Tetraedro

Poliedro de 4 caras

No confundir con tetraedroide .

Para la revista académica, consulte Tetrahedron (revista) .

Tetraedro regular
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Escribe	Sólido platónico
Código corto	3> 2z
Elementos	F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2)
Caras por lados	4 {3}
Notación de Conway	T
Símbolos de Schläfli	{3,3}
	h {4,3}, s {2,4}, sr {2,2}
Configuración de la cara	V3.3.3
Símbolo de Wythoff	3 | 2 3 | 2 2 2
Diagrama de Coxeter	=
Simetría	T d , A 3 , [3,3], (* 332)
Grupo de rotacion	T , [3,3] + , (332)
Referencias	U 01 , C 15 , W 1
Propiedades	deltaedro regular , convexo
Ángulo diedro	70.528779 ° = arcos ( 1 ⁄ 3 )
3.3.3 ( figura de vértice )	Auto-dual ( poliedro dual )
Neto

Tetraedro ( Matemateca IME-USP )

Modelo 3D de tetraedro regular.

En geometría , un tetraedro (plural: tetraedros o tetraedros ), también conocido como pirámide triangular , es un poliedro compuesto por cuatro caras triangulares , seis aristas rectas y cuatro vértices de vértice . El tetraedro es el más simple de todos los poliedros convexos ordinarios y el único que tiene menos de 5 caras. ^[1]

El tetraedro es el caso tridimensional del concepto más general de un simplex euclidiano y, por lo tanto, también puede llamarse 3-simplex .

El tetraedro es un tipo de pirámide , que es un poliedro con una base poligonal plana y caras triangulares que conectan la base con un punto común. En el caso de un tetraedro, la base es un triángulo (cualquiera de las cuatro caras puede considerarse la base), por lo que un tetraedro también se conoce como "pirámide triangular".

Como todos los poliedros convexos , un tetraedro se puede plegar desde una sola hoja de papel. Tiene dos redes de este tipo . ^[1]

Para cualquier tetraedro existe una esfera (llamada circunsfera ) en la que se encuentran los cuatro vértices, y otra esfera (la insfera ) tangente a las caras del tetraedro. ^[2]

Tetraedro regular

Un tetraedro regular es un tetraedro en el que las cuatro caras son triángulos equiláteros . Es uno de los cinco sólidos platónicos regulares , que se conocen desde la antigüedad.

En un tetraedro regular, todas las caras tienen el mismo tamaño y forma (congruentes) y todas las aristas tienen la misma longitud.

Se colocan cinco tetraedros en un plano, con los puntos tridimensionales más altos marcados como 1, 2, 3, 4 y 5. Estos puntos se unen entre sí y se deja un pequeño volumen de espacio vacío , donde los cinco los ángulos de los bordes no se encuentran del todo.

Los tetraedros regulares por sí solos no forman un mosaico (espacio de relleno), pero si se alternan con octaedros regulares en la proporción de dos tetraedros a un octaedro, forman el panal cúbico alternado , que es un mosaico. Algunos tetraedros que no son regulares, incluidos el ortosquema Schläfli y el tetraedro Hill , pueden teselar .

El tetraedro regular es auto-dual, lo que significa que su dual es otro tetraedro regular. La figura compuesta que comprende dos de estos tetraedros duales forma un octaedro estrellado o estela octangula.

Coordenadas para un tetraedro regular

Las siguientes coordenadas cartesianas definen los cuatro vértices de un tetraedro con una longitud de borde 2, centrado en el origen y dos bordes nivelados:

${\displaystyle \left(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad \left(0,\pm 1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

Expresados ​​simétricamente como 4 puntos en la esfera unitaria , centroide en el origen, con el nivel de la cara inferior, los vértices son:

${\displaystyle v_{1}=\left({\sqrt {\frac {8}{9}}},0,-{\frac {1}{3}}\right)}$

${\displaystyle v_{2}=\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right)}$

${\displaystyle v_{3}=\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},-{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right)}$

${\displaystyle v_{4}=(0,0,1)}$

con la longitud del borde de .${\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{3}}}}$

Otro conjunto más de coordenadas se basa en un cubo alterno o semicubo con una longitud de borde 2. Esta forma tiene un diagrama de Coxeter y símbolo de Schläfli h {4,3}. El tetraedro en este caso tiene una longitud de borde 2 √ 2 . La inversión de estas coordenadas genera el tetraedro dual, y el par juntos forman el octaedro estrellado, cuyos vértices son los del cubo original.

Tetraedro: (1,1,1), (1, −1, −1), (−1,1, −1), (−1, −1,1)

Tetraedro dual: (−1, −1, −1), (−1,1,1), (1, −1,1), (1,1, −1)

Tetraedro regular ABCD y su esfera circunscrita

Ángulos y distancias

Para un tetraedro regular con una longitud de borde a :

