Curva
En matemáticas , una curva (también llamada línea curva en textos antiguos) es un objeto similar a una línea , pero que no tiene por qué ser recto .
Intuitivamente, se puede pensar en una curva como el rastro dejado por un punto en movimiento . Esta es la definición que apareció hace más de 2000 años en los Elementos de Euclides : "La línea [curva] [a] es [...] la primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin ancho ni profundidad, y no es otra cosa que el fluir o correr del punto que […] dejará de su movimiento imaginario algún vestigio de largo, exento de cualquier ancho ". [1]
Esta definición de curva se ha formalizado en las matemáticas modernas como: Una curva es la imagen de un intervalo a un espacio topológico por una función continua . En algunos contextos, la función que define la curva se llama parametrización y la curva es una curva paramétrica . En este artículo, estas curvas a veces se denominan curvas topológicas para distinguirlas de las curvas más restringidas, como las curvas diferenciables . Esta definición abarca la mayoría de las curvas que se estudian en matemáticas; excepciones notables son las curvas de nivel (que son unionesde curvas y puntos aislados) y curvas algebraicas (ver más abajo). Las curvas de nivel y las curvas algebraicas a veces se denominan curvas implícitas , ya que generalmente se definen mediante ecuaciones implícitas .
Sin embargo, la clase de curvas topológicas es muy amplia y contiene algunas curvas que no se ven como se podría esperar de una curva, o incluso que no se pueden dibujar. Este es el caso de las curvas que llenan el espacio y las curvas fractales . Para garantizar una mayor regularidad, a menudo se supone que la función que define una curva es diferenciable , y entonces se dice que la curva es una curva diferenciable .
Una curva algebraica plana es el conjunto cero de un polinomio en dos indeterminados . De manera más general, una curva algebraica es el conjunto cero de un conjunto finito de polinomios, que satisface la condición adicional de ser una variedad algebraica de dimensión uno. Si los coeficientes de los polinomios pertenecen a un campo k , se dice que la curva está definida sobre k . En el caso común de una curva algebraica real , donde k es el campo de números reales , una curva algebraica es una unión finita de curvas topológicas. CuándoSe consideran ceros complejos , uno tiene una curva algebraica compleja , que, desde el punto de vista topológico , no es una curva, sino una superficie , y a menudo se denomina superficie de Riemann . Aunque no son curvas en el sentido común, las curvas algebraicas definidas sobre otros campos han sido ampliamente estudiadas. En particular, las curvas algebraicas sobre un campo finito se utilizan ampliamente en la criptografía moderna .
El interés por las curvas comenzó mucho antes de que fueran objeto de estudio matemático. Esto se puede ver en numerosos ejemplos de su uso decorativo en el arte y en objetos cotidianos que se remontan a la prehistoria. [2] Las curvas, o al menos sus representaciones gráficas, son fáciles de crear, por ejemplo, con un palo en la arena de una playa.
