Onda trocoidal

En dinámica de fluidos , una onda trocoidal u onda de Gerstner es una solución exacta de las ecuaciones de Euler para ondas gravitatorias superficiales periódicas . Describe una onda progresiva de forma permanente sobre la superficie de un fluido incompresible de profundidad infinita. La superficie libre de esta solución ondulada es un trocoide invertido (al revés) , con crestas más afiladas y depresiones planas. Esta solución de ondas fue descubierta por Gerstner en 1802 y redescubierta de forma independiente por Rankine en 1863.

Elevación superficial de una onda trocoidal (azul profundo) que se propaga hacia la derecha. Las trayectorias de las partículas de la superficie libre son círculos cerrados (en cian) y la velocidad del flujo se muestra en rojo, para las partículas negras. La altura de la ola , la diferencia entre la elevación de la cresta y la vaguada, se indica como

{\ Displaystyle H}

, la longitud de onda como

{\ Displaystyle \ lambda}

y la velocidad de fase como

{\ Displaystyle c.}

El campo de flujo asociado a la onda trocoidea no es irrotacional : tiene vorticidad . La vorticidad es de una fuerza y distribución vertical tan específicas que las trayectorias de las parcelas de fluido son círculos cerrados. Esto contrasta con la observación experimental habitual de la deriva de Stokes asociada con el movimiento de las olas. Además, la velocidad de fase es independiente de la amplitud de la onda trocoidal , a diferencia de otras teorías de ondas no lineales (como las de la onda de Stokes y la onda cnoidal ) y observaciones. Por estas razones, así como por el hecho de que faltan soluciones para una profundidad de fluido finita, las ondas trocoidales tienen un uso limitado para aplicaciones de ingeniería.

En los gráficos por computadora , la representación de las olas del océano de aspecto realista se puede realizar mediante el uso de las llamadas olas de Gerstner . Se trata de una extensión multidireccional y multicomponente de la onda Gerstner tradicional, que a menudo utiliza transformadas rápidas de Fourier para hacer factible la animación (en tiempo real) . ^[1]

Descripción de la onda trocoidea clásica

Usando una especificación lagrangiana del campo de flujo , el movimiento de las parcelas de fluido es, para una onda periódica en la superficie de una capa de fluido de profundidad infinita: ^[2]

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} X (a, b, t) & = a + {\ frac {\ mathrm {e} ^ {kb}} {k}} \ sin \ left (k (a + ct) \ derecha), \\ Y (a, b, t) & = b - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {kb}} {k}} \ cos \ left (k (a + ct) \ right), \ end {alineado}}}

dónde ${\ Displaystyle x = X (a, b, t)}$ y ${\ Displaystyle y = Y (a, b, t)}$ son las posiciones de las parcelas de fluido en el ${\ Displaystyle (x, y)}$ avión a la vez ${\ Displaystyle t}$ , con ${\ Displaystyle x}$ la coordenada horizontal y ${\ Displaystyle y}$ la coordenada vertical (positiva hacia arriba, en la dirección opuesta a la gravedad). Las coordenadas de Lagrange ${\ Displaystyle (a, b)}$ etiquetar los paquetes de fluidos, con ${\ Displaystyle (x, y) = (a, b)}$ los centros de las órbitas circulares - alrededor de los cuales la correspondiente parcela de fluido se mueve con velocidad constante ${\ Displaystyle c \, \ exp (kb).}$ Más ${\ Displaystyle k = 2 \ pi / \ lambda}$ es el número de onda (y ${\ Displaystyle \ lambda}$ la longitud de onda ), mientras ${\ Displaystyle c}$ es la velocidad de fase con la que la onda se propaga en el ${\ Displaystyle x}$ -dirección. La velocidad de fase satisface la relación de dispersión :

{\ Displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {k}},}

que es independiente de la no linealidad de la ola (es decir, no depende de la altura de la ola ${\ Displaystyle H}$ ), y esta velocidad de fase ${\ Displaystyle c}$ lo mismo que para las ondas lineales de Airy en aguas profundas.

La superficie libre es una línea de presión constante y se corresponde con una línea ${\ Displaystyle b = b_ {s}}$ , dónde ${\ Displaystyle b_ {s}}$ es una constante (no positiva). Para ${\ Displaystyle b_ {s} = 0}$ ocurren las olas más altas, con una cresta en forma de cúspide . Tenga en cuenta que la onda de Stokes más alta (irrotacional) tiene un ángulo de cresta de 120 °, en lugar del 0 ° de la onda trocoidea rotacional. ^[3]

La altura de onda de la onda trocoidal es ${\ Displaystyle H = (2 / k) \ exp (kb_ {s}).}$ La onda es periódica en el ${\ Displaystyle x}$ -dirección, con longitud de onda ${\ Displaystyle \ lambda;}$ y también periódica en el tiempo con período ${\ Displaystyle T = \ lambda / c = {\ sqrt {2 \ pi \ lambda / g}}.}$

La vorticidad ${\ Displaystyle \ varpi}$ bajo la onda trocoidal es: ^[2]

{\ Displaystyle \ varpi (a, b, t) = - {\ frac {2 \, k \, c \, \ mathrm {e} ^ {2kb}} {1- \ mathrm {e} ^ {2kb}} },}

variando con la elevación de Lagrange ${\ Displaystyle b}$ y disminuyendo rápidamente con la profundidad debajo de la superficie libre.