Área de la cara	${\displaystyle A_{0}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,}$
Superficie [3]	${\displaystyle A=4\,A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}\,}$
Altura de la pirámide [4]	${\displaystyle h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\sqrt {\frac {2}{3}}}\,a\,}$
Distancia del centroide al vértice	${\displaystyle {\frac {3}{4}}\,h={\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,}$
Distancia de borde a borde opuesto	${\displaystyle l={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,a\,}$
Volumen [3]	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}h={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}\,}$
Ángulo cara-vértice-borde	${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)=\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\,}$ (aprox. 54,7356 °)
Ángulo cara-borde-cara , es decir, "ángulo diedro" [3]	${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\right)\,}$ (aprox. 70,5288 °)
Ángulo vértice-centro-vértice, [5] el ángulo entre las líneas desde el centro del tetraedro hasta dos vértices cualesquiera. También es el ángulo entre los bordes de la meseta en un vértice. En química se llama ángulo de enlace tetraédrico . Este ángulo (en radianes) es también la longitud de arco del segmento geodésico en la esfera unitaria que resulta de proyectar centralmente un borde del tetraedro a la esfera.	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)=2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\,}$ (aprox. 109,4712 °)
Ángulo sólido en un vértice subtendido por una cara	${\displaystyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)}$ (aprox. 0,55129 estereorradián ) (aprox. 1809,8 grados cuadrados )
Radio de la circunsfera [3]	${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,}$
Radio de una esfera que es tangente a las caras [3]	${\displaystyle r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}}\,}$
Radio de la esfera media tangente a los bordes [3]	${\displaystyle r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={\frac {a}{\sqrt {8}}}\,}$
Radio de exesferas	${\displaystyle r_{\mathrm {E} }={\frac {a}{\sqrt {6}}}\,}$
Distancia al centro de la exesfera desde el vértice opuesto	${\displaystyle d_{\mathrm {VE} }={\frac {\sqrt {6}}{2}}a={\sqrt {\frac {3}{2}}}a\,}$

Con respecto al plano de la base, la pendiente de una cara (2 √ 2 ) es el doble que la de un borde ( √ 2 ), lo que corresponde al hecho de que la distancia horizontal recorrida desde la base hasta el vértice a lo largo de un borde es el doble que a lo largo de la mediana de una cara. En otras palabras, si C es el centroide de la base, la distancia de C a un vértice de la base es el doble que la de Chasta el punto medio de un borde de la base. Esto se deriva del hecho de que las medianas de un triángulo se cruzan en su centroide, y este punto divide a cada uno de ellos en dos segmentos, uno de los cuales es dos veces más largo que el otro (ver prueba ).

Para un tetraedro regular con longitud de lado a , radio R de su esfera circunscrita y distancias d _i desde un punto arbitrario en el espacio tridimensional a sus cuatro vértices, tenemos ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2};\\4\left(a^{4}+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Isometrías del tetraedro regular

Las rotaciones adecuadas (rotación de orden 3 en un vértice y cara, y orden 2 en dos aristas) y plano de reflexión (a través de dos caras y una arista) en el grupo de simetría del tetraedro regular.

Los vértices de un cubo se pueden agrupar en dos grupos de cuatro, cada uno formando un tetraedro regular (ver arriba, y también la animación , que muestra uno de los dos tetraedros en el cubo). Las simetrías de un tetraedro regular corresponden a la mitad de las de un cubo: aquellas que mapean los tetraedros a sí mismos, y no entre sí.

El tetraedro es el único sólido platónico que no se asigna a sí mismo por inversión de puntos .

El tetraedro regular tiene 24 isometrías, formando el grupo de simetría T _d , [3,3], (* 332), isomorfo al grupo simétrico , S ₄ . Se pueden clasificar de la siguiente manera:

• T , [3,3] ⁺ , (332) es isomorfo al grupo alterno , A ₄ (la identidad y 11 rotaciones propias) con las siguientes clases de conjugación (entre paréntesis se dan las permutaciones de los vértices, o correspondientemente, las caras, y la representación del cuaternión de la unidad ):
  • identidad (identidad; 1)
  • rotación alrededor de un eje que pasa por un vértice, perpendicular al plano opuesto, en un ángulo de ± 120 °: 4 ejes, 2 por eje, juntos 8 ((1 2 3) , etc .; 1 ± i ± j ± k / 2 )
  • rotación en un ángulo de 180 ° de modo que un borde se corresponda con el borde opuesto: 3 ((1 2) (3 4) , etc .; i , j , k )
• reflexiones en un plano perpendicular a una arista: 6
• reflexiones en un plano combinado con rotación de 90 ° alrededor de un eje perpendicular al plano: 3 ejes, 2 por eje, juntos 6; de manera equivalente, son rotaciones de 90 ° combinadas con inversión ( x se asigna a - x ): las rotaciones corresponden a las del cubo sobre los ejes cara a cara

Proyecciones ortogonales del tetraedro regular

El tetraedro regular tiene dos proyecciones ortogonales especiales , una centrada en un vértice o equivalentemente en una cara, y otra centrada en un borde. El primero corresponde al plano A ₂ Coxeter .

Proyección ortográfica

Centrado por	Cara / vértice	Borde
Imagen
Simetría proyectiva	[3]	[4]

Sección transversal de tetraedro regular

Una sección transversal central de un tetraedro regular es un cuadrado .

Los dos bordes opuestos perpendiculares sesgados de un tetraedro regular definen un conjunto de planos paralelos. Cuando uno de estos planos se cruza con el tetraedro, la sección transversal resultante es un rectángulo . ^[7] Cuando el plano de intersección está cerca de uno de los bordes, el rectángulo es largo y delgado. Cuando está a medio camino entre los dos bordes, la intersección es un cuadrado . La relación de aspecto del rectángulo se invierte cuando pasa este punto medio. Para la intersección del cuadrado del punto medio, la línea de límite resultante atraviesa todas las caras del tetraedro de manera similar. Si el tetraedro se biseca en este plano, ambas mitades se convierten en cuñas .

Un difenoide tetragonal visto ortogonalmente a los dos bordes verdes.

Esta propiedad también se aplica a los difenoides tetragonales cuando se aplica a los dos pares de bordes especiales.

Baldosas esféricas

El tetraedro también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en el plano a través de una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas de la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.

