Demihexeract (6-demicube) | ||
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Proyección del polígono de Petrie | ||
Tipo | 6 politopos uniformes | |
Familia | demihipercubo | |
Símbolo de Schläfli | {3,3 3,1 } = h {4,3 4 } s {2 1,1,1,1,1 } | |
Diagramas de Coxeter | = =
| |
Símbolo de coxeter | 1 31 | |
5 caras | 44 | 12 {3 1,2,1 } 32 {3 4 } |
4 caras | 252 | 60 {3 1,1,1 } 192 {3 3 } |
Células | 640 | 160 {3 1,0,1 } 480 {3,3} |
Caras | 640 | {3} |
Bordes | 240 | |
Vértices | 32 | |
Figura de vértice | 5-simplex rectificado | |
Grupo de simetría | D 6 , [3 3,1,1 ] = [1 + , 4,3 4 ] [2 5 ] + | |
Polígono de Petrie | decágono | |
Propiedades | convexo |
En geometría , un 6- demicubo o demihexteract es un 6-politopo uniforme , construido a partir de un 6-cubo ( hexeracto ) con vértices alternos eliminados. Es parte de una familia dimensionalmente infinita de politopos uniformes llamados demihipercubos .
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular, etiquetándolo como HM 6 para un politopo de media medida de 6 dimensiones .
Coxeter nombró este politopo como 1 31 de su diagrama de Coxeter , con un anillo en una de las ramas de 1 longitud,. Se puede nombrar de manera similar por un símbolo Schläfli exponencial tridimensional o {3,3 3,1 }.
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un demihexeracto centrado en el origen son mitades alternas del hexeracto :
- (± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1)
con un número impar de signos más.
Como configuración
Esta matriz de configuración representa el 6-demicubo. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas, 4 caras y 5 caras. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en el 6-demicubo completo. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en el mismo. [1] [2]
Los números diagonales del vector f se derivan de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. [3]
D 6 | cara-k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | k -figura | notas | ||||
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A 4 | () | f 0 | 32 | 15 | 60 | 20 | 60 | 15 | 30 | 6 | 6 | r {3,3,3,3} | D 6 / A 4 = 32 * 6! / 5! = 32 | |
A 3 A 1 A 1 | {} | f 1 | 2 | 240 | 8 | 4 | 12 | 6 | 8 | 4 | 2 | {} x {3,3} | D 6 / A 3 A 1 A 1 = 32 * 6! / 4! / 2/2 = 240 | |
A 3 A 2 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 640 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | {3} v () | D 6 / A 3 A 2 = 32 * 6! / 4! / 3! = 640 | |
A 3 A 1 | h {4,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 160 | * | 3 | 0 | 3 | 0 | {3} | D 6 / UNA 3 UNA 1 = 32 * 6! / 4! / 2 = 160 | |
A 3 A 2 | {3,3} | 4 | 6 | 4 | * | 480 | 1 | 2 | 2 | 1 | {} v () | D 6 / A 3 A 2 = 32 * 6! / 4! / 3! = 480 | ||
D 4 A 1 | h {4,3,3} | f 4 | 8 | 24 | 32 | 8 | 8 | 60 | * | 2 | 0 | {} | D 6 / D 4 UNA 1 = 32 * 6! / 8/4! / 2 = 60 | |
A 4 | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 0 | 5 | * | 192 | 1 | 1 | D 6 / A 4 = 32 * 6! / 5! = 192 | |||
D 5 | h {4,3,3,3} | f 5 | dieciséis | 80 | 160 | 40 | 80 | 10 | dieciséis | 12 | * | () | D 6 / D 5 = 32 * 6! / 16/5! = 12 | |
A 5 | {3,3,3,3} | 6 | 15 | 20 | 0 | 15 | 0 | 6 | * | 32 | D 6 / A 5 = 32 * 6! / 6! = 32 |
Imagenes
Avión de Coxeter | B 6 | |
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Grafico | ||
Simetría diedro | [12/2] | |
Avión de Coxeter | D 6 | D 5 |
Grafico | ||
