En matemáticas , la aritmética de variedades abelianas es el estudio de la teoría de números de una variedad abeliana o una familia de variedades abelianas. Se remonta a los estudios de Pierre de Fermat sobre lo que ahora se reconoce como curvas elípticas ; y se ha convertido en un área muy importante de la geometría aritmética tanto en términos de resultados como de conjeturas. La mayoría de estos se pueden plantear para una variedad abeliana A sobre un campo numérico K ; o más en general (para campos globales o campos o anillos generados finitamente más generales).
Puntos enteros en variedades abelianas
Aquí hay cierta tensión entre los conceptos: el punto entero pertenece en cierto sentido a la geometría afín , mientras que la variedad abeliana se define inherentemente en la geometría proyectiva . Los resultados básicos, como el teorema de Siegel sobre puntos integrales , provienen de la teoría de la aproximación diofántica .
Puntos racionales sobre las variedades abelianas
El resultado básico, el teorema de Mordell-Weil en geometría diofántica , dice que A ( K ), el grupo de puntos en A sobre K , es un grupo abeliano generado finitamente . Se conoce mucha información sobre sus posibles subgrupos de torsión , al menos cuando A es una curva elíptica. Se cree que la cuestión del rango está ligada a las funciones L (ver más abajo).
La teoría torsor aquí conduce al grupo Selmer y al grupo Tate-Shafarevich , siendo este último (conjeturalmente finito) difícil de estudiar.
Alturas
La teoría de las alturas juega un papel destacado en la aritmética de las variedades abelianas. Por ejemplo, la altura canónica de Néron-Tate es una forma cuadrática con propiedades notables que aparecen en el enunciado de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer .
Reducción mod p
La reducción de una variedad abeliana A módulo un ideal primo de (los enteros de) K - digamos, un número primo p - para obtener una variedad abeliana A p sobre un campo finito , es posible para casi todo p . Se sabe que los números primos 'malos', para los que la reducción degenera adquiriendo puntos singulares , revelan información muy interesante. Como sucede a menudo en la teoría de números, los números primos "malos" desempeñan un papel bastante activo en la teoría.
Aquí no siempre se puede evitar una teoría refinada de (en efecto) un adjunto derecho al mod p de reducción , el modelo de Néron . En el caso de una curva elíptica hay un algoritmo de John Tate que la describe.
Funciones L
Para variedades abelianas como A p , existe una definición de función zeta local disponible. Para obtener una función L para A, se toma un producto de Euler adecuado de tales funciones locales; para comprender el número finito de factores para los números primos "malos", hay que consultar el módulo Tate de A, que es (dual) el grupo de cohomología étale H 1 (A), y la acción del grupo de Galois sobre él. De esta manera, se obtiene una definición respetable de la función L de Hasse-Weil para A. En general, sus propiedades, como la ecuación funcional , todavía son conjeturas: la conjetura de Taniyama-Shimura (que se demostró en 2001) fue solo un caso especial, así que eso no es de extrañar.
Es en términos de esta función L que se plantea la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . Es solo un aspecto particularmente interesante de la teoría general sobre los valores de las funciones L L ( s ) en valores enteros de s , y hay mucha evidencia empírica que lo respalda.
Multiplicación compleja
Desde la época de Carl Friedrich Gauss (que conocía el caso de la función lemniscate ) se conoce el papel especial de esas variedades abelianas.con automorfismos adicionales y, en general, endomorfismos. En cuanto al anillo, hay una definición de variedad abeliana de tipo CM que destaca a la clase más rica. Estos son especiales en su aritmética. Esto se ve en sus funciones L en términos bastante favorables: el análisis armónico requerido es todo del tipo de dualidad Pontryagin , en lugar de necesitar representaciones automórficas más generales . Eso refleja una buena comprensión de sus módulos Tate como módulos de Galois . También los hace más difíciles de manejar en términos de la geometría algebraica conjetural ( conjetura de Hodge y conjetura de Tate ). En esos problemas, la situación especial es más exigente que la general.
En el caso de las curvas elípticas, el Kronecker Jugendtraum fue el programa propuesto por Leopold Kronecker , para usar curvas elípticas de tipo CM para hacer teoría de campo de clases explícitamente para campos cuadráticos imaginarios , de la misma manera que las raíces de la unidad permiten hacer esto para el campo de los números racionales. Esto se generaliza, pero en cierto sentido con pérdida de información explícita (como es típico de varias variables complejas ).
Conjetura de Manin-Mumford
La conjetura de Manin-Mumford de Yuri Manin y David Mumford , probada por Michel Raynaud , [1] [2] establece que una curva C en su variedad jacobiana J solo puede contener un número finito de puntos que son de orden finito (un punto de torsión ) en J , a menos que C = J . Hay otras versiones más generales, como la conjetura de Bogomolov, que generaliza el enunciado a puntos de no torsión.
Referencias
- ^ Raynaud, Michel (1983). "Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion". En Artin, Michael ; Tate, John (eds.). Aritmética y geometría. Artículos dedicados a IR Shafarevich con motivo de su sexagésimo cumpleaños. Vol. Yo: Aritmética . Progreso en Matemáticas (en francés). 35 . Birkhäuser-Boston. págs. 327–352. Señor 0717600 . Zbl 0581.14031 .
- ^ Roessler, Damian (2005). "Una nota sobre la conjetura de Manin-Mumford". En van der Geer, Gerard; Moonen, Ben; Schoof, René (eds.). Campos numéricos y campos de función: dos mundos paralelos . Progreso en Matemáticas. 239 . Birkhäuser. págs. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4. Señor 2176757 . Zbl 1098.14030 .