Proyección ortográfica	Proyección estereográfica

Apilamiento helicoidal

Una única hélice de Boerdijk-Coxeter de anillo de 30 tetraedros dentro de las 600 células , vista en proyección estereográfica

Los tetraedros regulares se pueden apilar cara a cara en una cadena aperiódica quiral llamada hélice de Boerdijk-Coxeter . En cuatro dimensiones , todos los 4 politopos regulares convexos con celdas tetraédricas (las de 5 celdas , 16 celdas y 600 celdas ) pueden construirse como teselaciones de las 3 esferas mediante estas cadenas, que se vuelven periódicas en la esfera tridimensional. espacio de la superficie límite del 4-politopo.

Otros casos especiales

Relaciones de subgrupos de simetría tetraédrica

Simetrías tetraédricas mostradas en diagramas tetraédricos

Un tetraedro isósceles , también llamado difenoide , es un tetraedro donde las cuatro caras son triángulos congruentes . Un tetraedro que llena el espacio se empaqueta con copias congruentes de sí mismo en el espacio de baldosas, como el panal tetraédrico difenoide .

En un tetraedro trirrectangular, los tres ángulos de cara en un vértice son ángulos rectos . Si los tres pares de bordes opuestos de un tetraedro son perpendiculares , entonces se llama tetraedro ortocéntrico . Cuando solo un par de bordes opuestos son perpendiculares, se llama tetraedro semi-ortocéntrico . Un tetraedro isodinámico es aquel en el que los cevians que unen los vértices a los incentros de las caras opuestas son concurrentes , y un tetraedro isogónico tiene cevians concurrentes que unen los vértices a los puntos de contacto de las caras opuestas con elesfera inscrita del tetraedro.

Isometrías de tetraedros irregulares

Las isometrías de un tetraedro irregular (sin marcar) dependen de la geometría del tetraedro, con 7 casos posibles. En cada caso se forma un grupo de puntos tridimensional . Pueden existir otras dos isometrías (C ₃ , [3] ⁺ ) y (S ₄ , [2 ⁺ , 4 ⁺ ]) si se incluyen las marcas de cara o borde. Los diagramas tetraédricos se incluyen para cada tipo a continuación, con bordes coloreados por equivalencia isométrica y son de color gris para bordes únicos.

Nombre del tetraedro				Diagrama de equivalencia de aristas	Descripción
Simetría
Schön.	Timonel.	Orbe.	Ord.
Tetraedro regular					Cuatro triángulos equiláteros Forma el grupo de simetría T d , isomorfo al grupo simétrico , S 4 . Un tetraedro regular tiene un diagrama de Coxeter y símbolo de Schläfli {3,3}.
T d T	[3,3] [3,3] +	* 332 332	24 12
Pirámide triangular					Una base de triángulo equilátero y tres lados de triángulo isósceles iguales Da 6 isometrías, correspondientes a las 6 isometrías de la base. Como permutaciones de los vértices, estas 6 isometrías son la identidad 1, (123), (132), (12), (13) y (23), formando el grupo de simetría C 3v , isomorfo al grupo simétrico , S 3 . Una pirámide triangular tiene el símbolo de Schläfli {3} ∨ ().
C 3v C 3	[3] [3] +	* 33 33	6 3
Esfenoides reflejado					Dos triángulos escalenos iguales con un borde de base común Esto tiene dos pares de bordes iguales (1,3), (1,4) y (2,3), (2,4) y, por lo demás, no hay bordes iguales. Las únicas dos isometrías son 1 y la reflexión (34), dando el grupo C s , también isomorfo al grupo cíclico , Z 2 .
C s = C 1h = C 1v	[]	*	2
Tetraedro irregular (sin simetría)					Cuatro triángulos desiguales Su única isometría es la identidad, y el grupo de simetría es el grupo trivial . Un tetraedro irregular tiene el símbolo de Schläfli () ∨ () ∨ () ∨ ().
C 1	[] +	1	1
Disphenoids (cuatro triángulos iguales)
Disfenoides tetragonal					Cuatro triángulos isósceles iguales Tiene 8 isometrías. Si los bordes (1,2) y (3,4) tienen una longitud diferente a los otros 4, entonces las 8 isometrías son la identidad 1, las reflexiones (12) y (34) y las rotaciones de 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23) y rotaciones impropias de 90 ° (1234) y (1432) formando el grupo de simetría D 2d . Un difenoide tetragonal tiene diagrama de Coxeter y símbolo de Schläfli s {2,4}.
D 2d S 4	[2 + , 4] [2 + , 4 + ]	2 * 2 2 ×	8 4
Disfenoide rómbico					Cuatro triángulos escalenos iguales Tiene 4 isometrías. Las isometrías son 1 y las rotaciones de 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23). Este es el grupo de cuatro Klein V 4 o Z 2 2 , presente como el grupo de puntos D 2 . Un esfenoide rómbico tiene diagrama de Coxeter y símbolo de Schläfli sr {2,2}.
D 2	[2,2] +	222	4
Disfenoides generalizados (2 pares de triángulos iguales)
Disfenoide digonal					Dos pares de triángulos isósceles iguales Esto da dos aristas opuestas (1,2) y (3,4) que son perpendiculares pero de diferente longitud, y luego las 4 isometrías son 1, reflexiones (12) y (34) y la rotación de 180 ° (12) (34) . El grupo de simetría es C 2v , isomorfo al V 4 de cuatro grupos de Klein . Un disphenoid digonal tiene el símbolo de Schläfli {} ∨ {}.
C 2v C 2	[2] [2] +	* 22 22	4 2
Disfenoide fílico					Dos pares de triángulos escalenos o isósceles iguales Esto tiene dos pares de bordes iguales (1,3), (2,4) y (1,4), (2,3) pero por lo demás no hay bordes iguales. Las únicas dos isometrías son 1 y la rotación (12) (34), dando al grupo C 2 isomorfo al grupo cíclico , Z 2 .
C 2	[2] +	22	2

Propiedades generales

Volumen

El volumen de un tetraedro viene dado por la fórmula del volumen de la pirámide:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,}$

donde A ₀ es el área de la base y h es la altura desde la base hasta el vértice. Esto se aplica a cada una de las cuatro opciones de la base, por lo que las distancias desde los vértices a las caras opuestas son inversamente proporcionales a las áreas de estas caras.

