En matemáticas , la matriz H de Hasse-Witt de una curva algebraica no singular C sobre un campo finito F es la matriz del mapeo de Frobenius ( p -ésimo mapeo de potencias donde F tiene q elementos, q una potencia del número primo p ) con respecto a una base para los diferenciales del primer tipo . Es una matriz g × g donde C tiene género g . El rango de la matriz de Hasse-Witt es el invariante de Hasse o Hasse-Witt .
Aproximación a la definición
Esta definición, como se da en la introducción, es natural en términos clásicos y se debe a Helmut Hasse y Ernst Witt (1936). Proporciona una solución a la cuestión de la p -rank de la variedad jacobiana J de C ; el p -rank está limitado por el rango de H , específicamente es el rango del mapeo de Frobenius compuesto consigo mismo g veces. También es una definición que en principio es algorítmica. Ha habido un interés sustancial reciente en esto como aplicación práctica a la criptografía , en el caso de C una curva hiperelíptica . La curva C es superespecial si H = 0.
Esa definición necesita un par de salvedades, al menos. En primer lugar, existe una convención sobre los mapeos de Frobenius, y según la comprensión moderna, lo que se requiere para H es la transposición de Frobenius (ver Frobenius aritmético y geométrico para más discusión). En segundo lugar, el mapeo de Frobenius no es F- lineal; es lineal en el campo primer Z / p Z en F . Por lo tanto, la matriz se puede escribir pero no representa un mapeo lineal en el sentido sencillo.
Cohomología
La interpretación para la cohomología de la gavilla es la siguiente: el mapa de potencia p actúa sobre
- H 1 ( C , O C ),
o en otras palabras la primera cohomología de C con coeficientes en su estructura gavilla . Esto ahora se llama operador Cartier-Manin (a veces simplemente operador Cartier ), para Pierre Cartier y Yuri Manin . La conexión con la definición de Hasse-Witt es por medio de la dualidad de Serre , que para una curva relaciona ese grupo con
- H 0 ( C , Ω C )
donde Ω C = Ω 1 C es la gavilla de los diferenciales de Kähler en C .
Variedades abelianas y su p -rank
La p -rank de una variedad abeliana A sobre un campo K de característica p es el entero k para el cual el núcleo A [ p ] de la multiplicación por p tiene p k puntos. Puede tomar cualquier valor de 0 ad , la dimensión de A ; por el contrario, para cualquier otro número primo l hay l 2 d puntos en A [ l ]. La razón de que la p -rank es menor es que la multiplicación por p en A es un isogenia inseparable : el diferencial es p que es 0 en K . Al considerar el núcleo como un esquema de grupo, se puede obtener la estructura más completa (referencia David Mumford Abelian Varieties pp. 146-7); pero si, por ejemplo, uno mira el módulo de reducción p de una ecuación de división , el número de soluciones debe disminuir.
El rango del operador de Cartier-Manin, o matriz de Hasse-Witt, por lo tanto, da un límite superior para el p -rank. El p -rank es el rango del operador de Frobenius compuesto consigo mismo g veces. En el documento original de Hasse y Witt el problema está redactada en términos intrínsecos a C , no depender de J . Se trata de clasificar las posibles extensiones Artin-Schreier del campo funcional F ( C ) (el análogo en este caso de la teoría de Kummer ).
Caso del género 1
El caso de las curvas elípticas fue elaborado por Hasse en 1934. Dado que el género es 1, las únicas posibilidades para la matriz H son: H es cero, Hasse invariante 0, p -ranco 0, el caso supersingular ; o H distinto de cero, invariante de Hasse 1, p -rank 1, el caso ordinario . [1] Aquí hay una fórmula de congruencia que dice que H es módulo p congruente con el número N de puntos en C sobre F , al menos cuando q = p . Debido al teorema de Hasse sobre las curvas elípticas , conocer N módulo p determina N para p ≥ 5. Esta conexión con las funciones zeta locales se ha investigado en profundidad.
Para una curva plana definida por un f ( X , Y , Z ) cúbico = 0, el invariante de Hasse es cero si y solo si el coeficiente de ( XYZ ) p −1 en f p −1 es cero. [1]
Notas
Referencias
- Hasse, Helmut (1934). "Existenz separabler zyklischer unverzweigter Erweiterungskörper vom Primzahlgrad p über elliptischen Funktionenkörpern der Charakteristik p ". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 172 : 77–85. doi : 10.1515 / crll.1935.172.77 . JFM 60.0910.02 . Zbl 0010.14803 .
- Hasse, Helmut; Witt, Ernst (1936). "Zyklische unverzweigte Erweiterungskörper vom Primzahlgrad p über einem algebraischen Funktionenkörper der Charakteristik p ". Monatshefte für Mathematik und Physik . 43 : 477–492. doi : 10.1515 / 9783110835007.202 . JFM 62.0112.01 . Zbl 0013.34102 .
- Manin, Ju. I. (1965). "La matriz de Hasse-Witt de una curva algebraica". Transl., Ser. 2, am. Matemáticas. Soc . 45 : 245–246. ISSN 0065-9290 . Zbl 0148.28002 . (Traducción al inglés de un original ruso)