3 colectores

Espacio que localmente se parece al espacio euclidiano tridimensional

Una imagen del interior de un toro 3 . Todos los cubos de la imagen son el mismo cubo, ya que la luz en el colector se envuelve en bucles cerrados, el efecto es que el cubo está cubriendo todo el espacio. Este espacio tiene un volumen finito y no tiene límites.

En matemáticas , una variedad tridimensional es un espacio que localmente se parece a un espacio tridimensional euclidiano. Se puede pensar en una variedad tridimensional como una posible forma del universo . Así como una esfera parece un plano para un observador lo suficientemente pequeño, todas las variedades 3 se ven como lo hace nuestro universo para un observador lo suficientemente pequeño. Esto se hace más preciso en la definición siguiente.

Introducción

Definición

Un espacio topológico X es una variedad 3 si es un segundo espacio de Hausdorff contable y si cada punto en X tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio 3 euclidiano .

Teoría matemática de 3 variedades

Las categorías topológica, lineal a trozos y suave son todas equivalentes en tres dimensiones, por lo que se hace poca distinción en cuanto a si estamos tratando, por ejemplo, con 3 variedades topológicas o 3 variedades suaves.

Los fenómenos en tres dimensiones pueden ser sorprendentemente diferentes de los fenómenos en otras dimensiones, por lo que prevalecen técnicas muy especializadas que no se generalizan a dimensiones mayores a tres. Este papel especial ha llevado al descubrimiento de conexiones cercanas a una diversidad de otros campos, tales como la teoría de nudos , la teoría de grupos geométrico , geometría hiperbólica , la teoría de números , teoría Teichmüller , teoría cuántica de campos topológica , teoría del calibrador , homología Floer , y diferencial parcial ecuaciones . La teoría de tres variedades se considera parte de la topología de baja dimensión otopología geométrica .

Una idea clave en la teoría es estudiar una variedad 3 considerando superficies especiales incrustadas en ella. Se puede elegir la superficie para que esté bien colocada en el 3-manifold, lo que lleva a la idea de una superficie incompresible y a la teoría de los manifolds de Haken , o se pueden elegir las piezas complementarias para que sean lo más agradables posible, dando lugar a estructuras como Divisiones Heegaard , que son útiles incluso en el caso de no Haken.

Las contribuciones de Thurston a la teoría permiten también considerar, en muchos casos, la estructura adicional dada por una geometría particular del modelo de Thurston (de las cuales hay ocho). La geometría más prevalente es la geometría hiperbólica. El uso de una geometría además de superficies especiales suele ser fructífero.

Los grupos fundamentales de 3 variedades reflejan fuertemente la información geométrica y topológica que pertenece a una 3 variedad. Por tanto, existe una interacción entre la teoría de grupos y los métodos topológicos.

Invariantes que describen 3 variedades

Los 3-manifolds son un caso especial interesante de topología de baja dimensión porque sus invariantes topológicos dan mucha información sobre su estructura en general. Si dejamos${\displaystyle M}$ ser un 3-múltiple y ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$sea ​​su grupo fundamental, entonces se puede derivar mucha información de ellos. Por ejemplo, usando la dualidad de Poincaré y el teorema de Hurewicz , tenemos los siguientes cálculos

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

donde los dos últimos grupos son isomorfos a la homología y cohomología de grupo de${\displaystyle \pi }$, respectivamente; eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}}$

A partir de esta información se puede encontrar una clasificación teórica básica de homotopía de 3 variedades ^[1] . Nota de la torre Postnikov hay un mapa canónico

${\displaystyle q:M\to B\pi }$

Si tomamos el impulso de la clase fundamental ${\displaystyle [M]\in H_{3}(M)}$ en ${\displaystyle H_{3}(B\pi )}$ obtenemos un elemento ${\displaystyle \zeta _{M}=q_{*}([M])}$. Resulta que el grupo${\displaystyle \pi }$ junto con la clase de homología de grupo ${\displaystyle \zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )}$da una descripción algebraica completa del tipo de homotopía de${\displaystyle M}$.