Para un tetraedro con vértices a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) , c = ( c ₁ , c ₂ , c ₃ ) y d = ( d ₁ , d ₂ , d ₃ ) , el volumen es 1 / 6 | det ( un- d , b - d , c - d ) | , o cualquier otra combinación de pares de vértices que formen un gráfico simplemente conectado . Esto se puede reescribir utilizando un producto escalar y un producto cruzado , lo que da como resultado

${\displaystyle V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot ((\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} ))|}{6}}.}$

Si el origen del sistema de coordenadas se elige para que coincida con el vértice d , entonces d = 0, entonces

${\displaystyle V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},}$

donde una , b , y c representan tres bordes que se unen en un vértice, y una · ( b × c ) es un producto mixto . La comparación de esta fórmula con el utilizado para calcular el volumen de un paralelepípedo , se concluye que el volumen de un tetraedro es igual a 1 / 6 del volumen de cualquier paralelepípedo que comparte tres convergentes bordes con ella.

El valor absoluto del producto triple escalar se puede representar como los siguientes valores absolutos de determinantes:

${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$ o donde se expresan como vectores de fila o columna. ${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$  ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3}),\end{cases}}}$ 

Por eso

${\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}}$ donde ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma },\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha },\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.\end{cases}}}$

lo que da

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,}$

donde α , β , γ son los ángulos planos que ocurren en el vértice d . El ángulo α , es el ángulo entre los dos bordes que conectan el vértice d a los vértices b y c . El ángulo β , lo hace para los vértices de un y c , mientras que γ , se define por la posición de los vértices de un y b .

Dadas las distancias entre los vértices de un tetraedro, el volumen se puede calcular utilizando el determinante de Cayley-Menger :

${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}$

donde los subíndices i , j ∈ {1, 2, 3, 4} representan los vértices { a , b , c , d } y d _ij es la distancia por pares entre ellos, es decir, la longitud del borde que conecta los dos vértices. Un valor negativo del determinante significa que no se puede construir un tetraedro con las distancias dadas. Esta fórmula, a veces llamada fórmula de Tartaglia , se debe esencialmente al pintor Piero della Francesca en el siglo XV, como un análogo tridimensional de la fórmula de Herón del siglo I para el área de un triángulo. ^[8]

Denote que a, b, c son tres aristas que se encuentran en un punto, yx, y, z las aristas opuestas. Sea V el volumen del tetraedro; luego ^[9]

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$

La fórmula anterior usa seis longitudes de aristas y la siguiente fórmula usa tres longitudes de aristas y tres ángulos.

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}$

Fórmula tipo garza para el volumen de un tetraedro

Seis longitudes de arista de tetraedro

Si U , V , W , u , v , w son longitudes de los bordes del tetraedro (los primeros tres forman un triángulo; u opuesto a U y así sucesivamente), entonces ^[10]

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\sqrt {xYZ}},&q&={\sqrt {yZX}},&r&={\sqrt {zXY}},&s&={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=(w-U+v)\,(U+v+w),&x&=(U-v+w)\,(v-w+U),\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u),&y&=(V-w+u)\,(w-u+V),\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v),&z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$

Divisor de volumen

Un plano que divide dos bordes opuestos de un tetraedro en una proporción determinada también divide el volumen del tetraedro en la misma proporción. Así, cualquier plano que contenga un bimediano (conector de los puntos medios de los bordes opuestos) de un tetraedro biseca el volumen del tetraedro. ^{[11] [12] : págs . 89–90}

Volumen no euclidiano

Para los tetraedros en el espacio hiperbólico o en la geometría elíptica tridimensional , los ángulos diedros del tetraedro determinan su forma y, por tanto, su volumen. En estos casos, el volumen viene dado por la fórmula de Murakami-Yano . ^[13] Sin embargo, en el espacio euclidiano, escalar un tetraedro cambia su volumen pero no sus ángulos diedros, por lo que tal fórmula no puede existir.

Distancia entre los bordes

Dos bordes opuestos cualesquiera de un tetraedro se encuentran en dos líneas oblicuas , y la distancia entre los bordes se define como la distancia entre las dos líneas oblicuas. Let d sea la distancia entre las líneas oblicuas formadas por bordes opuestos una y b - c tal como se calcula aquí . Entonces otra fórmula de volumen viene dada por

${\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.}$

Propiedades análogas a las de un triángulo

El tetraedro tiene muchas propiedades análogas a las de un triángulo, incluyendo una insfera, circunsfera, tetraedro medial y exesferas. Tiene centros respectivos como incentro, circuncentro, excéntrico, centro de Spieker y puntos como un centroide. Sin embargo, generalmente no existe un ortocentro en el sentido de altitudes que se cruzan. ^[14]

Gaspard Monge encontró un centro que existe en cada tetraedro, ahora conocido como el punto Monge : el punto donde se cruzan los seis planos medios de un tetraedro. Un plano medio se define como un plano que es ortogonal a un borde que une dos vértices cualesquiera y que también contiene el centroide de un borde opuesto formado al unir los otros dos vértices. Si las altitudes del tetraedro se cruzan, entonces el punto de Monge y el ortocentro coinciden para dar la clase de tetraedro ortocéntrico .

Una línea ortogonal que cae desde el punto de Monge a cualquier cara se encuentra con esa cara en el punto medio del segmento de línea entre el ortocentro de esa cara y el pie de la altitud que cae desde el vértice opuesto.

