Una afinación diatónica regular es cualquier escala musical que consta de " tonos " (T) y " semitonos " (S) dispuestos en cualquier rotación de la secuencia TTSTTTS que se suma a la octava con todas las T del mismo tamaño y todas las S del mismo tamaño. siendo del mismo tamaño, siendo las 'S más pequeñas que las' T '. En tal afinación, las notas se conectan juntas en una cadena de siete quintos, todas del mismo tamaño (TTTS o una permutación de eso) lo que lo convierte en un temperamento lineal con el quinto templado como generador.
Descripción general
En las escalas diatónicas ordinarias , las T aquí son tonos y las S son semitonos que son la mitad, o aproximadamente la mitad del tamaño del tono. Pero en las afinaciones diatónicas regulares más generales, los dos pasos pueden tener cualquier relación dentro del rango entre T = 171.43 (S = T) y T = 240 (S = 0) centavos (quinto entre 685.71 y 720). Tenga en cuenta que las afinaciones diatónicas regulares no se limitan a las notas de la escala diatónica que las define.
Se pueden determinar los centavos correspondientes de S, T y el quinto, dado uno de los valores:
- S = (1200- (T * 5)) / 2
- T = (1200- (S * 2)) / 5
- El quinto = (T + 1200) / 2
Cuando las S se reducen a cero (T = 240 centavos) el resultado es TTTTT o un temperamento igual de cinco tonos . A medida que los semitonos se hacen más grandes, eventualmente los pasos son todos del mismo tamaño y el resultado es un temperamento de siete tonos iguales (S = T = 171.43). Estos dos puntos finales no se incluyen como afinaciones diatónicas regulares, porque para ser regular, el patrón de pasos grandes y pequeños debe conservarse, pero todo lo que se encuentra en el medio está incluido, por pequeños que sean los semitonos o por muy similares que sean a los tonos completos. .
"Regular" aquí se entiende en el sentido de un mapeo de diatónico pitagórico tal que se conservan todas las relaciones de intervalo . [1] Por ejemplo, en todas las afinaciones diatónicas regulares, al igual que para la diatónica pitagórica:
- Las notas están conectadas entre sí a través de una cadena de seis quintos reducidos a la octava, o equivalentemente, a través de quintos ascendentes y cuartos descendentes (por ejemplo, F, C, G, D, A, E, B, en Do mayor).
- Una cadena de dos quintos de igual tamaño (reducidos a la octava) genera un tono (por ejemplo, CGD)
- Una cadena de cinco cuartos genera un semitono de la misma manera (por ejemplo, E, A, D, G, C, F)
- Una cadena de cuatro quintos de igual tamaño (por ejemplo, C, G, D, A, E) genera un tercio mayor que consta de dos tonos completos
- Una cadena de tres cuartos genera un tercio menor (A, D, G, C)
y así; en todos esos ejemplos el resultado se reduce a la octava.
Si uno continúa aumentando el tamaño de la S aún más, de modo que sea más grande que la T, se obtienen escalas con dos pasos grandes y cinco pasos pequeños, y finalmente, cuando todas las T desaparecen, el resultado es SS, por lo que una división de tritono de la octava. Sin embargo, estas escalas no se incluyen como afinaciones diatónicas regulares.
Todas las afinaciones diatónicas regulares son también temperamentos lineales , es decir, temperamentos regulares con dos generadores: la octava y la quinta templada. Se puede usar el cuarto templado como un generador alternativo (por ejemplo, como BEADGCF, cuartos ascendentes, reducido a la octava), pero el quinto templado es la opción más habitual.