Sumas conectadas

Una operación topológica importante es la suma conectada de dos 3 colectores${\displaystyle M_{1}\#M_{2}}$. De hecho, a partir de los teoremas generales de topología, encontramos para una variedad de tres con una descomposición suma conectada${\displaystyle M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}}$ los invariantes de arriba para ${\displaystyle M}$ se puede calcular a partir de la ${\displaystyle M_{i}}$. En particular

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(M)&=H_{1}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{1}(M_{n})\\H_{2}(M)&=H_{2}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{2}(M_{n})\\\pi _{1}(M)&=\pi _{1}(M_{1})*\cdots *\pi _{1}(M_{n})\end{aligned}}}$

Además, un colector de 3 ${\displaystyle M}$lo que no puede describirse como una suma conectada de dos 3 variedades se llama prima .

Segundos grupos de homotopía

Para el caso de un 3-múltiple dado por una suma conectada de 3 primos-múltiples, resulta que hay una buena descripción del segundo grupo fundamental como un ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}$-módulo. ^[2] Para el caso especial de tener cada${\displaystyle \pi _{1}(M_{i})}$ es infinito pero no cíclico, si tomamos incrustaciones basadas en 2 esferas

${\displaystyle \sigma _{i}:S^{2}\to M}$ donde ${\displaystyle \sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M}$

entonces el segundo grupo fundamental tiene la presentación

${\displaystyle \pi _{2}(M)={\frac {\mathbb {Z} [\pi ]\{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\}}{(\sigma _{1}+\cdots +\sigma _{n})}}}$

dando un cálculo sencillo de este grupo.

Ejemplos importantes de 3 variedades

3 espacios euclidianos

El espacio tridimensional euclidiano es el ejemplo más importante de una variedad tridimensional, ya que todos los demás se definen en relación con él. Este es solo el espacio vectorial tridimensional estándar sobre los números reales.

3 esferas

Proyección estereográfica de los paralelos de la hiperesfera (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Debido a que esta proyección es conforme , las curvas se cruzan entre sí ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que se cruzan <0,0,0,1> tienen un radio infinito (= línea recta).

Una esfera tridimensional es un análogo dimensional superior de una esfera . Consiste en el conjunto de puntos equidistantes de un punto central fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . Así como una esfera ordinaria (o 2-esferas) es una superficie bidimensional que forma el límite de una bola en tres dimensiones, una 3-esfera es un objeto con tres dimensiones que forma el límite de una bola en cuatro dimensiones. Se pueden construir muchos ejemplos de 3-variedades tomando cocientes de la 3-esfera por un grupo finito${\displaystyle \pi }$ actuando libremente en ${\displaystyle S^{3}}$ a través de un mapa ${\displaystyle \pi \to {\text{SO}}(4)}$, asi que ${\displaystyle M=S^{3}/\pi }$. ^[3]

3 espacios proyectivos reales

El 3-espacio proyectivo real, o RP ³ , es el espacio topológico de líneas que pasan por el origen 0 en R ⁴ . Es un colector compacto y liso de dimensión 3 , y es un caso especial Gr (1, R ⁴ ) de un espacio Grassmanniano .

RP ³ es ( difeomórfico a) SO (3) , por lo que admite una estructura de grupo; el mapa de cobertura S ³ → RP ³ es un mapa de los grupos Spin (3) → SO (3), donde Spin (3) es un grupo de Lie que es la cobertura universal de SO (3).

3-toro

El toro tridimensional es el producto de 3 círculos. Eso es:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.}$

El 3-toro, T ³ puede describirse como un cociente de R ³ bajo cambios integrales en cualquier coordenada. Es decir, el 3-toro es R ³ módulo la acción del entramado de números enteros Z ³ (con la acción que se toma como suma vectorial). De manera equivalente, el toro tridimensional se obtiene del cubo tridimensional pegando las caras opuestas.

Un toro tridimensional en este sentido es un ejemplo de una variedad compacta tridimensional . También es un ejemplo de un grupo de Lie abeliano compacto . Esto se deriva del hecho de que el círculo unitario es un grupo de Lie abeliano compacto (cuando se identifica con los números complejos unitarios con multiplicación). La multiplicación de grupos en el toro se define mediante la multiplicación por coordenadas.