Un segmento de línea que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana y un segmento de línea que une los puntos medios de dos bordes opuestos se llama bimediano del tetraedro. Por tanto, hay cuatro medianas y tres bimedianos en un tetraedro. Estos siete segmentos de línea son todos concurrentes en un punto llamado centroide del tetraedro. ^[15] Además, las cuatro medianas se dividen en una proporción de 3: 1 por el centroide (ver teorema de Commandino ). El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto Monge y su circuncentro. Estos puntos definen la línea de Eulerdel tetraedro que es análogo a la línea de Euler de un triángulo.

El círculo de nueve puntos del triángulo general tiene un análogo en la circunsfera del tetraedro medial de un tetraedro. Es la esfera de doce puntos y además de los centroides de las cuatro caras del tetraedro de referencia, pasa por cuatro puntos de Euler sustitutos , un tercio del camino desde el punto de Monge hacia cada uno de los cuatro vértices. Finalmente pasa por los cuatro puntos base de las líneas ortogonales que se caen desde cada punto de Euler hasta la cara que no contiene el vértice que generó el punto de Euler. ^[dieciséis]

El centro T de la esfera de doce puntos también se encuentra en la línea de Euler. A diferencia de su contraparte triangular, este centro se encuentra a un tercio del camino desde el punto M de Monge hacia el circuncentro. Además, una línea ortogonal a través de T a una cara elegida es coplanar con otras dos líneas ortogonales a la misma cara. La primera es una línea ortogonal que pasa por el punto de Euler correspondiente hasta la cara elegida. La segunda es una línea ortogonal que pasa por el centroide de la cara elegida. Esta línea ortogonal a través del centro de doce puntos se encuentra a medio camino entre la línea ortogonal del punto de Euler y la línea ortogonal centroidal. Además, para cualquier cara, el centro de doce puntos se encuentra en el punto medio del punto de Euler correspondiente y el ortocentro de esa cara.

El radio de la esfera de doce puntos es un tercio del radio circunferencial del tetraedro de referencia.

Existe una relación entre los ángulos formados por las caras de un tetraedro general dada por ^[17]

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$

donde α _ij es el ángulo entre las caras i y j .

La mediana geométrica de las coordenadas de posición del vértice de un tetraedro y su centro isogónico están asociadas, en circunstancias análogas a las observadas para un triángulo. Lorenz Lindelöf descubrió que, correspondiente a cualquier tetraedro dado, hay un punto ahora conocido como centro isogónico, O , en el que los ángulos sólidos subtendidos por las caras son iguales, tienen un valor común de π sr, y en el que los ángulos subtendidos por opuestos los bordes son iguales. ^[18] Un ángulo sólido de π sr es una cuarta parte del subtendido por todo el espacio. Cuando todos los ángulos sólidos en los vértices de un tetraedro son más pequeños que π sr, O se encuentra dentro del tetraedro, y porque la suma de las distancias desde Oa los vértices es un mínimo, O coincide con la mediana geométrica , M , de los vértices. En el caso de que el ángulo sólido en uno de los vértices, v , mida exactamente π sr, entonces O y M coinciden con v . Sin embargo, si un tetraedro tiene un vértice, v , con un ángulo sólido mayor que π sr, M todavía corresponde av , pero O se encuentra fuera del tetraedro.

Relaciones geométricas

Un tetraedro es un 3- simplex . A diferencia del caso de los otros sólidos platónicos, todos los vértices de un tetraedro regular son equidistantes entre sí (son la única disposición posible de cuatro puntos equidistantes en un espacio tridimensional).

Un tetraedro es una pirámide triangular y el tetraedro regular es auto-dual .

Un tetraedro regular se puede incrustar dentro de un cubo de dos maneras, de modo que cada vértice es un vértice del cubo y cada borde es una diagonal de una de las caras del cubo. Para una de esas incrustaciones, las coordenadas cartesianas de los vértices son

(+1, +1, +1);

(-1, -1, +1);

(-1, +1, -1);

(+1, −1, −1).

Esto produce un tetraedro con una longitud de borde 2 √ 2 , centrado en el origen. Para el otro tetraedro (que es dual con el primero), invierta todos los signos. Estos dos vértices de tetraedros combinados son los vértices de un cubo, lo que demuestra que el tetraedro regular es el 3- demicubo .

La stella octangula .

El volumen de este tetraedro es un tercio del volumen del cubo. La combinación de ambos tetraedros da un compuesto poliédrico regular llamado compuesto de dos tetraedros o stella octangula .

El interior de la stella octangula es un octaedro y, en consecuencia, un octaedro regular es el resultado de cortar, de un tetraedro regular, cuatro tetraedros regulares de la mitad del tamaño lineal (es decir, rectificar el tetraedro).

La incrustación anterior divide el cubo en cinco tetraedros, uno de los cuales es regular. De hecho, cinco es el número mínimo de tetraedros necesarios para componer un cubo. Para ver esto, partiendo de un tetraedro base con 4 vértices, cada tetraedro agregado agrega como máximo 1 vértice nuevo, por lo que se deben agregar al menos 4 más para hacer un cubo, que tiene 8 vértices.

Al inscribir tetraedros dentro del compuesto regular de cinco cubos se obtienen dos compuestos regulares más, que contienen cinco y diez tetraedros.

Los tetraedros regulares no pueden teselar el espacio por sí mismos, aunque este resultado parece lo suficientemente probable como para que Aristóteles afirmara que era posible. Sin embargo, dos tetraedros regulares se pueden combinar con un octaedro, dando un romboedro que puede enlosar el espacio.

