Cúpula (geometría)
En geometría , una cúpula es un sólido formado al unir dos polígonos , uno (la base) con el doble de aristas que el otro, mediante una banda alterna de triángulos isósceles y rectángulos . Si los triángulos son equiláteros y los rectángulos son cuadrados , mientras que la base y su cara opuesta son polígonos regulares , las cúpulas triangular , cuadrada y pentagonal cuentan entre los sólidos de Johnson y pueden formarse tomando secciones del cuboctaedro , rombicuboctaedro , yrombicosidodecaedro , respectivamente.
Una cúpula puede verse como un prisma donde uno de los polígonos se ha colapsado por la mitad fusionando vértices alternos.
A una cúpula se le puede dar un símbolo Schläfli extendido { n } || t { n }, que representa un polígono regular {n} unido por un paralelo de su truncamiento , t {n} o {2n}.
Su doble contiene una forma que es una especie de soldadura entre medio de un n -sided trapezoedro y una 2n -sided pirámide .
Los tres poliedros mencionados anteriormente son las únicas cúpulas convexas no triviales con caras regulares: la " cúpula hexagonal " es una figura plana, y el prisma triangular podría considerarse una "cúpula" de grado 2 (la cúpula de un segmento de línea y un cuadrado). Sin embargo, las cúpulas de polígonos de mayor grado pueden construirse con caras triangulares y rectangulares irregulares .
La definición de la cúpula no requiere que la base (o el lado opuesto a la base, que se puede llamar la parte superior) sea un polígono regular, pero es conveniente considerar el caso donde la cúpula tiene su simetría máxima, C n v . En ese caso, la parte superior es un n -gon regular , mientras que la base es un 2 n -gon regular o un 2 n -gon que tiene dos longitudes de lados diferentes alternando y los mismos ángulos que un 2 n -gon regular . Es conveniente fijar el sistema de coordenadas de modo que la base se encuentre en el plano xy , con la parte superior en un plano paralelo al plano xy . El eje z es el neje-pliegue, y los planos de espejo pasan a través del eje- z y bisecan los lados de la base. También bisecan los lados o los ángulos del polígono superior, o ambos. (Si n es par, la mitad de los planos del espejo bisecan los lados del polígono superior y la mitad bisecan los ángulos, mientras que si n es impar, cada plano del espejo biseca un lado y un ángulo del polígono superior). pueden designarse V 1 a V 2 n , mientras que los vértices del polígono superior pueden designarse V 2 n +1 a V 3 n . Con estas convenciones, las coordenadas de los vértices se pueden escribir como:
