Azulejos octogonales de orden 4 truncado | |
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Modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico | |
Tipo | Azulejos uniformes hiperbólicos |
Configuración de vértice | 4.16.16 |
Símbolo de Schläfli | t {8,4} tr {8,8} o |
Símbolo de Wythoff | 2 8 | 8 2 8 8 | |
Diagrama de Coxeter | o |
Grupo de simetría | [8,4], (* 842) [8,8], (* 882) |
Doble | Revestimiento cuadrado tetrakis order-8 |
Propiedades | Vértice-transitivo |
En geometría , el mosaico octagonal truncado de orden 4 es un mosaico uniforme del plano hiperbólico . Tiene el símbolo de Schläfli de t 0,1 {8,4}. Una construcción secundaria t 0,1,2 {8,8} se llama mosaico octaoctagonal truncado con dos colores de hexakaidecagones .
Construcciones
Hay dos construcciones uniformes de este mosaico, primero por el caleidoscopio [8,4] , y segundo al quitar el último espejo, [8,4,1 + ], da [8,8], (* 882).
Nombre | Tetraoctagonal | Octaoctagonal truncado |
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Imagen | ||
Simetría | [8,4] (* 842) | [8,8] = [8,4,1 + ] (* 882) = |
Símbolo | t {8,4} | tr {8,8} |
Diagrama de Coxeter |
Azulejos dobles
El mosaico doble, el mosaico cuadrado tetrakis Order-8 tiene la configuración de cara V4.16.16 y representa los dominios fundamentales del grupo de simetría [8,8]. |
Simetría
El dual del mosaico representa los dominios fundamentales de la simetría orbifold (* 882) . A partir de la simetría [8,8], hay 15 subgrupos de índice pequeño por operadores de alternancia y eliminación de espejos . Los espejos se pueden eliminar si todos los pedidos de las sucursales son iguales y se reducen a la mitad los pedidos de las sucursales vecinas. Quitar dos espejos deja un punto de giro de medio orden donde se unen los espejos quitados. En estas imágenes, los espejos únicos son de color rojo, verde y azul, y los triángulos de colores alternativos muestran la ubicación de los puntos de giro. El subgrupo [8 + , 8 + ], (44 ×) tiene líneas estrechas que representan reflejos de planeo. El subgrupo índice -8 grupo, [1 + , 8,1 + , 8,1 + ] (4444) es el subgrupo del conmutador de [8,8].
Un subgrupo más grande se construye como [8,8 *], eliminando los puntos de giro de (8 * 4), el índice 16 se convierte en (* 44444444) y su subgrupo directo [8,8 *] + , índice 32, (44444444) .
La simetría [8,8] se puede duplicar mediante un espejo que biseca el dominio fundamental y crea una simetría * 884 .