Simetría diedro | [10] | [8] |
Avión de Coxeter | D 4 | D 3 |
Grafico | ||
Simetría diedro | [6] | [4] |
Avión de Coxeter | A 5 | A 3 |
Grafico | ||
Simetría diedro | [6] | [4] |
Politopos relacionados
Hay 47 politopos uniformes con simetría D 6 , 31 son compartidos por la simetría B 6 y 16 son únicos:
Politopos D6 | |||||||||||
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h {4,3 4 } | h 2 {4,3 4 } | h 3 {4,3 4 } | h 4 {4,3 4 } | h 5 {4,3 4 } | h 2,3 {4,3 4 } | h 2,4 {4,3 4 } | h 2,5 {4,3 4 } | ||||
h 3,4 {4,3 4 } | h 3,5 {4,3 4 } | h 4,5 {4,3 4 } | h 2,3,4 {4,3 4 } | h 2,3,5 {4,3 4 } | h 2,4,5 {4,3 4 } | h 3,4,5 {4,3 4 } | h 2,3,4,5 {4,3 4 } |
El 6-demicubo, 1 31 es el tercero en una serie dimensional de politopos uniformes, expresados por Coxeter como la serie k 31 . La quinta figura es un panal euclidiano, 3 31 , y la final es un panal hiperbólico no compacto, 4 31 . Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|
Grupo Coxeter | A 3 A 1 | A 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Diagrama de Coxeter | ||||||
Simetría | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [3 1,3,1 ] | [3 2,3,1 ] | [3 3,3,1 ] | [3 4,3,1 ] |
Pedido | 48 | 720 | 23,040 | 2.903.040 | ∞ | |
Grafico | - | - | ||||
Nombre | −1 31 | 0 31 | 1 31 | 2 31 | 3 31 | 4 31 |
También es el segundo de una serie dimensional de politopos uniformes y panales, expresada por Coxeter como serie 1 3k . La cuarta cifra es el panal euclidiana 1 33 y el final es un panal hiperbólica no compacta, 1 34 .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | |||
---|---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Grupo Coxeter | A 3 A 1 | A 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Diagrama de Coxeter | ||||||
Simetría | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [3 1,3,1 ] | [3 2,3,1 ] | [[3 3,3,1 ]] | [3 4,3,1 ] |
Pedido | 48 | 720 | 23,040 | 2.903.040 | ∞ | |
Grafico | - | - | ||||
Nombre | 1 3, -1 | 1 30 | 1 31 | 1 32 | 1 33 | 1 34 |
Icosaedro sesgado
Coxeter identificó un subconjunto de 12 vértices que forman un icosaedro oblicuo regular {3, 5} con las mismas simetrías que el propio icosaedro, pero en ángulos diferentes. Lo llamó el icosaedro sesgado regular . [4] [5]
Referencias
- ^ Coxeter, Politopos regulares, sección 1.8 Configuraciones
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, p.117
- ^ Klitzing, Richard. "x3o3o * b3o3o3o - hax" .
- ^ Coxeter, HSM La belleza de la geometría: doce ensayos (Dover ed.). Publicaciones de Dover. págs. 450–451. ISBN 9780486409191.
- ^ Deza, Michael; Shtogrin, Mikhael (2000). "Incrustar los gráficos de mosaicos regulares y panales de estrellas en los gráficos de hipercubos y celosías cúbicas" . Estudios avanzados en matemáticas puras : 77. doi : 10.2969 / aspm / 02710073 . Consultado el 4 de abril de 2020 .
- HSM Coxeter :
- Coxeter, Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 , p.296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973, p.296, Tabla I (iii): Regular Polytopes, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 n1 )
- Klitzing, Richard. "Politopos (polipetos) uniformes 6D x3o3o * b3o3o3o - hax" .
enlaces externos
- Olshevsky, George. "Demihexeract" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- Glosario multidimensional
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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