Sin embargo, se conocen varios tetraedros irregulares, de los cuales las copias pueden enlosar el espacio, por ejemplo, el panal tetraédrico difenoide . La lista completa sigue siendo un problema abierto. ^[19]

Si uno relaja el requisito de que todos los tetraedros tengan la misma forma, se puede enlosar el espacio usando solo tetraedros de muchas formas diferentes. Por ejemplo, se puede dividir un octaedro en cuatro tetraedros idénticos y combinarlos nuevamente con dos regulares. (Como nota al margen: estos dos tipos de tetraedro tienen el mismo volumen).

El tetraedro es único entre los poliedros uniformes al no poseer caras paralelas.

Una ley de senos para tetraedros y el espacio de todas las formas de tetraedros

Artículo principal: Trigonometría de un tetraedro

Un corolario de la ley habitual de los senos es que en un tetraedro con vértices O , A , B , C , tenemos

${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,}$

Uno puede ver los dos lados de esta identidad como correspondientes a las orientaciones de la superficie en sentido horario y antihorario.

Al poner cualquiera de los cuatro vértices en el papel de O se obtienen cuatro de tales identidades, pero como máximo tres de ellas son independientes: si los lados "en el sentido de las agujas del reloj" de tres de ellos se multiplican y se infiere que el producto es igual al producto de la Los lados "en sentido antihorario" de las mismas tres identidades, y luego los factores comunes se cancelan desde ambos lados, el resultado es la cuarta identidad.

Tres ángulos son los ángulos de algún triángulo si y solo si su suma es 180 ° (π radianes). ¿Qué condición en 12 ángulos es necesaria y suficiente para que sean los 12 ángulos de algún tetraedro? Claramente, la suma de los ángulos de cualquier lado del tetraedro debe ser de 180 °. Dado que hay cuatro de estos triángulos, hay cuatro restricciones de este tipo en las sumas de ángulos, y el número de grados de libertad se reduce de 12 a 8. Las cuatro relaciones dadas por esta ley del seno reducen aún más el número de grados de libertad, de 8 hasta no 4 sino 5, ya que la cuarta restricción no es independiente de las tres primeras. Por tanto, el espacio de todas las formas de tetraedros es de 5 dimensiones. ^[20]

Ley de cosenos para tetraedros

Artículo principal: Trigonometría de un tetraedro

Sean { P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ } los puntos de un tetraedro. Sea Δ _i el área de la cara opuesta al vértice P _i y sea θ _ij el ángulo diedro entre las dos caras del tetraedro adyacente a la arista P _i P _j .

La ley de los cosenos para este tetraedro, ^[21] que relaciona las áreas de las caras del tetraedro con los ángulos diedros alrededor de un vértice, viene dada por la siguiente relación:

${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$

Punto interior

Sea P cualquier punto interior de un tetraedro de volumen V cuyos vértices son A , B , C y D , y cuyas áreas de las caras opuestas son F _a , F _b , F _c y F _d . Entonces ^{[22] : p.62, # 1609}

${\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.}$

Para los vértices A , B , C y D , el punto interior P y los pies J , K , L y M de las perpendiculares de P a las caras, y suponga que las caras tienen áreas iguales, entonces ^{[22] : p.226 , # 215}

${\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}$

Inradius

Denotando el inradio de un tetraedro como r y el inradio de sus caras triangulares como r _i para i = 1, 2, 3, 4, tenemos ^{[22] : p.81, # 1990}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}$

con igualdad si y solo si el tetraedro es regular.

Si A ₁ , A ₂ , A ₃ y A ₄ denotan el área de cada cara, el valor de r viene dado por

${\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}}$.

Esta fórmula se obtiene al dividir el tetraedro en cuatro tetraedros cuyos puntos son los tres puntos de una de las caras originales y el incentro. Dado que los cuatro substetraedros llenan el volumen, tenemos .${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r}$

Circumradius

Denotan la circunferencia circunscrita de un tetraedro como R . Sean a , b , c las longitudes de las tres aristas que se encuentran en un vértice, y A , B , C la longitud de las aristas opuestas. Sea V el volumen del tetraedro. Entonces ^{[23] [24]}

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}$

Circuncentro

El circuncentro de un tetraedro se puede encontrar como intersección de tres planos bisectores. Un plano bisector se define como el plano centrado y ortogonal a un borde del tetraedro. Con esta definición, el circuncentro C de un tetraedro con vértices x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ se puede formular como producto matriz-vector: ^[25]

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}-x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}-x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}-x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}$

A diferencia del centroide, es posible que el circuncentro no siempre se encuentre en el interior de un tetraedro. De manera análoga a un triángulo obtuso, el circuncentro está fuera del objeto para un tetraedro obtuso.

Centroide

El centro de masa del tetraedro se calcula como la media aritmética de sus cuatro vértices, ver Centroide .

Caras

La suma de las áreas de tres caras cualesquiera es mayor que el área de la cuarta cara. ^{[22] : p.225, # 159}

Tetraedros enteros

Artículo principal: tetraedro heroniano

Existen tetraedros que tienen longitudes de borde, áreas de la cara y volumen con valores enteros. Estos se llaman tetraedros heronianos . Un ejemplo tiene un borde de 896, el borde opuesto de 990 y los otros cuatro bordes de 1073; dos caras son triángulos isósceles con áreas de436 800 y los otros dos son isósceles con áreas de47 120 , mientras que el volumen es124 185 600 . ^[26]

Un tetraedro puede tener un volumen entero y números enteros consecutivos como aristas, siendo un ejemplo el que tiene aristas 6, 7, 8, 9, 10 y 11 y volumen 48. ^[27]

Poliedros y compuestos relacionados

Un tetraedro regular puede verse como una pirámide triangular .

