad es una medida finita , y el lema de Shapley-Folkman tiene aplicaciones en la teoría de medidas no probabilísticas, como las teorías del volumen y de las medidas vectoriales . El lema de Shapley-Folkman permite un refinamiento de la desigualdad de Brunn-Minkowski , que limita el volumen de las sumas en términos de los volúmenes de sus conjuntos de sumandos. [74] El volumen de un conjunto se define en términos de la medida de Lebesgue , que se define en subconjuntos del espacio euclidiano . En la teoría de medidas avanzada, el lema de Shapley-Folkman se ha utilizado para demostrar el teorema de Lyapunov , que establece que el rango de una medida vectorial es convexo. [75] Aquí, el término tradicional " rango " (alternativamente, "imagen") es el conjunto de valores producidos por la función. Una medida vectorial es una generalización con valores vectoriales de una medida; por ejemplo, si p 1 y p 2 son medidas de probabilidad definidas en el mismo espacio medible , entonces la función producto p 1 p 2 es una medida vectorial, donde p 1 p 2 se define para cada evento ω por
- ( p 1 p 2 ) ( ω ) = ( p 1 ( ω ), p 2 ( ω ) ) .
El teorema de Lyapunov se ha utilizado en economía , [45] [76] en la teoría de control ( "bang-bang" ) y en la teoría estadística . [77] El teorema de Lyapunov se ha denominado una contraparte continua del lema de Shapley-Folkman, [3] que a su vez se ha denominado un análogo discreto del teorema de Lyapunov. [78]
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"Eterna oscuridad" describe el infierno de John Milton 's Paradise Lost , cuya concavidad se compara con la Serbonian pantano en el Libro II, líneas 592-594 :
La descripción de la concavidad de Milton sirve como epígrafe literario que precede al capítulo siete de Arrow & Hahn (1980 , p. 169), "Mercados con preferencias y producción no convexas", que presenta los resultados de Starr (1969) .Un abismo profundo como ese pantano serboniano entre
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El concepto de conjunto convexo (es decir, un conjunto que contiene el segmento que conecta dos de sus puntos) se había colocado repetidamente en el centro de la teoría económica antes de 1964. Apareció bajo una nueva luz con la introducción de la teoría de la integración en el estudio de Competencia económica: si uno asocia con cada agente de una economía un conjunto arbitrario en el espacio de la mercancía y si promedia esos conjuntos individuales sobre una colección de agentes insignificantes, entonces el conjunto resultante es necesariamente convexo . [Debreu añade esta nota al pie de página: "Sobre esta consecuencia directa de un teorema de A. A. Lyapunov, véase Vind (1964) ."] Pero las explicaciones de las ... funciones de los precios ... pueden basarse en la convexidad de los conjuntos derivados por ese proceso de promediado . La convexidad en el espacio de la mercancía obtenida por agregación sobre una colección de agentes insignificantes es una idea que la teoría económica debe ... a la teoría de la integración. [ Cursiva agregada ]
Debreu, Gérard (marzo de 1991). "La matemática de la teoría económica". The American Economic Review . 81 (Discurso presidencial pronunciado en la 103ª reunión de la Asociación Económica Estadounidense, 29 de diciembre de 1990, Washington, DC): 1–7. JSTOR 2006785 .
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enlaces externos
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