El espacio de seis dimensiones es cualquier espacio que tiene seis dimensiones, seis grados de libertad y que necesita seis datos, o coordenadas, para especificar una ubicación en este espacio. Hay un número infinito de estos, pero los de mayor interés son los más simples que modelan algún aspecto del entorno. De particular interés esEspacio euclidiano de seis dimensiones , en el que se construyen 6 politopos y 5 esferas. También se estudian el espacio elíptico de seis dimensiones y los espacios hiperbólicos , con curvatura constante positiva y negativa.
Formalmente, el espacio euclidiano de seis dimensiones, ℝ 6 , se genera considerando todas las 6 tuplas reales como 6 vectores en este espacio. Como tal, tiene las propiedades de todos los espacios euclidianos, por lo que es lineal, tiene una métrica y un conjunto completo de operaciones vectoriales. En particular, el producto escalar entre dos 6 vectores se define fácilmente y se puede usar para calcular la métrica. Las matrices de 6 × 6 se pueden usar para describir transformaciones como rotaciones que mantienen el origen fijo.
De manera más general, cualquier espacio que pueda describirse localmente con seis coordenadas , no necesariamente euclidianas, es de seis dimensiones. Un ejemplo es la superficie de las 6 esferas, S 6 . Este es el conjunto de todos los puntos en el espacio de siete dimensiones (euclidiano) ℝ 7 que están a una distancia fija del origen. Esta restricción reduce el número de coordenadas necesarias para describir un punto en la esfera de 6 en uno, por lo que tiene seis dimensiones. Estos espacios no euclidianos son mucho más comunes que los espacios euclidianos, y en seis dimensiones tienen muchas más aplicaciones.
Geometría
6 politopos
Un politopo en seis dimensiones se llama politopo 6. Los más estudiados son los politopos regulares , de los cuales solo hay tres en seis dimensiones : el 6-simplex , 6-cube y 6-ortoplex . Una familia más amplia son los 6-politopos uniformes , construidos a partir de dominios de reflexión de simetría fundamental, cada dominio definido por un grupo Coxeter . Cada politopo uniforme está definido por un diagrama de Coxeter-Dynkin anillado . El 6-demicube es un politopo único de la familia D6 y los politopos 2 21 y 1 22 de la familia E6.
A 6 | B 6 | D 6 | E 6 | ||
---|---|---|---|---|---|
6-simplex {3,3,3,3,3} | 6 cubos {4,3,3,3,3} | 6-ortoplex {3,3,3,3,4} | 6-demicubo = {3,3 3,1 } = h {4,3,3,3,3} | 2 21 = {3,3,3 2,1 } | 1 22 = {3,3 2,2 } |
5 esferas
La 5-esfera, o hiperesfera en seis dimensiones, es la superficie de cinco dimensiones equidistante de un punto. Tiene el símbolo S 5 , y la ecuación para las 5 esferas, radio r , centro, el origen es
El volumen del espacio de seis dimensiones delimitado por esta 5-esfera es
que es 5.16771 × r 6 , o 0.0807 del cubo de 6 más pequeño que contiene la esfera de 5.
6 esferas
La 6-esfera, o hiperesfera en siete dimensiones, es la superficie de seis dimensiones equidistante de un punto. Tiene el símbolo S 6 , y la ecuación para las 6 esferas, radio r , centro, el origen es
El volumen del espacio delimitado por esta 6-esfera es
que es 4.72477 × r 7 , o 0.0369 del cubo de 7 más pequeño que contiene la esfera de 6.
Aplicaciones
Transformaciones en tres dimensiones
En el espacio tridimensional, una transformación rígida tiene seis grados de libertad , tres traslaciones a lo largo de los tres ejes de coordenadas y tres del grupo de rotación SO (3) . A menudo, estas transformaciones se manejan por separado, ya que tienen estructuras geométricas muy diferentes, pero hay formas de tratarlas que las tratan como un solo objeto de seis dimensiones.