3 espacios hiperbólicos

Proyección en perspectiva de un teselado dodecaédrico en H 3 .
Cuatro dodecaedros se encuentran en cada borde y ocho se encuentran en cada vértice, como los cubos de una teselación cúbica en E 3

Espacio hiperbólico es un espacio homogéneo que puede ser caracterizada por una constante negativa curvatura . Es el modelo de geometría hiperbólica . Se distingue de los espacios euclidianos con curvatura cero que definen la geometría euclidiana , y los modelos de geometría elíptica (como las 3 esferas ) que tienen una curvatura positiva constante. Cuando está incrustado en un espacio euclidiano (de una dimensión superior), cada punto de un espacio hiperbólico es un punto de silla . Otra propiedad distintiva es la cantidad de espacio que cubre la bola 3.en 3-espacio hiperbólico: aumenta exponencialmente con respecto al radio de la bola, en lugar de polinomialmente.

Espacio dodecaédrico de Poincaré

La esfera de homología de Poincaré (también conocida como espacio dodecaédrico de Poincaré) es un ejemplo particular de esfera de homología. Al ser un 3-múltiple esférico , es la única 3-esfera de homología (además de la 3-esfera misma) con un grupo fundamental finito . Su grupo fundamental se conoce como grupo icosaédrico binario y tiene el orden 120. Esto muestra que la conjetura de Poincaré no se puede enunciar únicamente en términos de homología.

En 2003, la falta de estructura en las escalas más grandes (por encima de 60 grados) en el fondo de microondas cósmico observada durante un año por la nave espacial WMAP llevó a la sugerencia, por Jean-Pierre Luminet del Observatoire de Paris y sus colegas, de que la forma del universo es una esfera de Poincaré. ^{[4] [5]} En 2008, los astrónomos encontraron la mejor orientación en el cielo para el modelo y confirmaron algunas de las predicciones del modelo, utilizando tres años de observaciones de la nave espacial WMAP. ^[6] Sin embargo, todavía no hay un fuerte apoyo para la corrección del modelo.

Espacio Seifert – Weber

En matemáticas , el espacio de Seifert-Weber (introducido por Herbert Seifert y Constantin Weber) es una triple variedad hiperbólica cerrada . También se lo conoce como espacio dodecaédrico de Seifert-Weber y espacio dodecaédrico hiperbólico . Es uno de los primeros ejemplos descubiertos de tres variedades hiperbólicas cerradas.

Se construye pegando cada cara de un dodecaedro a su opuesto de una manera que produce una variedad tridimensional cerrada. Hay tres formas de hacer este encolado de forma coherente. Las caras opuestas están desalineadas en 1/10 de vuelta, por lo que para hacerlas coincidir deben rotarse 1/10, 3/10 o 5/10 de vuelta; una rotación de 3/10 da el espacio Seifert-Weber. La rotación de 1/10 da la esfera de homología de Poincaré , y la rotación de 5/10 da un espacio proyectivo real tridimensional .

Con el patrón de encolado de 3/10 de vuelta, los bordes del dodecaedro original se pegan entre sí en grupos de cinco. Así, en el espacio Seifert-Weber, cada borde está rodeado por cinco caras pentagonales y el ángulo diedro entre estos pentágonos es de 72 °. Esto no coincide con el ángulo diedro de 117 ° de un dodecaedro regular en el espacio euclidiano, pero en el espacio hiperbólico existen dodecaedros regulares con cualquier ángulo diedro entre 60 ° y 117 °, y el dodecaedro hiperbólico con ángulo diedro 72 ° puede usarse para dar el espacio Seifert-Weber una estructura geométrica como una variedad hiperbólica. Es un espacio cociente del panal dodecaédrico de orden 5 , una teselación regular de3-espacio hiperbólico por dodecaedros con este ángulo diedro.

Colector Gieseking

En matemáticas , la variedad de Gieseking es una variedad triple hiperbólica cúspide de volumen finito. No es orientable y tiene el volumen más pequeño entre los colectores hiperbólicos no compactos, con un volumen de aproximadamente 1.01494161. Fue descubierto por Hugo Gieseking ( 1912 ).