En gráficos por computadora

"> Reproducir medios

Animación (5 MB) de oleaje utilizando ondas Gerstner multidireccionales y multicomponente para la simulación de la superficie del océano y POV-Ray para el renderizado 3D . (La animación es periódica en el tiempo; se puede configurar para que se repita después de hacer clic derecho sobre ella mientras se reproduce).

Una extensión multicomponente y multidireccional de la descripción lagrangiana del movimiento de superficie libre, como se usa en la onda trocoidal de Gerstner, se utiliza en gráficos por computadora para la simulación de las olas del océano. ^[1] Para la onda clásica de Gerstner, el movimiento del fluido satisface exactamente las ecuaciones de flujo no lineal, incompresible e invisible debajo de la superficie libre. Sin embargo, las ondas de Gerstner extendidas en general no satisfacen estas ecuaciones de flujo exactamente (aunque las satisfacen aproximadamente, es decir, para la descripción lagrangiana linealizada por flujo potencial ). Esta descripción del océano se puede programar de manera muy eficiente mediante el uso de la transformada rápida de Fourier (FFT). Además, las olas oceánicas resultantes de este proceso parecen realistas, como resultado de la deformación no lineal de la superficie libre (debido a la especificación lagrangiana del movimiento): crestas más afiladas y valles más planos .

La descripción matemática de la superficie libre en estas ondas de Gerstner puede ser la siguiente: ^[1] las coordenadas horizontales se denotan como ${\ Displaystyle x}$ y ${\ Displaystyle z}$ , y la coordenada vertical es ${\ Displaystyle y}$ . El nivel medio de la superficie libre está en ${\ Displaystyle y = 0}$ y lo positivo ${\ Displaystyle y}$ -la dirección es hacia arriba, oponiéndose a la fuerza de gravedad de la Tierra ${\ Displaystyle g.}$ La superficie libre se describe paramétricamente en función de los parámetros ${\ Displaystyle \ alpha}$ y ${\ Displaystyle \ beta,}$ así como de tiempo ${\ Displaystyle t.}$ Los parámetros están conectados a los puntos de superficie media. ${\ Displaystyle (x, y, z) = (\ alpha, 0, \ beta)}$ alrededor del cual orbita el fluido en la superficie ondulada. La superficie libre se especifica mediante ${\ Displaystyle x = \ xi (\ alpha, \ beta, t),}$ ${\ Displaystyle y = \ zeta (\ alpha, \ beta, t)}$ y ${\ Displaystyle z = \ eta (\ alpha, \ beta, t)}$ con:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ xi & = \ alpha - \ sum _ {m = 1} ^ {M} {\ frac {k_ {x, m}} {k_ {m}}} \, {\ frac {a_ {m}} {\ tanh \ left (k_ {m} \, h \ right)}} \, \ sin \ left (\ theta _ {m} \ right), \\\ eta & = \ beta - \ sum _ {m = 1} ^ {M} {\ frac {k_ {z, m}} {k_ {m}}} \, {\ frac {a_ {m}} {\ tanh \ left (k_ { m} \, h \ right)}} \, \ sin \ left (\ theta _ {m} \ right), \\\ zeta & = \ sum _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} \ , \ cos \ left (\ theta _ {m} \ right) \ quad {\ text {y}} \\\ theta _ {m} & = k_ {x, m} \, \ alpha + k_ {z, m } \, \ beta - \ omega _ {m} \, t- \ phi _ {m}, \ end {alineado}}}

dónde ${\ Displaystyle \ tanh}$ es la función tangente hiperbólica , ${\ Displaystyle M}$ es el número de componentes de onda considerados, ${\ Displaystyle a_ {m}}$ es la amplitud del componente ${\ Displaystyle {m = 1 \ dots M}}$ y ${\ Displaystyle \ phi _ {m}}$ su fase. Más ${\ Displaystyle {k_ {m} = \ scriptstyle {\ sqrt {(k_ {x, m} ^ {2} + k_ {z, m} ^ {2})}}}}$ es su número de onda y ${\ Displaystyle \ omega _ {m}}$ su frecuencia angular . Los dos últimos, ${\ Displaystyle k_ {m}}$ y ${\ Displaystyle \ omega _ {m},}$ no se pueden elegir de forma independiente sino que se relacionan a través de la relación de dispersión :

