En matemáticas , geometría real algebraica es la sub-rama de la geometría algebraica estudiar verdadero conjuntos algebraicas , es decir, de número real soluciones a las ecuaciones algebraicas con coeficientes de números reales, y las asignaciones de entre ellas (en particular, las asignaciones polinómicas reales ).
La geometría semialgebraica es el estudio de conjuntos semialgebraicos , es decir, soluciones de números reales a desigualdades algebraicas con coeficientes de números reales y mapeos entre ellos. Los mapeos más naturales entre conjuntos semialgebraicos son mapeos semialgebraicos , es decir, mapeos cuyos gráficos son conjuntos semialgebraicos.
Terminología
Hoy en día, las palabras 'geometría semialgebraica' y 'geometría algebraica real' se utilizan como sinónimos, porque los conjuntos algebraicos reales no pueden estudiarse seriamente sin el uso de conjuntos semialgebraicos. Por ejemplo, una proyección de un conjunto algebraico real a lo largo de un eje de coordenadas no necesita ser un conjunto algebraico real, pero siempre es un conjunto semialgebraico: este es el teorema de Tarski-Seidenberg . [1] [2] Los campos relacionados son la teoría mínima y la geometría analítica real .
Ejemplos: Las curvas planas reales son ejemplos de conjuntos algebraicos reales y los poliedros son ejemplos de conjuntos semialgebraicos. Reales funciones algebraicas y funciones de Nash son ejemplos de asignaciones semialgebraicos. Los mapeos polinomiales por partes (ver la conjetura de Pierce-Birkhoff ) también son mapeos semialgebraicos.
La geometría algebraica real computacional se ocupa de los aspectos algorítmicos de la geometría algebraica (y semialgebraica) real. El algoritmo principal es la descomposición algebraica cilíndrica . Se utiliza para cortar conjuntos semialgebraicos en bonitas piezas y calcular sus proyecciones.
El álgebra real es la parte del álgebra que es relevante para la geometría algebraica (y semialgebraica) real. Se ocupa principalmente del estudio de campos ordenados y anillos ordenados (en particular campos cerrados reales ) y sus aplicaciones al estudio de polinomios positivos y sumas de cuadrados de polinomios . (Véase el problema 17 de Hilbert y Positivestellensatz de Krivine .) La relación del álgebra real con la geometría algebraica real es similar a la relación del álgebra conmutativa con la geometría algebraica compleja . Los campos relacionados son la teoría de problemas de momento , optimización convexa , teoría de formas cuadráticas , teoría de valoración y teoría de modelos .
Cronología del álgebra real y la geometría algebraica real
- 1826 Algoritmo de Fourier para sistemas de desigualdades lineales. [3] Redescubierto por Lloyd Dines en 1919. [4] y Theodore Motzkin en 1936 [5]
- Teorema de Sturm de 1835 sobre el conteo de raíces reales [6]
- 1856 Teorema de Hermite sobre el conteo de raíces reales. [7]
- 1876 Teorema de la curva de Harnack . [8] (Este límite en el número de componentes se extendió posteriormente a todos los números Betti de todos los conjuntos algebraicos reales [9] [10] [11] y todos los conjuntos semialgebraicos. [12] )
- 1888 Teorema de Hilbert sobre cuarticos ternarios. [13]
- 1900 Problemas de Hilbert (especialmente los problemas 16 y 17 )
- 1902 Lema de Farkas [14] (Puede reformularse como lineal positivstellensatz.)
- 1914 Annibale Comessatti demostró que no todas las superficies algebraicas reales son biracionales para[15]
- 1916 Conjetura de Fejér sobre polinomios trigonométricos no negativos. [16] (Resuelto por Frigyes Riesz . [17] )
- 1927 Solución de Emil Artin del decimoséptimo problema de Hilbert [18]
- Teorema de Krull-Baer de 1927 [19] [20] (conexión entre pedidos y valoraciones)
- 1928 Teorema de Pólya sobre polinomios positivos en un simplex [21]
- 1929 BL van der Waerden esboza una prueba de que los conjuntos algebraicos y semialgebraicos reales son triangularizables, [22] pero no se han desarrollado las herramientas necesarias para hacer que el argumento sea riguroso.
- 1931 Alfred Tarski 's verdadera eliminación de cuantificadores . [23] Mejorado y popularizado por Abraham Seidenberg en 1954. [24] (Ambos usan el teorema de Sturm ).
- 1936 Herbert Seifert demostró que cada subvariedad suave cerrada de con paquete normal trivial, se puede isótopo a un componente de un subconjunto algebraico real no singular de que es una intersección completa [25] (de la conclusión de este teorema no se puede eliminar la palabra "componente" [26] ).
- 1940 Teorema de representación de Marshall Stone para anillos parcialmente ordenados. [27] Mejorado por Richard Kadison en 1951 [28] y Donald Dubois en 1967 [29] (teorema de representación de Kadison-Dubois). Mejorado aún más por Mihai Putinar en 1993 [30] y Jacobi en 2001 [31] (teorema de representación de Putinar-Jacobi).