La variedad de Gieseking se puede construir quitando los vértices de un tetraedro , luego pegando las caras juntas en pares usando mapas afines lineales. Rotula los vértices 0, 1, 2, 3. Pega la cara con vértices 0,1,2 a la cara con vértices 3,1,0 en ese orden. Pegue la cara 0,2,3 a la cara 3,2,1 en ese orden. En la estructura hiperbólica de la variedad de Gieseking, este tetraedro ideal es la descomposición poliédrica canónica de David BA Epstein y Robert C. Penner. ^[7] Además, el ángulo formado por las caras es${\displaystyle \pi /3}$. La triangulación tiene un tetraedro, dos caras, un borde y no tiene vértices, por lo que todos los bordes del tetraedro original están pegados.

Algunas clases importantes de 3 variedades

• Colector gráfico
• Colector Haken
• Esferas de homología
• Colector hiperbólico de 3
• I-paquetes
• Complementos de nudos y eslabones
• Espacio de la lente
• Espacios de fibra Seifert , paquetes circulares
• Colector esférico de 3
• Paquetes de superficie sobre el círculo
• Paquete de toro

Complementos de enlace hiperbólico

Los anillos borromeos son un enlace hiperbólico.

Un enlace hiperbólico es un enlace en la 3-esfera con complemento que tiene una métrica Riemanniana completa de curvatura negativa constante , es decir, tiene una geometría hiperbólica . Un nudo hiperbólico es un enlace hiperbólico con un componente .

Los siguientes ejemplos son particularmente bien conocidos y estudiados.

• Figura ocho nudo
• Enlace de Whitehead
• Anillos borromeos

Las clases no son necesariamente excluyentes entre sí.

Algunas estructuras importantes en 3 variedades

Geometría de contacto

La geometría de contacto es el estudio de una estructura geométrica en variedades suaves dada por una distribución de hiperplano en el haz tangente y especificada por una forma única , las cuales satisfacen una condición de 'no degeneración máxima' llamada 'no integrabilidad completa'. A partir del teorema de Frobenius , se reconoce la condición como opuesta a la condición de que la distribución sea determinada por una foliación de codimensión uno en la variedad ("integrabilidad completa").

La geometría de contacto es, en muchos sentidos, una contraparte de dimensión impar de la geometría simpléctica , que pertenece al mundo de dimensión par. Tanto la geometría de contacto como la simpléctica están motivadas por el formalismo matemático de la mecánica clásica , donde se puede considerar el espacio de fase de dimensión par de un sistema mecánico o el espacio de fase extendido de dimensión impar que incluye la variable de tiempo.

Colector Haken

Un colector Haken es un colector de 3 compactos , irreducible en P² , que es lo suficientemente grande , lo que significa que contiene una superficie incompresible de dos lados correctamente incrustada . A veces se consideran solo variedades Haken orientables, en cuyo caso una variedad Haken es una variedad tridimensional compacta, orientable e irreducible que contiene una superficie orientable e incompresible.

Se dice que un colector 3 finitamente cubierto por un colector Haken es virtualmente Haken . La conjetura de Virtually Haken afirma que toda variedad tridimensional compacta e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente Haken.

Las variedades Haken fueron introducidas por Wolfgang Haken. Haken demostró que las variedades Haken tienen una jerarquía , donde se pueden dividir en 3 bolas a lo largo de superficies incompresibles. Haken también demostró que existía un procedimiento finito para encontrar una superficie incompresible si el 3-múltiple tenía una. Jaco y Oertel dieron un algoritmo para determinar si una variedad de 3 era Haken.

Laminación esencial

Una laminación esencial es una laminación en la que cada hoja es incompresible y al final incompresible, si las regiones complementarias de la laminación son irreductibles y si no hay hojas esféricas.

Las laminaciones esenciales generalizan las superficies incompresibles que se encuentran en las variedades Haken.

Heegaard partiendo

Una división de Heegaard es una descomposición de un colector de 3 orientado compacto que resulta de dividirlo en dos manijas .