Teoría del tornillo
En la teoría del tornillo, la velocidad angular y lineal se combinan en un objeto de seis dimensiones, llamado torsión . Un objeto similar llamado llave combina fuerzas y pares en seis dimensiones. Estos pueden tratarse como vectores de seis dimensiones que se transforman linealmente al cambiar el marco de referencia. Las traslaciones y rotaciones no se pueden hacer de esta manera, sino que están relacionadas con un giro por exponenciación .
Espacio de fase
El espacio de fase es un espacio formado por la posición y el momento de una partícula, que se pueden trazar juntos en un diagrama de fases para resaltar la relación entre las cantidades. Una partícula general que se mueve en tres dimensiones tiene un espacio de fase con seis dimensiones, demasiadas para trazarlas, pero pueden analizarse matemáticamente. [1]
Rotaciones en cuatro dimensiones
El grupo de rotación en cuatro dimensiones, SO (4), tiene seis grados de libertad. Esto se puede ver considerando la matriz de 4 × 4 que representa una rotación: como es una matriz ortogonal, la matriz está determinada, hasta un cambio de signo, por ejemplo, los seis elementos por encima de la diagonal principal. Pero este grupo no es lineal y tiene una estructura más compleja que otras aplicaciones vistas hasta ahora.
Otra forma de ver este grupo es con la multiplicación de cuaterniones . Cada rotación en cuatro dimensiones se puede lograr multiplicando por un par de cuaterniones unitarios , uno antes y otro después del vector. Estos cuaterniones son únicos, hasta un cambio de signo para ambos, y generan todas las rotaciones cuando se usan de esta manera, por lo que el producto de sus grupos, S 3 × S 3 , es una doble cobertura de SO (4), que debe tienen seis dimensiones.
Aunque el espacio en el que vivimos se considera tridimensional, existen aplicaciones prácticas para el espacio de cuatro dimensiones. Los cuaterniones, una de las formas de describir las rotaciones en tres dimensiones, consisten en un espacio de cuatro dimensiones. Las rotaciones entre cuaterniones, para interpolación, por ejemplo, tienen lugar en cuatro dimensiones. El espacio-tiempo , que tiene tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, también es cuatridimensional, aunque con una estructura diferente al espacio euclidiano .
Electromagnetismo
En electromagnetismo , generalmente se piensa que el campo electromagnético está compuesto por dos cosas, el campo eléctrico y el campo magnético . Ambos son campos vectoriales tridimensionales , relacionados entre sí por las ecuaciones de Maxwell . Un segundo enfoque es combinarlos en un solo objeto, el tensor electromagnético de seis dimensiones , una representación tensor o bivector valorada del campo electromagnético. El uso de estas ecuaciones de Maxwell se puede condensar a partir de cuatro ecuaciones en una única ecuación particularmente compacta:
donde F es la forma bivector del tensor electromagnético, J es la corriente de cuatro y ∂ es un operador diferencial adecuado . [2]
Teoria de las cuerdas
En física, la teoría de cuerdas es un intento de describir la relatividad general y la mecánica cuántica con un solo modelo matemático. Aunque es un intento de modelar nuestro universo, tiene lugar en un espacio con más dimensiones que las cuatro del espacio-tiempo que conocemos. En particular, una serie de teorías de cuerdas tienen lugar en un espacio de diez dimensiones, agregando seis dimensiones adicionales. Estas dimensiones adicionales son requeridas por la teoría, pero como no se pueden observar, se cree que son bastante diferentes, quizás compactadas para formar un espacio de seis dimensiones con una geometría particular demasiado pequeña para ser observable.