Todas las afinaciones diatónicas regulares también son colecciones generadas (también llamadas Momentos de simetría) y la cadena de quintas se puede continuar en cualquier dirección para obtener un sistema de doce tonos FCGDAEBF # C # G # D # A # donde el intervalo F # -G es el mismo que B - C etc., otro momento de simetría con dos tamaños de intervalo. Una cadena de siete quintos genera un semitono cromático, por ejemplo de F a F # y el patrón de semitonos cromáticos y diatónicos es CDCDDCDCDCDD o una permutación del mismo donde C es el semitono cromático y D es el semitono diatónico, por ejemplo, de E a F entre notas con cinco pasos de diferencia en el ciclo. Aquí, el sistema de siete iguales es el límite cuando el semitono cromático tiende a cero, y el sistema de cinco tonos en el límite cuando el semitono diatónico tiende a cero.
Rango de reconocibilidad
Las afinaciones diatónicas regulares incluyen todos los temperamentos lineales dentro del "Rango de reconocibilidad" de Easley Blackwood en su La estructura de afinaciones diatónicas reconocibles [2] para afinaciones diatónicas con
- el quinto templado entre 4/7 y 3/5 de octava;
- los segundos mayores y menores ambos positivos;
- el segundo mayor más grande que el segundo menor.
Sin embargo, su "rango de reconocibilidad" es más restrictivo que el "ajuste diatónico regular". Por ejemplo, requiere que el semitono diatónico tenga al menos 25 centavos de tamaño. Consulte [3] para obtener un resumen.
Regiones significativas dentro del rango
Cuando las quintas son un poco más planas que los 700 centavos del subconjunto diatónico de 12 tonos de temperamento igual , entonces estamos en la región de las afinaciones históricas de tono medio , que distribuyen o atenúan la coma sintónica . Incluyen
- 1/3 coma significa uno: logra tercios menores puros 6/5; el quinto es 694.786 centavos; muy aproximado por la escala diatónica en 19 tonos de temperamento igual
- 1/4 coma significada : logra tercios mayores puros 5/4 (386,313 centavos); el quinto es 696,6 centavos; muy aproximado en 31 tonos de temperamento igual
- 1/6 coma significa uno [4] - logra un tritono diatónico racional 45/32; el quinto es 698.371 centavos; muy aproximado en 55 tonos de temperamento igual
- 1/11 coma significa uno - el quinto es 699,99988 centavos; casi indistinguible del temperamento igual de 12 tonos
Cuando las quintas son exactamente 3/2, o alrededor de 702 centavos, el resultado es la afinación diatónica pitagórica .
Para quintas ligeramente más estrechas que 3/2, el resultado es un temperamento cismático , donde el temperamento se mide en términos de una fracción de un schisma , la cantidad por la cual una cadena de ocho quintas reducida a una octava es más aguda que la sexta menor. 8/5. Entonces, por ejemplo, un temperamento de schisma de 1/8 logrará un puro 8/5 en una cadena ascendente de ocho quintos. 53 tonos de temperamento igual logra una buena aproximación al temperamento cismático .
Alrededor de 703,4-705,0 centavos, con quintos moderados levemente en la dirección amplia, el resultado son tercios mayores con proporciones cercanas a 14/11 (417,508 centavos) y tercios menores alrededor de 13/11 (289,210 centavos).
A 705.882 centavos, con quintas templadas en la dirección ancha por 3.929 centavos, el resultado es la escala diatónica en 17 tonos de temperamento igual . Más allá de este punto, los tercios mayores y menores se aproximan a las proporciones simples de números con factores primos 2-3-7, como el 9/7 o el tercio mayor septimal (435.084 centavos) y el 7/6 o el tercio menor septimal (266.871 centavos). . Al mismo tiempo, los tonos regulares se aproximan cada vez más a un tono grande de 8/7 (231.174 cents), y los séptimos menores regulares a la "séptima armónica" en la proporción simple de 7/4 (968.826 cents). Este rango septimal se extiende a alrededor de 711.111 centavos o 27 tonos de temperamento igual , o un poco más.