Todos los tres colectores cerrados orientables pueden obtenerse así; esto se sigue de los resultados profundos sobre la triangulabilidad de tres variedades debido a Moise . Esto contrasta fuertemente con las variedades de dimensiones superiores que no necesitan admitir estructuras lineales lisas o por partes. Suponiendo suavidad, la existencia de una división de Heegaard también se deriva del trabajo de Smale sobre las descomposiciones de mango de la teoría de Morse.

Foliación tensa

Una foliación tensa es una foliación de codimensión 1 de una variedad 3 con la propiedad de que hay un solo círculo transversal que cruza cada hoja. Por círculo transversal se entiende un bucle cerrado que siempre es transversal al campo tangente de la foliación. De manera equivalente, como resultado de Dennis Sullivan , una foliación de codimensión 1 es tensa si existe una métrica de Riemann que hace que cada hoja sea una superficie mínima .

Las foliaciones tensas se destacaron gracias al trabajo de William Thurston y David Gabai .

Resultados fundamentales

Algunos resultados se denominan conjeturas como resultado de artefactos históricos.

Empezamos por lo puramente topológico:

Teorema de Moise

En topología geométrica , el teorema de Moise , probado por Edwin E. Moise en, establece que cualquier 3-variedad topológica tiene una estructura lineal a trozos esencialmente única y una estructura suave .

Como corolario, cada colector compacto de 3 tiene una división Heegaard .

Teorema de descomposición prima

El teorema de la descomposición prima para 3 variedades establece que cada 3 variedades compactas y orientables es la suma conectada de una colección única ( hasta el homeomorfismo ) de 3 variedades principales .

Una variedad es prima si no puede presentarse como una suma conectada de más de una variedad, ninguna de las cuales es la esfera de la misma dimensión.

Finitud de Kneser-Haken

La finitud de Kneser-Haken dice que para cada 3-variedad, hay una constante C tal que cualquier colección de superficies de cardinalidad mayor que C debe contener elementos paralelos.

Teoremas de bucle y esfera

El teorema del lazo es una generalización del lema de Dehn y debería llamarse más apropiadamente el "teorema del disco". Fue probado por primera vez por Christos Papakyriakopoulos en 1956, junto con el lema de Dehn y el teorema de Esfera .

Una versión simple y útil del teorema del bucle establece que si hay un mapa

${\displaystyle f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)\,}$

con ${\displaystyle f|\partial D^{2}}$ no nulo homotópico en ${\displaystyle \partial M}$, entonces hay una incrustación con la misma propiedad.

El teorema de la esfera de Papakyriakopoulos  ( 1957 ) da las condiciones para que los elementos del segundo grupo de homotopía de una variedad 3 sean representados por esferas incrustadas.

Un ejemplo es el siguiente:

Dejar ${\displaystyle M}$ser un 3-colector orientable tal que${\displaystyle \pi _{2}(M)}$no es el grupo trivial. Entonces existe un elemento distinto de cero de${\displaystyle \pi _{2}(M)}$tener un representante que sea una incrustación ${\displaystyle S^{2}\to M}$.

Teoremas de anillo y toro

El teorema del anillo establece que si un par de curvas cerradas simples disjuntas en el límite de una variedad de tres son libremente homotópicas, entonces counen un anillo correctamente incrustado. Esto no debe confundirse con el teorema de alta dimensión del mismo nombre.

El teorema del toro es el siguiente: Sea M una variedad tridimensional compacta e irreducible con un límite no vacío. Si M admite un mapa esencial de un toro, entonces M admite una incrustación esencial de un toro o un anillo ^[8]

Descomposición JSJ

La descomposición JSJ , también conocida como descomposición toral , es una construcción topológica dada por el siguiente teorema:

Los 3 colectores cerrados, orientables e irreducibles (es decir, compactos y sin límite) tienen una colección mínima única (hasta isotopía ) de toros incompresibles incrustados disjuntamente, de modo que cada componente del colector 3 obtenido cortando a lo largo del toro es atoroidal o Seifert- fibrado .