Desde 1997 ha salido a la luz otra teoría de cuerdas que funciona en seis dimensiones. Las pequeñas teorías de cuerdas son teorías de cuerdas no gravitacionales en cinco y seis dimensiones que surgen al considerar los límites de la teoría de cuerdas de diez dimensiones. [3]
Antecedentes teóricos
Bivectores en cuatro dimensiones
Varias de las aplicaciones anteriores pueden relacionarse entre sí algebraicamente considerando los bivectores reales de seis dimensiones en cuatro dimensiones. Estos se pueden escribir Λ 2 ℝ 4 para el conjunto de bivectores en el espacio euclidiano o Λ 2 ℝ 3,1 para el conjunto de bivectores en el espacio-tiempo. Las coordenadas de Plücker son bivectores en ℝ 4 mientras que el tensor electromagnético discutido en la sección anterior es un bivector en ℝ 3,1 . Los bivectores se pueden utilizar para generar rotaciones en ℝ 4 o ℝ 3,1 a través del mapa exponencial (por ejemplo, aplicar el mapa exponencial de todos los bivectores en Λ 2 ℝ 4 genera todas las rotaciones en ℝ 4 ). También pueden relacionarse con transformaciones generales en tres dimensiones a través de coordenadas homogéneas, que se pueden considerar como rotaciones modificadas en ℝ 4 .
Los bivectores surgen de sumas de todos los posibles productos de cuña entre pares de 4 vectores. Por tanto, tienen C4 2 = 6 componentes, y se puede escribir más generalmente como
Son los primeros bivectores que no pueden ser todos generados por productos de pares de vectores. Los que pueden son simples bivectores y las rotaciones que generan son simples rotaciones . Otras rotaciones en cuatro dimensiones son rotaciones dobles e isoclínicas y corresponden a bivectores no simples que no pueden ser generados por un producto de una sola cuña. [4]
6-vectores
Los 6-vectores son simplemente los vectores del espacio euclidiano de seis dimensiones. Al igual que otros vectores similares, son lineales , se pueden sumar, restar y escalar como en otras dimensiones. En lugar de usar letras del alfabeto, las dimensiones más altas generalmente usan sufijos para designar dimensiones, por lo que un vector general de seis dimensiones se puede escribir a = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) . Escritos así, los seis vectores básicos son (1, 0, 0, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0, 0, 0) , (0, 0, 0, 1, 0, 0) , (0, 0, 0, 0, 1, 0) y (0, 0, 0, 0, 0, 1) .
De los operadores vectoriales, el producto cruzado no se puede utilizar en seis dimensiones; en cambio, el producto de la cuña de dos 6 vectores da como resultado un bivector con 15 dimensiones. El producto escalar de dos vectores es
Se puede usar para encontrar el ángulo entre dos vectores y la norma ,
Esto se puede utilizar, por ejemplo, para calcular la diagonal de un cubo de 6 ; con una esquina en el origen, los bordes alineados con los ejes y la longitud del lado 1, la esquina opuesta podría estar en (1, 1, 1, 1, 1, 1) , cuya norma es
que es la longitud del vector y, por lo tanto, de la diagonal del 6-cubo.
Bivectores Gibbs
En 1901, JW Gibbs publicó un trabajo sobre vectores que incluía una cantidad de seis dimensiones que llamó bivector . Consistía en dos vectores tridimensionales en un solo objeto, que usó para describir elipses en tres dimensiones. Ha caído en desuso a medida que se han desarrollado otras técnicas, y el nombre bivector ahora está más estrechamente asociado con el álgebra geométrica. [5]
Notas al pie
- ^ Arthur Besier (1969). Perspectivas de la física moderna . McGraw-Hill.
- ^ Lounesto (2001), págs. 109-110
- ↑ Aharony (2000)
- ^ Lounesto (2001), págs. 86-89
- ^ Josiah Willard Gibbs, Edwin Bidwell Wilson (1901). Análisis vectorial: un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas y física . Prensa de la Universidad de Yale. pag. 481 ff .
Referencias
- Lounesto, Pertti (2001). Álgebras y espinores de Clifford . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-00551-7.
- Aharony, Ofer (2000). "Una breve revisión de las" pequeñas teorías de cuerdas " ". Gravedad clásica y cuántica . 17 (5). arXiv : hep-th / 9911147 . Código bibliográfico : 2000CQGra..17..929A . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 17/5/302 .