Eso deja los dos extremos, lo que podríamos llamar:
- el rango "inframeantone" con quintas entre el límite inferior para el diatónico regular de 7 tonos de temperamento igual (685.7143 centavos) y el rango de significados históricos que comienzan alrededor de 1/3 de coma o 19 tonos de temperamento igual (694.786 centavos), y con el "semitonos" diatónicos que se acercan al tamaño del tono completo diatónico
- el rango "ultraseptimal" desde alrededor de 712 centavos hasta el límite superior del diatónico regular a 720 centavos o temperamento de 5 tonos iguales , y con semitonos diatónicos muy pequeños
Las escalas diatónicas construidas con temperamentos iguales pueden tener quintas más anchas o más estrechas que solo 3/2. Aquí están algunos ejemplos:
- 15 , 17 , 22 , tienen quintos más anchos que solo 3/2
- 12 (y sus múltiplos), 19 , 31 , 53 , tienen quintos más estrechos que solo 3/2
Temperamento sintónico y timbre
El término temperamento sintónico describe la combinación de
- el continuo de afinaciones en el que la quinta perfecta templada (P5) es el generador y la octava es el período;
- Secuencias de comas que comienzan con la coma sintónica (es decir, en las que la coma sintónica se atenúa a cero, lo que hace que la tercera mayor generada sea tan ancha como dos segundos mayores generados); y
- el "rango de sintonía" de los templados P5 en el que el segundo menor generado no es mayor que el segundo mayor generado, ni menor que el unísono. [5]
Esta combinación es necesaria y suficiente para definir un conjunto de relaciones entre los intervalos tonales que es invariante en todo el rango de afinación del temperamento sintónico. Por lo tanto, también define un mapeo invariante, en todo el continuo de afinación, entre (a) las notas en estos intervalos tonales generados (pseudo-Justo), y (b) los parciales correspondientes de un timbre pseudo-armónico generado de manera similar. . Por lo tanto, la relación entre el temperamento sintónico y sus timbres alineados con notas puede verse como una generalización de la relación especial entre la entonación justa y la serie armónica.
Mantener un mapeo invariante entre notas y parciales, en todo el rango de afinación, permite la tonalidad dinámica , una expansión novedosa del marco de la tonalidad, que incluye efectos de timbre como prima, conicalidad y riqueza, [6] y efectos tonales como polifónico. curvas de afinación y progresiones de afinación dinámica. [7]
Si uno considera el continuo de afinación del temperamento sintónico como una cuerda, y las afinaciones individuales como cuentas en esa cuerda, entonces se puede ver gran parte de la literatura microtonal tradicional como enfocada en las diferencias entre las cuentas, mientras que el temperamento sintónico puede verse como algo centrado en lo común a lo largo de la cadena.
Las notas del temperamento sintónico se tocan mejor con el diseño de notas de Wicki-Hayden . [8] Debido a que el temperamento sintónico y el diseño de notas de Wicki-Hayden se generan usando el mismo generador y período, son isomorfos entre sí; por lo tanto, el diseño de notas de Wicki-Hayden es un teclado isomorfo para el temperamento sintónico. El patrón de digitación de cualquier estructura musical dada es el mismo en cualquier afinación en el continuo de afinación del temperamento sintónico. La combinación de un teclado isomórfico y una afinación continuamente variable admite la tonalidad dinámica como se describe anteriormente. [7]
Como se muestra en la figura de la derecha, el rango de afinación tonalmente válido del temperamento sintónico incluye una serie de afinaciones históricamente importantes, como la popular división de la octava de 12 tonos (afinación de 12 edo, también conocida como afinación de 12 tonos). "Temperamento igual" ), las afinaciones de tono medio y la afinación pitagórica . Las afinaciones en el temperamento sintónico pueden ser iguales (12-edo, 31-edo ), no iguales (pitagórica, meanone), circulante y justa. [9] [10]
La leyenda de la Figura 2 (en el lado derecho de la figura) muestra una pila de P5 centrada en D. Cada nota resultante representa un intervalo en el temperamento sintónico con D como tónico. El cuerpo de la figura muestra cómo cambian los anchos (desde D) de estos intervalos a medida que cambia el ancho del P5 a lo largo del continuo de afinación del temperamento sintónico.