El acrónimo JSJ es para William Jaco , Peter Shalen y Klaus Johannson . Los dos primeros trabajaron juntos y el tercero de forma independiente. ^{[9] [10]}

Teorema del núcleo de Scott

El teorema del núcleo de Scott es un teorema sobre la presentabilidad finita de grupos fundamentales de 3 variedades debido a G. Peter Scott . ^[11] La declaración precisa es la siguiente:

Dado un 3-múltiple (no necesariamente compacto ) con un grupo fundamental finitamente generado , hay un sub -múltiple compacto tridimensional , llamado núcleo compacto o núcleo de Scott , de modo que su mapa de inclusión induce un isomorfismo en grupos fundamentales. En particular, esto significa que un grupo de tres múltiples generados finitamente es presentable finitamente .

Se da una prueba simplificada en, ^[12] y se prueba una declaración de unicidad más fuerte. ^[13]

Teorema de Lickorish-Wallace

El teorema de Lickorish-Wallace establece que cualquier 3-múltiple cerrado , orientable y conectado puede obtenerse realizando una cirugía de Dehn en un enlace enmarcado en la 3-esfera con${\displaystyle \pm 1}$coeficientes de cirugía. Además, se puede suponer que cada componente del enlace no está anudado.

Teoremas de Waldhausen sobre rigidez topológica

Los teoremas de Friedhelm Waldhausen sobre la rigidez topológica dicen que ciertas variedades 3 (como las que tienen una superficie incompresible) son homeomorfas si hay un isomorfismo de grupos fundamentales que respeta la frontera.

Conjetura de Waldhausen sobre las escisiones de Heegaard

Waldhausen conjeturó que cada variedad 3 orientable cerrada tiene solo un número finito de escisiones de Heegaard (hasta el homeomorfismo) de cualquier género dado.

Conjetura de Smith

La conjetura de Smith (ahora probada) establece que si f es un difeomorfismo de las 3 esferas de orden finito , entonces el conjunto de puntos fijos de f no puede ser un nudo no trivial .

Teorema de la cirugía cíclica

La cirugía cíclico teorema afirma que, para un compacto , conectado , orientable , irreducible de tres colector M cuyo límite es un toroide T , si M no es un espacio Fibered-Seifert y r, s son pistas en T de tal manera que sus rellenos Dehn tienen grupo fundamental cíclico, entonces la distancia entre r y s (el número mínimo de veces que dos simples cerrado curvas en T que representa r y sdebe intersecar) es como máximo 1. En consecuencia, hay como máximo tres rellenos Dehn de M con grupo fundamental cíclico.

Teorema de cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston y teorema de Jørgensen-Thurston

El teorema de la cirugía de Dehn hiperbólica de Thurston establece: ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$es hiperbólico mientras un conjunto finito de pendientes excepcionales ${\displaystyle E_{i}}$se evita para la i -ésima cúspide de cada i . Además,${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$converge a M en H como todos${\displaystyle p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty }$ para todos ${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$ correspondiente a empastes de Dehn no vacíos ${\displaystyle u_{i}}$.

Este teorema se debe a William Thurston y es fundamental para la teoría de las variedades 3 hiperbólicas. Esto demuestra que existen límites no triviales en H . El estudio de Troels Jorgensen de la topología geométrica muestra además que todos los límites no triviales surgen por el relleno de Dehn como en el teorema.

Otro resultado importante de Thurston es que el volumen disminuye con el llenado hiperbólico de Dehn. De hecho, el teorema establece que el volumen disminuye con el llenado topológico de Dehn, asumiendo, por supuesto, que la variedad llena de Dehn es hiperbólica. La prueba se basa en propiedades básicas de la norma de Gromov .

Jørgensen también demostró que la función de volumen en este espacio es una función continua y adecuada . Así, según los resultados anteriores, los límites no triviales en H se llevan a límites no triviales en el conjunto de volúmenes. De hecho, se puede concluir además, como lo hizo Thurston, que el conjunto de volúmenes de 3-variedades hiperbólicas de volumen finito tiene tipo ordinal ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$. Este resultado se conoce como el teorema de Thurston-Jørgensen . Gromov realizó más trabajos que caracterizan este conjunto .

Además, Gabai, Meyerhoff & Milley demostraron que el colector Weeks tiene el volumen más pequeño de cualquier colector 3 hiperbólico orientable cerrado.