Pirámides regulares
Digonal	Triangular	Cuadrado	Pentagonal	Hexagonal	Heptagonal	Octagonal	Eneagonal	Decagonal...
Incorrecto	Regular	Equilátero		Isósceles

Un tetraedro regular puede verse como un poliedro degenerado, un antiprisma digonal uniforme , donde los polígonos base son digones reducidos .

Familia de antiprismas n -gonales uniformes

• v
• t
• mi

Nombre antiprisma	Antiprisma digital	(Trigonal) Antiprisma triangular	(Tetragonal) Antiprisma cuadrado	Antiprisma pentagonal	Antiprisma hexagonal	Antiprisma heptagonal	Antiprisma octogonal	Antiprisma enneagonal	Antiprisma decagonal	Antiprisma hedecagonal	Antiprisma dodecagonal	...	Antiprisma apeirogonal
Imagen de poliedro												...
Imagen de mosaico esférico												Imagen de mosaico plano
Configuración de vértice.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Un tetraedro regular puede verse como un poliedro degenerado, un trapezoedro digonal dual uniforme , que contiene 6 vértices, en dos conjuntos de aristas colineales.

Familia de trapezoedros n -gonales

Nombre del trapezoedro	Trapezoedro digonal ( tetraedro )	Trapezoedro trigonal	Trapezoedro tetragonal	Trapezoedro pentagonal	Trapezoedro hexagonal	Trapezoedro heptagonal	Trapezoedro octogonal	Trapezoedro decagonal	Trapezoedro dodecagonal	...	Trapezoedro apeirogonal
Imagen de poliedro										...
Imagen de mosaico esférico										Imagen de mosaico plano
Configuración de la cara	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Un proceso de truncamiento aplicado al tetraedro produce una serie de poliedros uniformes . Truncar los bordes hacia abajo en puntos produce el octaedro como un tetraedro rectificado. El proceso se completa como una birectificación, reduciendo las caras originales a puntos y produciendo el tetraedro auto-dual una vez más.

Familia de poliedros tetraédricos uniformes
Simetría : [3,3] , (* 332)							[3,3] + , (332)
{3,3}	t {3,3}	r {3,3}	t {3,3}	{3,3}	rr {3,3}	tr {3,3}	sr {3,3}
Poliedros duales a uniformes
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con los símbolos de Schläfli {3, n }, continuando hacia el plano hiperbólico .

* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: {3, n } v t mi
Esférico				Euclides.	Hiper compacto.		Paraco.	Hiperbólico no compacto
3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3 ∞	3 12i	3 9i	3 6i	3 3i

El tetraedro está relacionado topológicamente con una serie de poliedros regulares y teselaciones con figuras de vértice de orden 3 .

* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: { n , 3} v t mi
Esférico				Euclidiana	Hyperb compacto.		Paraco.	Hiperbólico no compacto
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

• Compuestos de tetraedros
• Dos tetraedros en un cubo

• Compuesto de cinco tetraedros

• Compuesto de diez tetraedros

Se puede construir un poliedro interesante a partir de cinco tetraedros que se cruzan . Este compuesto de cinco tetraedros se conoce desde hace cientos de años. Aparece con regularidad en el mundo del origami . Unir los veinte vértices formaría un dodecaedro regular . Hay formas tanto para zurdos como para diestros , que son imágenes especulares entre sí. La superposición de ambas formas da un compuesto de diez tetraedros , en el que los diez tetraedros están dispuestos como cinco pares de estelas octangulae.. Una stella octangula es un compuesto de dos tetraedros en posición dual y sus ocho vértices definen un cubo como su casco convexo.

El hosoedro cuadrado es otro poliedro con cuatro caras, pero no tiene caras triangulares.

Aplicaciones

Análisis numérico

Un volumen irregular en el espacio puede aproximarse mediante una superficie triangulada irregular y elementos de volumen tetraédricos irregulares.

En el análisis numérico , las formas tridimensionales complicadas se dividen comúnmente en, o se aproximan mediante, una malla poligonal de tetraedros irregulares en el proceso de establecer las ecuaciones para el análisis de elementos finitos, especialmente en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales . Estos métodos tienen amplias aplicaciones en aplicaciones prácticas en dinámica de fluidos computacional , aerodinámica , campos electromagnéticos , ingeniería civil , ingeniería química , arquitectura e ingeniería naval.y campos relacionados.

Ingeniería estructural

Un tetraedro que tiene bordes rígidos es inherentemente rígido. Por esta razón, a menudo se utiliza para endurecer estructuras de pórticos como los marcos espaciales .

Aviación

En algunos aeródromos , un gran marco en forma de tetraedro con dos lados cubiertos con un material delgado está montado sobre un pivote giratorio y siempre apunta hacia el viento. Está construido lo suficientemente grande como para ser visto desde el aire y, a veces, está iluminado. Su propósito es servir de referencia a los pilotos que indiquen la dirección del viento. ^[28]

Química

El ion amonio es tetraédrico

Cálculo del ángulo central con un producto escalar

Artículo principal: geometría molecular tetraédrica

La forma de tetraedro se ve en la naturaleza en moléculas unidas covalentemente . Todos los átomos con hibridación sp 3 están rodeados por átomos (o pares de electrones solitarios ) en las cuatro esquinas de un tetraedro. Por ejemplo, en una molécula de metano ( CH
₄) o un ion amonio ( NH⁺
₄), cuatro átomos de hidrógeno rodean un átomo central de carbono o nitrógeno con simetría tetraédrica. Por esta razón, una de las revistas líderes en química orgánica se llama Tetrahedron . El ángulo central entre dos vértices cualesquiera de un tetraedro perfecto es arccos ( -1 / 3 ), o aproximadamente 109,47 °. ^[5]

Agua , H
₂O , también tiene una estructura tetraédrica, con dos átomos de hidrógeno y dos pares de electrones solitarios alrededor de los átomos centrales de oxígeno. Sin embargo, su simetría tetraédrica no es perfecta porque los pares solitarios repelen más que los enlaces O – H simples.

