En geometría , un tetracontagon o tessaracontagon es un polígono de cuarenta lados o 40-gon. [1] [2] La suma de los ángulos interiores de cualquier tetracontagon es 6840 grados.
Tetracontagon regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 40 |
Símbolo de Schläfli | {40}, t {20}, tt {10}, ttt {5} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 40 ), orden 2 × 40 |
Ángulo interno ( grados ) | 171 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Tetracontagon regular
Un tetracontagon regular está representado por el símbolo de Schlafli {40} y también se puede construir como un icosagon truncado , t {20}, que alterna 2 tipos de aristas . Además, también se puede construir como un decágono truncado dos veces , tt {10}, o un pentágono truncado tres veces , ttt {5}.
Un ángulo interior en un tetracontagon regular es de 171 °, lo que significa que un ángulo exterior sería de 9 °.
El área de un tetracontagon regular es (con t = longitud del borde )
y su radio interno es
El factor es una raíz de la ecuación óctica .
El circunradio de un tetracontagon regular es
Como 40 = 2 3 × 5, un tetracontagon regular se puede construir usando un compás y una regla . [3] Como icoságono truncado , puede construirse mediante una bisección de borde de un icoságono regular. Esto significa que los valores de y puede expresarse en radicales de la siguiente manera:
Construcción de un tetracontagon regular
Circuncirculo se da
- Construya primero la longitud lateral JE 1 de un pentágono .
- Transfiera esto en la circunferencia, surge la intersección E 39 .
- Conecte el punto E 39 con el punto central M, surge el ángulo E 39 ME 1 con 72 °.
- Reducir a la mitad el ángulo E 39 ME 1 , surge la intersección E 40 y el ángulo E 40 ME 1 con 9 °.
- Conecte el punto E 1 con el punto E 40 , surge la primera longitud del lado a del tetracontagon.
- Finalmente, transfiere el segmento E 1 E 40 (longitud lateral a ) repetidamente en sentido antihorario en el círculo circunferencial hasta que surge un tetracontagon regular.
La proporción áurea
Se da la longitud del lado
- Dibuja un segmento E 40 E 1 cuya longitud sea la longitud del lado dada a del tetracontagon.
- Extienda el segmento E 40 E 1 más de dos veces.
- Dibuja cada uno un arco circular alrededor de los puntos E 1 y E 40 , surgen las intersecciones A y B.
- Dibuja una línea recta vertical desde el punto B hasta el punto A.
- Dibuja una línea paralela también el segmento AB desde el punto E 1 al arco circular, surge la intersección D.
- Dibuja un arco circular alrededor del punto C con el radio CD hasta que en la extensión de la longitud del lado, surge la intersección F.
- Dibuja un arco circular alrededor del punto E 40 con el radio E 40 F hasta que a la recta vertical, surge la intersección G y el ángulo E 40 GE 1 con 36 °.
- Dibujar un arco circular alrededor del punto G con radio E 40 G hasta que a la recta vertical, surge la intersección H y el ángulo E 40 HE 1 con 18 °.
- Dibujar un arco de círculo alrededor del punto H con radio E 40 H hasta que a la recta vertical, surge el punto central M del círculo circunferencial y el ángulo E 40 ME 1 con 9 °.
- Dibuja alrededor del punto central M con radio E 40 M la circunferencia del tetracontagon.
- Finalmente, transfiera el segmento E 40 E 1 (longitud lateral a ) repetidamente en sentido antihorario en el círculo circunferencial hasta que surja un tetracontagon regular.
La proporción áurea
Simetría
El tetracontagon regular tiene simetría diédrica Dih 40 , orden 80, representada por 40 líneas de reflexión. Dih 40 tiene 7 subgrupos diedros: (Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 ) y (Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 , Dih 1 ). También tiene ocho simetrías cíclicas más como subgrupos: (Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 ) y (Z 8 , Z 4 , Z 2 , Z 1 ), donde Z n representa la simetría rotacional π / n radianes.
John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [4] Da d (diagonal) con líneas de espejo a través de vértices, p con líneas de espejo a través de aristas (perpendiculares), i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional. a1 etiqueta sin simetría.
Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir tetracontagones irregulares. Solo el subgrupo g40 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Disección
regular | Isotoxal |
Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. Estos mosaicos están contenidos como subconjuntos de vértices, aristas y caras en proyecciones ortogonales m -cubes [5] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el tetracontagon regular , m = 20, y se puede dividir en 190: 10 cuadrados y 9 conjuntos de 20 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 20 .
Tetracontagrama
Un tetracontagrama es un polígono en estrella de 40 lados . Hay siete formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {40/3}, {40/7}, {40/9}, {40/11}, {40/13}, {40/17} y {40/19 } y 12 figuras de estrellas compuestas con la misma configuración de vértice .
Imagen | {40/3} | {40/7} | {40/9} | {40/11} | {40/13} | {40/17} | {40/19} |
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Angulo interior | 153 ° | 117 ° | 99 ° | 81 ° | 63 ° | 27 ° | 9 ° |
Imagen | {40/2} = 2 {20} | {40/4} = 4 {10} | {40/5} = 5 {8} | {40/6} = 2 {20/3} | {40/8} = 8 {5} | {40/10} = 10 {4} |
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Angulo interior | 162 ° | 144 ° | 135 ° | 126 ° | 108 ° | 90 ° |
Imagen | {40/12} = 4 {10/3} | {40/14} = 2 {20/7} | {40/15} = 5 {8/3} | {40/16} = 8 {5/2} | {40/18} = 2 {20/9} | {40/20} = 20 {2} |
Angulo interior | 72 ° | 54 ° | 45 ° | 36 ° | 18 ° | 0 ° |
Muchos tetracontagramas isogonales también se pueden construir como truncamientos más profundos del icoságono regular {20} y los icosagramas {20/3}, {20/7} y {20/9}. Estos también crean cuatro cuasitruncaciones: t {20/11} = {40/11}, t {20/13} = {40/13}, t {20/17} = {40/17} y t {20 / 19} = {40/19}. Algunos de los tetracontagramas isogonales se muestran a continuación, como una secuencia de truncamiento con puntos finales t {20} = {40} y t {20/19} = {40/19}. [6]
t {20} = {40} | |||||
t {20/19} = {40/19} |
Referencias
- ^ Gorini, Catherine A. (2009), Manual de hechos sobre geometría de archivos , Infobase Publishing, p. 165, ISBN 9781438109572.
- ^ Los nuevos elementos de las matemáticas: álgebra y geometría de Charles Sanders Peirce (1976), p.298
- ^ Polígono construible
- ^ Las simetrías de las cosas , Capítulo 20
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
- ^ El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la conferencia conmemorativa de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Tetracontagon" . MathWorld .
- Nombrar polígonos y poliedros
- tessaracontagon