Teorema de hiperbolización de Thurston para variedades de Haken

Una forma del teorema de geometrización de Thurston establece: Si M es una variedad de Haken atoroidal compacta e irreducible cuyo límite tiene una característica de Euler cero, entonces el interior de M tiene una estructura hiperbólica completa de volumen finito.

El teorema de rigidez de Mostow implica que si una variedad de dimensión al menos 3 tiene una estructura hiperbólica de volumen finito, entonces es esencialmente única.

Las condiciones de que el colector M debe ser irreducible y atoroidal son necesarias, ya que los colectores hiperbólicos tienen estas propiedades. Sin embargo, la condición de que la variedad sea Haken es innecesariamente fuerte. La conjetura de hiperbolización de Thurston establece que una variedad tridimensional atoroidal irreducible cerrada con un grupo fundamental infinito es hiperbólica, y esto se sigue de la prueba de Perelman de la conjetura de geometrización de Thurston.

Conjetura de mansedumbre, también llamada conjetura de Marden o conjetura de mansos finales

El teorema de la mansedumbre establece que cada triple múltiple hiperbólico completo con grupo fundamental finitamente generado es topológicamente dócil , en otras palabras, homeomórfico al interior de un triple múltiple compacto .

El teorema de la mansedumbre fue conjeturado por Marden. Fue probado por Agol y, de forma independiente, por Danny Calegari y David Gabai . Es una de las propiedades fundamentales de las variedades 3 hiperbólicas geométricamente infinitas, junto con el teorema de la densidad para los grupos kleinianos y el teorema de la laminación final . También implica la conjetura de la medida de Ahlfors .

Conjetura de laminación final

El teorema de la laminación final , originalmente conjeturado por William Thurston y más tarde probado por Jeffrey Brock , Richard Canary y Yair Minsky, establece que las variedades 3 hiperbólicas con grupos fundamentales generados finitamente están determinadas por su topología junto con ciertos "invariantes finales", que son laminaciones geodésicas en algunas superficies en el límite del colector.

Conjetura de Poincaré

La 3-esfera es una variedad de 3 especialmente importante debido a la conjetura de Poincaré ahora probada . Conjeturado originalmente por Henri Poincaré , el teorema se refiere a un espacio que localmente se parece a un espacio tridimensional ordinario, pero está conectado, es de tamaño finito y carece de cualquier límite (una variedad tridimensional cerrada ). La conjetura de Poincaré afirma que si tal espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio puede ajustarse continuamente a un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Un resultado análogo se conoce desde hace algún tiempo en dimensiones superiores.

Después de casi un siglo de esfuerzo por parte de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una prueba de la conjetura en tres artículos disponibles en 2002 y 2003 en arXiv . La prueba siguió el programa de Richard S. Hamilton para utilizar el flujo de Ricci para atacar el problema. Perelman introdujo una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado flujo de Ricci con cirugía para extirpar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de manera controlada. Varios equipos de matemáticos han verificado que la prueba de Perelman es correcta.

Conjetura de geometrización de Thurston

La conjetura de geometrización de Thurston establece que ciertos espacios topológicos tridimensionales tienen cada uno una estructura geométrica única que puede asociarse con ellos. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a cada superficie de Riemann simplemente conectada se le puede dar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica).). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a un espacio topológico completo. En cambio, la conjetura de la geometrización establece que cada 3-múltiple cerrado se puede descomponer de manera canónica en piezas que tienen cada una uno de los ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston (1982) e implica varias otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston .

El teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades de Haken satisfacen la conjetura de geometrización. Thurston anunció una prueba en la década de 1980 y desde entonces han aparecido impresas varias pruebas completas.

Grigori Perelman esbozó una prueba de la conjetura de geometrización completa en 2003 utilizando el flujo de Ricci con cirugía . Ahora hay varios manuscritos diferentes (ver más abajo) con detalles de la prueba. La conjetura de Poincaré y la conjetura de la forma del espacio esférico son corolarios de la conjetura de la geometrización, aunque hay pruebas más breves de la primera que no conducen a la conjetura de la geometrización.

