En matemáticas , el producto simétrico de n veces una curva algebraica C es el espacio del cociente del producto cartesiano de n veces
- C × C × ... × C
o C n por la acción de grupo del grupo simétrico S n sobre n letras permutando los factores. Existe como un suave variedad algebraica denotado por Σ n C . Si C es una superficie de Riemann compacta , Σ n C es, por tanto, una variedad compleja . Su interés en relación con la geometría clásica de curvas es que sus puntos corresponden a divisores efectivos en C de grado n , es decir, sumas formales de puntos con coeficientes enteros no negativos.
Para C, la línea proyectiva (digamos la esfera de Riemann ℂ ∪ {∞} ≈ S 2 ), su enésimo producto simétrico Σ n C se puede identificar con el espacio proyectivo complejo ℂℙ n de dimensión n .
Si G tiene género g ≥ 1 entonces el Σ n C están estrechamente relacionados con la variedad jacobiana J de C . Más exactamente para n tomando valores hasta g , forman una secuencia de aproximaciones a J desde abajo: sus imágenes en J debajo de la suma de J (ver theta-divisor ) tienen dimensión ny llenan J , con algunas identificaciones causadas por divisores especiales .
Para g = n tenemos Σ g C en realidad biracionalmente equivalente a J ; el jacobiano es una explosión del producto simétrico. Eso significa que a nivel de campos de función es posible construir J tomando copias linealmente disjuntas del campo de función de C , y dentro de su composición tomando el subcampo fijo del grupo simétrico. Esta es la fuente de la técnica de André Weil de construir J como una variedad abstracta de 'datos biracionales'. Ahora se prefieren otras formas de construir J , por ejemplo, como una variedad Picard [1], pero esto significa que para cualquier función racional F en C
- F ( x 1 ) + ... + F ( x g )
tiene sentido como una función racional en J , de los x i permanecer lejos de los polos de F .
Para n > g, el mapeo de Σ n C a J mediante la adición de fibras sobre J ; cuando n es lo suficientemente grande (alrededor del doble de g ), se convierte en un paquete de espacio proyectivo (el paquete de Picard ). Ha sido estudiado en detalle, por ejemplo, por Kempf y Mukai.
Números de Betti y la característica de Euler del producto simétrico
Deje C ser una curva proyectiva suave de género g sobre los números complejos C . Los números Betti b i (Σ n C) de los productos simétricos Σ n C para todo n = 0, 1, 2, ... están dados por la función generadora
y sus características de Euler e (Σ n C) están dadas por la función generadora
Aquí hemos establecido u = -1 e y = - p en la fórmula anterior.
Notas
- ↑ Anderson (2002) proporcionó una construcción elemental como líneas de matrices.
Referencias
- Macdonald, IG (1962), "Productos simétricos de una curva algebraica", Topología , 1 (4): 319–343, doi : 10.1016 / 0040-9383 (62) 90019-8 , MR 0151460
- Anderson, Greg W. (2002), "Abeliants and their application to an elementary construction of jacobians", Advances in Mathematics , 172 (2): 169-205, arXiv : math / 0112321 , doi : 10.1016 / S0001-8708 (02 ) 00024-5 , MR 1942403