- A P5 ≈ 685,7 centavos Play ( ayuda · info ) , los intervalos convergen en solo 7 anchos (asumiendo una equivalencia de octava de 0 y 1200 cents), produciendo 7-edo. S / T = 0.
- En P5 ≈ 694,7 Play ( ayuda · info ) (19-edo), los espacios entre estos 19 intervalos son todos iguales, produciendo una afinación de 19-edo. S / T = 2/3.
- En P5 ≈ 696,8 Reproducir ( ayuda · info ) (31-edo), una pila de 31 de tales intervalos mostraría espacios iguales entre cada intervalo, produciendo una afinación de 31 edo. S / T = 3/5.
- En P5 = 700.0 Toque ( ayuda · info ) (12-edo), las notas agudas y las notas bemol son iguales, produciendo una afinación de 12-edo. S / T = 1/2.
- En P5 ≈ 701.9 Play ( help · info ) (53-edo), una pila de 53 intervalos de este tipo, cada uno solo 3/44 de un centavo menos que una quinta pura, hace 31 octavas, lo que produce una afinación de 53 edo. S / T = 4/9.
- etc ....
- en P5 = 720.0 centavos Play ( ayuda · info ) , los tonos convergen en solo 5 anchos, produciendo 5-edo. S / T = 1.
Proyectos de investigación sobre el temperamento sintónico
- El programa de investigación Musica Facta [11] investiga la teoría musical del temperamento sintónico.
- La teoría musical del proyecto de investigación Guido 2.0 se basa en el temperamento sintónico. Guido 2.0 busca lograr un aumento de 10 veces en la eficiencia de la educación musical al exponer las propiedades invariantes del temperamento sintónico de la música (invariancia de octava, invariancia de transposición, invariancia de afinación e invariancia de digitación) con invariancia geométrica. Guido 2.0 es el aspecto de Educación Musical de Musica Facta (arriba).
Notas
- ^ Denckla, Benjamin Frederick (1995). "Entonación dinámica para el rendimiento del sintetizador". CiteSeerX 10.1.1.929.58 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Blackwood, Easley. La estructura de afinaciones diatónicas reconocibles . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780691610887.
- ^ Serafini, Carlo. "La estructura de afinaciones diatónicas reconocibles por Easley Blackwood - una revisión" .
- ^ "1-6 Syntonic Comma Meantone" . Wiki xenharmonic .
- ^ Milne, Andrew; Sethares, William; Plamondon, James (2007). "Controladores isomorfos y afinación dinámica: digitación invariable sobre un continuo de afinación" . Computer Music Journal . 31 (4): 15–32. doi : 10.1162 / comj.2007.31.4.15 . S2CID 27906745 .
- ^ Milne, Andrew; Sethares, William; Plamondon, James. "El sistema X" (PDF) . La Universidad Abierta . Consultado el 28 de marzo de 2017 .
- ^ a b Plamondon, J., Milne, A. y Sethares, WA, "Tonalidad dinámica: extensión del marco de la tonalidad en el siglo XXI" , en Actas de la reunión anual del Capítulo South Central de la Sociedad de Música Universitaria ( 2009).
- ^ Milne, A., Sethares, WA y Plamondon, J., Tuning Continua y diseños de teclado , Journal of Mathematics and Music , primavera de 2008.
- ^ Milne, A., Sethares, WA, Tiedje, S., Prechtl, A. y Plamondon, J., "Herramientas espectrales para la tonalidad dinámica y la transformación de audio" , Computer Music Journal , en prensa.
- ^ Milne, Andrew. "El Tone Diamond" . Tonalidad dinámica . Consultado el 28 de marzo de 2017 .
- ^ "Musica Facta" . Archivado desde el original el 17 de mayo de 2014 . Consultado el 19 de septiembre de 2015 .