Índice | 1 | 2 | 4 | |||
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Diagrama | ||||||
Coxeter | [8,8] | [1 + , 8,8] = | [8,8,1 + ] = | [8,1 + , 8] = | [1 + , 8,8,1 + ] = | [8 + , 8 + ] |
Orbifold | * 882 | * 884 | * 4242 | * 4444 | 44 × | |
Subgrupos semidirectos | ||||||
Diagrama | ||||||
Coxeter | [8,8 + ] | [8 + , 8] | [(8,8,2 + )] | [8,1 + , 8,1 + ] = = = = | [1 + , 8,1 + , 8] = = = = | |
Orbifold | 8 * 4 | 2 * 44 | 4 * 44 | |||
Subgrupos directos | ||||||
Índice | 2 | 4 | 8 | |||
Diagrama | ||||||
Coxeter | [8,8] + | [8,8 + ] + = | [8 + , 8] + = | [8,1 + , 8] + = | [8 + , 8 + ] + = [1 + , 8,1 + , 8,1 + ] = = = | |
Orbifold | 882 | 884 | 4242 | 4444 | ||
Subgrupos radicales | ||||||
Índice | dieciséis | 32 | ||||
Diagrama | ||||||
Coxeter | [8,8 *] | [8 *, 8] | [8,8 *] + | [8 *, 8] + | ||
Orbifold | * 44444444 | 44444444 |
Poliedros y mosaicos relacionados
* n 42 mutación de simetría de teselaciones truncadas: 4.2 n .2 n | |||||||||||
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Simetría * n 42 [n, 4] | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | |||||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | ||||
Figuras truncadas | |||||||||||
Config. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | |||
figuras n-kis | |||||||||||
Config. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
Azulejos uniformes octogonales / cuadrados | |||||||||||
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[8,4], (* 842) (con [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) índice 2 subsimetrías ) (Y [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) índice 4 subsimetría) | |||||||||||
= = = | = | = = = | = | = = | = | ||||||
{8,4} | t {8,4} | r {8,4} | 2t {8,4} = t {4,8} | 2r {8,4} = {4,8} | rr {8,4} | tr {8,4} | |||||
Duales uniformes | |||||||||||
V8 4 | V4.16.16 | V (4,8) 2 | V8.8.8 | V4 8 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
Alternancias | |||||||||||
[1 + , 8,4] (* 444) | [8 + , 4] (8 * 2) | [8,1 + , 4] (* 4222) | [8,4 + ] (4 * 4) | [8,4,1 + ] (* 882) | [(8,4,2 + )] (2 * 42) | [8,4] + (842) | |||||
= | = | = | = | = | = | ||||||
h {8,4} | s {8,4} | h {8,4} | s {4,8} | h {4,8} | hrr {8,4} | sr {8,4} | |||||
Duales de alternancia | |||||||||||
V (4,4) 4 | V3. (3.8) 2 | V (4.4.4) 2 | V (3,4) 3 | V8 8 | V4.4 4 | V3.3.4.3.8 |
Azulejos octaoctagonales uniformes | |||||||||||
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Simetría: [8,8], (* 882) | |||||||||||
= = | = = | = = | = = | = = | = = | = = | |||||
{8,8} | t {8,8} | r {8,8} | 2t {8,8} = t {8,8} | 2r {8,8} = {8,8} | rr {8,8} | tr {8,8} | |||||
Duales uniformes | |||||||||||
V8 8 | V8.16.16 | V8.8.8.8 | V8.16.16 | V8 8 | V4.8.4.8 | V4.16.16 | |||||
Alternancias | |||||||||||
[1 + , 8,8] (* 884) | [8 + , 8] (8 * 4) | [8,1 + , 8] (* 4242) | [8,8 + ] (8 * 4) | [8,8,1 + ] (* 884) | [(8,8,2 + )] (2 * 44) | [8,8] + (882) | |||||
= | = | = | = = | = = | |||||||
h {8,8} | s {8,8} | h {8,8} | s {8,8} | h {8,8} | hrr {8,8} | sr {8,8} | |||||
Duales de alternancia | |||||||||||
V (4,8) 8 | V3.4.3.8.3.8 | V (4,4) 4 | V3.4.3.8.3.8 | V (4,8) 8 | V4 6 | V3.3.8.3.8 |
Referencias
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 19, Las teselaciones hiperbólicas de Arquímedes)
- "Capítulo 10: panales regulares en el espacio hiperbólico". La belleza de la geometría: doce ensayos . Publicaciones de Dover. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678 .
Ver también
- Azulejos cuadrados
- Mosaicos de polígonos regulares
- Lista de teselaciones planas uniformes
- Lista de politopos regulares
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Mosaico hiperbólico" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Disco hiperbólico de Poincaré" . MathWorld .
- Galería de mosaico hiperbólico y esférico
- KaleidoTile 3: software educativo para crear mosaicos esféricos, planos e hiperbólicos
- Teselaciones planas hiperbólicas, Don Hatch