En topología , una rama de las matemáticas , un grupo de cuerdas es un grupo de dimensión infinita.introducido por Stolz (1996) como un-Cubierta conectada de un grupo de giro . Un colector de cuerdas es un colector con un levantamiento de su paquete de marco a un paquete de grupo de cuerdas. Esto significa que, además de poder definir holonomías a lo largo de trayectorias, también se pueden definir holonomías para superficies que van entre cadenas. Hay una breve secuencia exacta de grupos topológicos.
dónde es un espacio Eilenberg – MacLane yes un grupo de giro. El grupo de cuerdas es una entrada en la torre Whitehead (dual a la noción de torre Postnikov ) para el grupo ortogonal :
Se obtiene matando al grupo de homotopía para, de la misma manera que se obtiene de matando . La variedad resultante no puede ser ningún grupo de Lie de dimensión finita , ya que todos los grupos de Lie compactos de dimensión finita tienen un. El grupo de las cinco marcas sigue, matando.
De manera más general, la construcción de la torre Postnikov a través de secuencias breves y exactas que comienzan con espacios de Eilenberg-MacLane se puede aplicar a cualquier grupo de Lie G , dando el grupo de cuerdas String ( G ).
Intuición para el grupo de cuerdas
La relevancia del espacio Eilenberg-Maclane radica en el hecho de que existen las equivalencias de homotopía
para el espacio de clasificación y el hecho . Tenga en cuenta que debido a que el grupo de giro complejo es una extensión de grupo
el grupo de cuerdas se puede considerar como una extensión de grupo de espín complejo "superior", en el sentido de la teoría de grupos superior, ya que el espacioes un ejemplo de un grupo superior. Se puede pensar en la realización topológica del grupoide cuyo objeto es un solo punto y cuyos morfismos son el grupo . Tenga en cuenta que el grado homotópico de es , lo que significa que su homotopía se concentra en grados , porque proviene de la fibra homotopía del mapa
de la torre Whitehead cuyo cokernel homotopía es . Esto se debe a que la fibra de homotopía reduce el grado en.
Entendiendo la geometría
La geometría de los paquetes de cuerdas requiere la comprensión de múltiples construcciones en la teoría de la homotopía, [1] pero esencialmente se reducen a comprender qué-los paquetes son, y cómo se comportan estas extensiones de grupos superiores. A saber,-paquetes en un espacio están representados geométricamente como gerbios de haz, ya que cualquier-el paquete se puede realizar como la fibra de homotopía de un mapa que da un cuadrado de homotopía
dónde . Luego, un paquete de cuerdas debe mapear a un paquete de giro cual es -equivariante, de forma análoga a cómo los paquetes de espín se asignan de manera equivariante al paquete de tramas.
Grupo Fivebrane y grupos superiores
El grupo de las cinco marcas puede entenderse de manera similar [2] matando el grupo del grupo de cuerdas utilizando la torre Whitehead. Luego se puede entender nuevamente usando una secuencia exacta de grupos superiores.
dando una presentación de en términos de una extensión iterada, es decir, una extensión por por . Tenga en cuenta que el mapa de la derecha es de la torre Whitehead y el mapa de la izquierda es la fibra homotópica.
Ver también
- Gerbe
- Grupo N (teoría de categorías)
- Cohomología elíptica
- Bordismo de cuerdas
Referencias
- ^ Jurco, Branislav (agosto de 2011). "Gerbes de paquete de módulos cruzados; clasificación, grupo de cuerdas y geometría diferencial" . Revista Internacional de Métodos Geométricos en Física Moderna . 08 (05): 1079–1095. arXiv : matemáticas / 0510078 . doi : 10.1142 / S0219887811005555 . ISSN 0219-8878 .
- ^ Sati, Hisham; Schreiber, Urs; Stasheff, Jim (noviembre de 2009). "Estructuras de Fivebrane" . Revisiones en Física Matemática . 21 (10): 1197-1240. doi : 10.1142 / S0129055X09003840 . ISSN 0129-055X .
- Henriques, André G .; Douglas, Christopher L .; Hill, Michael A. (2008), Obstrucciones homológicas a la orientación de las cuerdas , arXiv : 0810.2131 , Bibcode : 2008arXiv0810.2131D
- Wockel, Christoph; Sachse, Christoph; Nikolaus, Thomas (2011), Un modelo suave para el grupo de cuerdas , arXiv : 1104.4288 , Bibcode : 2011arXiv1104.4288N
- Stolz, Stephan (1996), "Una conjetura sobre la curvatura de Ricci positiva y el género Witten", Mathematische Annalen , 304 (4): 785–800, doi : 10.1007 / BF01446319 , ISSN 0025-5831 , MR 1380455
- Stolz, Stephan; Teichner, Peter (2004), "¿Qué es un objeto elíptico?" (PDF) , Topología, geometría y teoría cuántica de campos , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 308 , Cambridge University Press , págs. 247–343, doi : 10.1017 / CBO9780511526398.013 , MR 2079378
enlaces externos
- Baez, J. (2007), Teoría del calibre superior y el grupo de cuerdas
- De grupos de bucles a 2 grupos : proporciona una caracterización de String (n) como un grupo de 2
- grupo de cadenas en nLab
- Torre Whitehead en nLab
- ¿Qué es un objeto elíptico?