Conjetura virtualmente fibrada y conjetura virtualmente Haken

La conjetura prácticamente Fibered , formulado por Americana matemático William Thurston , estados que cada cerrado , irreducible , atórica infinito 3-colector con grupo fundamental tiene un finito cubierta que es un haz de superficie sobre el círculo .

La conjetura virtualmente de Haken establece que toda variedad tridimensional compacta , orientable e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente Haken . Es decir, tiene una cobertura finita (un espacio de cobertura con un mapa de cobertura finito a uno) que es una variedad Haken .

En una publicación en el ArXiv el 25 de agosto de 2009, ^[14] Daniel Wise implicó implícitamente (refiriéndose a un manuscrito más largo inédito en ese momento) que había probado la conjetura virtualmente fibrada para el caso en el que el 3-múltiple es cerrado, hiperbólico y Haken. Esto fue seguido por un artículo de encuesta en Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. ^[15] Han seguido varios preprints ^[16] , incluido el manuscrito más extenso antes mencionado de Wise. ^[17] En marzo de 2012, durante una conferencia en el Institut Henri Poincaré en París, Ian Agol anunció que podía probar la conjetura virtualmente de Haken para 3 colectores hiperbólicos cerrados. ^[18]La demostración se basó en los resultados de Kahn y Markovic ^{[19] [20]} en su demostración de la conjetura del subgrupo Surface y los resultados de Wise al demostrar el Teorema del cociente especial malnormal ^[17] y los resultados de Bergeron y Wise para la cubulación de grupos. ^[14] Tomado junto con los resultados de Wise, esto implica la conjetura virtualmente fibrada para todas las variedades 3 hiperbólicas cerradas.

Conjetura de bucle simple

Si ${\displaystyle f\colon S\rightarrow T}$ es un mapa de superficies cerradas conectadas de modo que ${\displaystyle f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)}$ no es inyectiva, entonces existe una curva cerrada simple no contractible ${\displaystyle \alpha \subset S}$ tal que ${\displaystyle f|_{a}}$es homotópicamente trivial. Esta conjetura fue probada por David Gabai .

Conjetura del subgrupo de superficie

La conjetura del subgrupo de superficie de Friedhelm Waldhausen establece que el grupo fundamental de toda variedad tridimensional cerrada e irreducible con grupo fundamental infinito tiene un subgrupo de superficie. Por "subgrupo de superficie" nos referimos al grupo fundamental de una superficie cerrada, no a las 2 esferas. Este problema aparece como Problema 3.75 en la lista de problemas de Robion Kirby . ^[21]

Suponiendo la conjetura de la geometrización , el único caso abierto fue el de tres variedades hiperbólicas cerradas . Una prueba de este caso fue anunciada en el verano de 2009 por Jeremy Kahn y Vladimir Markovic y esbozada en una charla el 4 de agosto de 2009 en la Conferencia FRG (Focused Research Group) organizada por la Universidad de Utah. Una preimpresión apareció en el archivo arxiv en octubre de 2009. ^[22] Su artículo fue publicado en Annals of Mathematics en 2012. ^[23] En junio de 2012, Kahn y Markovic recibieron los premios Clay Research Awards por el Clay Mathematics Institute en una ceremonia en Oxford . ^[24]

Conjeturas importantes

Conjetura de cableado

La conjetura del cableado establece que si la cirugía de Dehn en un nudo en la 3-esfera produce un 3-múltiple reducible, entonces ese nudo es un ${\displaystyle (p,q)}$-cable en algún otro nudo, y la cirugía debe haberse realizado utilizando la pendiente ${\displaystyle pq}$.

Lubotzky: conjetura de Sarnak

El grupo fundamental de cualquier colector n hiperbólico de volumen finito no tiene la propiedad τ.

Referencias

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Lectura adicional

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• Thurston, William P. (1982). "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica" . Boletín de la American Mathematical Society . 6 (3): 357–382. doi : 10.1090 / s0273-0979-1982-15003-0 . ISSN  0273-0979 .
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Enlaces externos

• Hatcher, Allen, Notes on basic 3-manifold topology , Cornell University
• Strickland, Neil, un bestiario de objetos topológicos