Los diagramas de fases cuaternarias de mezclas de sustancias químicas se representan gráficamente como tetraedros.

Sin embargo, los diagramas de fase cuaternarios en la ingeniería de comunicaciones se representan gráficamente en un plano bidimensional.

Electricidad y electronica

Artículos principales: Electricidad y Electrónica

Si seis resistencias iguales se sueldan juntas para formar un tetraedro, entonces la resistencia medida entre dos vértices es la mitad que la de una resistencia. ^{[29] [30]}

Dado que el silicio es el semiconductor más común utilizado en la electrónica de estado sólido , y el silicio tiene una valencia de cuatro, la forma tetraédrica de los cuatro enlaces químicos en el silicio tiene una fuerte influencia en cómo se forman los cristales de silicio y qué formas asumen.

Espacio de color

Artículo principal: Espacio de color

Los tetraedros se utilizan en algoritmos de conversión de espacio de color específicamente para los casos en los que el eje de luminancia segmenta diagonalmente el espacio de color (por ejemplo, RGB, CMY). ^[31]

Juegos

Dados de 4 caras

El Juego Real de Ur , que data del 2600 a. C., se jugaba con un juego de dados tetraédricos.

Especialmente en los juegos de rol , este sólido se conoce como un dado de 4 lados , uno de los dados poliédricos más comunes , con el número que aparece en la parte inferior o en el vértice superior. Algunos rompecabezas similares al cubo de Rubik son tetraédricos, como Pyraminx y Pyramorphix .

Geología

Artículo principal: Geología

La hipótesis tetraédrica , publicada originalmente por William Lowthian Green para explicar la formación de la Tierra, ^[32] fue popular hasta principios del siglo XX. ^{[33] [34]}

Arsenal

Caltrop moderno con púas huecas para perforar neumáticos de goma autosellantes

Algunos abrojos se basan en tetraedros, ya que un pico apunta hacia arriba independientemente de cómo aterrizan y se pueden hacer fácilmente soldando dos clavos doblados.

Arte contemporáneo

Artículo principal: arte contemporáneo

La artista austriaca Martina Schettina creó un tetraedro utilizando lámparas fluorescentes . Se mostró en la bienal de arte de la luz de Austria 2010. ^[35]

Se utiliza como carátula del álbum, rodeada de llamas negras en The End of All Things to Come de Mudvayne .

Cultura popular

Stanley Kubrick originalmente pretendía que el monolito en 2001: A Space Odyssey fuera un tetraedro, según Marvin Minsky , un científico cognitivo y experto en inteligencia artificial que asesoró a Kubrick sobre la computadora HAL 9000 y otros aspectos de la película. Kubrick descartó la idea de usar el tetraedro como visitante que vio imágenes de él, no reconoció lo que era y no quería nada en la película que la gente común no entendiera. ^[36]

En la Temporada 6, Episodio 15 de Futurama , llamado " Möbius Dick ", la tripulación de Planet Express atraviesa un área en el espacio conocida como el Tetraedro de las Bermudas. Muchos otros barcos que pasan por la zona han desaparecido misteriosamente, incluido el de la primera tripulación de Planet Express.

En la película Oblivion de 2013, la gran estructura en órbita sobre la Tierra tiene un diseño de tetraedro y se conoce como Tet.

Gráfico tetraédrico

Gráfico tetraédrico
Vértices	4
Bordes	6
Radio	1
Diámetro	1
Circunferencia	3
Automorfismos	24
Número cromático	4
Propiedades	Hamiltoniano , normal , simétrica , distancia regular , distancia-transitivo , 3-vértice-conectado , gráfico planar
Tabla de gráficos y parámetros

El esqueleto del tetraedro (que comprende los vértices y los bordes) forma un gráfico , con 4 vértices y 6 bordes. Es un caso especial del gráfico completo , K ₄ , y del gráfico de rueda , W ₄ . ^[37] Es uno de los 5 gráficos platónicos , cada uno de los cuales es un esqueleto de su sólido platónico .

Simetría triple

Ver también

• Hélice de Boerdijk-Coxeter
• Configuración de Möbius
• Caltrop
• Demihypercube y simple - n análogos dimensionales
• Pentachoron - análogo de 4 dimensiones
• Tetra Pak
• Cometa tetraédrica
• Número tetraédrico
• Empaquetadura de tetraedro
• Bipirámide triangular : construida uniendo dos tetraedros a lo largo de una cara
• Tetraedro trirrectangular

Referencias

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enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el tetraedro .

• Weisstein, Eric W. "Tetrahedron" . MathWorld .
• Modelos en papel gratuitos de un tetraedro y muchos otros poliedros
• Un asombroso tetraedro no regular que llena el espacio y que también incluye una descripción de un "anillo giratorio de tetraedros", también conocido como caleidociclo .

v t mi Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia	Un n	B n	Yo 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme	Pentacoron	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes	5 simplex	5-ortoplex • 5-cubo	5-demicubo
6 politopos uniformes	6-simplex	6 ortoplex • 6 cubos	6-demicubo	1 22 • 2 21
7 politopos uniformes	7-simplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicubo	1 32 • 2 31 • 3 21
Politopo uniforme de 8	8 simplex	8 ortoplex • 8 cubos	8-demicubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes	9 simplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubo
Politopo uniforme 10	10-simplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubo
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplejo • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
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