{\ Displaystyle \ omega _ {m} ^ {2} = g \, k_ {m} \, \ tanh \ left (k_ {m} \, h \ right),}

con ${\ Displaystyle h}$ la profundidad media del agua. En aguas profundas ${\ Displaystyle h \ to \ infty}$ ) la tangente hiperbólica va a uno: ${\ Displaystyle {\ tanh (k_ {m} \, h) \ a 1.}}$ Los componentes ${\ Displaystyle k_ {x, m}}$ y ${\ Displaystyle k_ {z, m}}$ del vector de número de onda horizontal ${\ displaystyle {\ boldsymbol {k}} _ {m}}$ determinar la dirección de propagación de la onda del componente ${\ Displaystyle m.}$

La elección de los distintos parámetros. ${\ Displaystyle a_ {m}, k_ {x, m}, k_ {z, m}}$ y ${\ Displaystyle \ phi _ {m}}$ por ${\ Displaystyle {m = 1, \ dots, {M},}}$ y una cierta profundidad media ${\ Displaystyle h}$ determina la forma de la superficie del océano. Es necesaria una elección inteligente para aprovechar la posibilidad de un cálculo rápido mediante la FFT. Consulte, por ejemplo, Tessendorf (2001) para obtener una descripción de cómo hacer esto. La mayoría de las veces, los números de onda se eligen en una cuadrícula regular en ${\ Displaystyle (k_ {x}, k_ {z})}$ -espacio. A partir de entonces, las amplitudes ${\ Displaystyle a_ {m}}$ y fases ${\ Displaystyle \ phi _ {m}}$ se eligen al azar de acuerdo con el espectro de varianza-densidad de un cierto estado deseado del mar . Finalmente, mediante FFT, la superficie del océano se puede construir de tal manera que sea periódica tanto en el espacio como en el tiempo, lo que permite el mosaico , creando una periodicidad en el tiempo al cambiar ligeramente las frecuencias. ${\ Displaystyle \ omega _ {m}}$ tal que ${\ Displaystyle \ omega _ {m} = m \, \ Delta \ omega}$ por ${\ Displaystyle {m = 1, \ dots, {M}.}}$

En renderizado, también el vector normal ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$ a la superficie a menudo se necesita. Estos se pueden calcular utilizando el producto cruzado ( ${\ Displaystyle \ times}$ ) como:

{\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} = {\ frac {\ parcial {\ boldsymbol {s}}} {\ parcial \ alpha}} \ veces {\ frac {\ parcial {\ boldsymbol {s}}} {\ \ beta}} parcial \ quad {\ text {con}} \ quad {\ boldsymbol {s}} (\ alpha, \ beta, t) = {\ begin {pmatrix} \ xi (\ alpha, \ beta, t) \\\ zeta (\ alpha, \ beta, t) \\\ eta (\ alpha, \ beta, t) \ end {pmatrix}}.}

La unidad de vector normal es entonces ${\ displaystyle {\ boldsymbol {e}} _ {n} = {\ boldsymbol {n}} / \ | {\ boldsymbol {n}} \ |,}$ con ${\ Displaystyle \ | {\ boldsymbol {n}} \ |}$ la norma de ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}.}$

Notas

↑ a b c Tessendorf (2001)
↑ a b Cordero (1994 , §251)
^ Stokes, GG (1880), "Suplemento a un artículo sobre la teoría de ondas oscilatorias", Artículos matemáticos y físicos, Volumen I , Cambridge University Press, págs. 314–326, OCLC 314316422

Referencias

Gerstner, FJ (1802), "Theorie der Wellen", Abhandlunger der Königlichen Böhmischen Geselschaft der Wissenschaften , Praga. Reimpreso en: Annalen der Physik 32 (8), págs. 412–445, 1809.
Craik, ADD (2004), "Los orígenes de la teoría de las ondas de agua", Revisión anual de la mecánica de fluidos , 36 : 1–28, Bibcode : 2004AnRFM..36 .... 1C , doi : 10.1146 / annurev.fluid.36.050802. 122118
Lamb, H. (1994), Hydrodynamics (6.a ed.), Cambridge University Press, §251, ISBN 978-0-521-45868-9, OCLC 30070401 Publicado originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.
Rankine, WJM (1863), "Sobre la forma exacta de las ondas cerca de la superficie de las aguas profundas", Transacciones filosóficas de la Royal Society of London , 153 : 127-138, Bibcode : 1863RSPT..153..127M , doi : 10.1098 /rstl.1863.0006
Tessendorf, J. (2001), "Simulating ocean water" (PDF) , SIGGRAPH 2001

[Tessendorf-1] Tessendorf (2001)

[Lamb-2] Cordero (1994 , §251)

[3] Stokes, GG (1880), "Suplemento a un artículo sobre la teoría de ondas oscilatorias", Artículos matemáticos y físicos, Volumen I , Cambridge University Press, págs. 314–326, OCLC 314316422

[1]