- 1952 John Nash demostró que toda variedad suave cerrada es difeomórfica de un componente no singular de un conjunto algebraico real. [32]
- 1956 Se formula la conjetura de Pierce-Birkhoff . [33] (Resuelto en dimensiones ≤ 2. [34] )
- 1964 Nullstellensatz y Positivestellensatz de Krivine . [35] Redescubierto y popularizado por Stengle en 1974 [36] (Krivine usa la eliminación del cuantificador real mientras que Stengle usa el teorema del homomorfismo de Lang. [37] )
- 1964 Conjuntos semi-analíticos triangulados de Lojasiewicz [38]
- 1964 Heisuke Hironaka demostró la resolución del teorema de la singularidad [39]
- 1964 Hassler Whitney demostró que toda variedad analítica admite una estratificación que satisface las condiciones de Whitney . [40]
- 1967 Theodore Motzkin encuentra un polinomio positivo que no es una suma de cuadrados de polinomios . [41]
- 1973 Alberto Tognoli demostró que toda variedad suave cerrada es difeomórfica de un conjunto algebraico real no singular. [42]
- 1975 George E. Collins descubre el algoritmo de descomposición algebraica cilíndrico , que mejora la eliminación del cuantificador real de Tarski y permite implementarlo en una computadora. [43]
- 1973 Jean-Louis Verdier demostró que todo conjunto subanalítico admite una estratificación con la condición (w). [44]
- 1979 Michel Coste y Marie-Françoise Roy descubren el espectro real de un anillo conmutativo. [45]
- 1980 Oleg Viro introdujo la técnica de "trabajo de parches" y la utilizó para clasificar curvas algebraicas reales de bajo grado. [46] Más tarde, Ilya Itenberg y Viro lo usaron para producir contraejemplos a la conjetura de Ragsdale , [47] [48] y Grigory Mikhalkin lo aplicó a la geometría tropical para el conteo de curvas. [49]
- 1980 Selman Akbulut y Henry C. King dieron una caracterización topológica de conjuntos algebraicos reales con singularidades aisladas y conjuntos algebraicos reales no singulares caracterizados topológicamente (no necesariamente compactos) [50]
- 1980 Akbulut y King demostraron que cada nudo en es el vínculo de un conjunto algebraico real con singularidad aislada en [51]
- 1981 Akbulut y King demostraron que cada colector PL compacto es PL homeomorfo a un conjunto algebraico real. [52] [53] [54]
- 1983 Akbulut y King introdujeron las "Torres de Resolución Topológica" como modelos topológicos de conjuntos algebraicos reales, de esto obtuvieron nuevos invariantes topológicos de conjuntos algebraicos reales y caracterizaron topológicamente todos los conjuntos algebraicos tridimensionales. [55] Estos invariantes luego generalizados por Michel Coste y Krzysztof Kurdyka [56] , así como por Clint McCrory y Adam Parusiński. [57]
- 1984 Teorema de Ludwig Bröcker sobre la generación mínima de conjuntos semialgebraicos abiertos básicos [58] (mejorado y ampliado a conjuntos semialgebraicos cerrados básicos por Scheiderer. [59] )
- 1984 Benedetti y Dedo demostraron que no toda variedad suave cerrada es difeomórfica de un conjunto algebraico real no singular totalmente algebraico (totalmente algebraico significa que todos sus ciclos de homología Z / 2Z están representados por subconjuntos algebraicos reales). [60]
- 1991 Akbulut y King demostraron que toda variedad suave cerrada es homeomorfa a un conjunto algebraico real totalmente algebraico. [61]
- 1991 Solución de Schmüdgen del problema del momento multidimensional para conjuntos semialgebraicos compactos y positivstellensatz estricto relacionado. [62] Prueba algebraica encontrada por Wörmann. [63] Implica la versión de Reznick del teorema de Artin con denominadores uniformes. [64]
- 1992 Akbulut y King demostraron versiones ambientales del teorema de Nash-Tognoli: cada subvarietal suave cerrada de R n es isotópica a los puntos no singulares (componente) de un subconjunto algebraico real de R n , y extendieron este resultado a subvariedades sumergidas de R n . [65] [66]
- 1992 Benedetti y Marin demostraron que todos los M compactos cerrados y lisos de 3 colectores se pueden obtener depor una secuencia de subidas y bajadas a lo largo de centros lisos, y que M es homeomórfico a un triple racional algebraico real afín posiblemente singular [67]
- 1997 Bierstone y Milman demostraron un teorema de resolución canónica de singularidades [68]
- 1997 Mikhalkin demostró que cada colector N liso cerrado se puede obtener de por una secuencia de altibajos topológicos [69]
- 1998 János Kollár demostró que no todas las variedades tridimensionales cerradas son una triple real proyectiva que es biracional a RP 3 [70]
- 2000 Principio local-global de Scheiderer y extensión no estricta relacionada del positivstellensatz de Schmüdgen en dimensiones ≤ 2. [71] [72] [73]
- 2000 János Kollár demostró que cada colector 3 liso cerrado es la parte real de un colector complejo compacto que se puede obtener depor una secuencia de explosiones y derribos reales. [74]
- 2003 Welschinger introduce un invariante para contar curvas racionales reales [75]
- 2005 Akbulut y King demostraron que no todos los subconjuntos algebraicos reales no singulares de RP n son suavemente isotópicos a la parte real de un subconjunto algebraico complejo no singular de CP n [76] [77]
Referencias
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enlaces externos
- El papel de los problemas de Hilbert en la geometría algebraica real (PostScript)
- Servidor de preimpresión de geometría real algebraica y analítica