Revestimiento tetraoctagonal truncado | |
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Modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico | |
Tipo | Azulejos uniformes hiperbólicos |
Configuración de vértice | 4.8.16 |
Símbolo de Schläfli | tr {8,4} o |
Símbolo de Wythoff | 2 8 4 | |
Diagrama de Coxeter | o |
Grupo de simetría | [8,4], (* 842) |
Doble | Orden-4-8 baldosas kisrhombille |
Propiedades | Vértice-transitivo |
En geometría , el mosaico tetraoctagonal truncado es un mosaico semirregular del plano hiperbólico. Hay un cuadrado , un octágono y un hexakaidecágono en cada vértice . Tiene el símbolo de Schläfli de tr {8,4}.
Azulejos dobles
El mosaico dual se denomina mosaico kisrhombille de orden 4-8 , hecho como una bisección completa del mosaico octagonal de orden 4 , aquí con triángulos que se muestran con colores alternos. Este mosaico representa los dominios triangulares fundamentales de la simetría [8,4] (* 842). |
Simetría
Hay 15 subgrupos construidos a partir de [8,4] mediante eliminación de espejos y alternancia. Los espejos se pueden eliminar si todos los pedidos de las sucursales son uniformes y se reducen a la mitad los pedidos de las sucursales vecinas. Quitar dos espejos deja un punto de giro de medio orden donde se unen los espejos quitados. En estas imágenes, los dominios fundamentales se colorean alternativamente en blanco y negro, y existen espejos en los límites entre los colores. El subgrupo índice -8 grupo, [1 + , 8,1 + , 4,1 + ] (4242) es el subgrupo del conmutador de [8,4].
Un subgrupo más grande se construye como [8,4 *], índice 8, como [8,4 + ], (4 * 4) con los puntos de giro eliminados, se convierte en (* 4444) o (* 4 4 ), y otro [8 *, 4], índice 16 como [8 + , 4], (8 * 2) con los puntos de giro eliminados como (* 22222222) o (* 2 8 ). Y sus subgrupos directos [8,4 *] + , [8 *, 4] + , índices de subgrupos 16 y 32 respectivamente, se pueden dar en notación orbifold como (4444) y (22222222).
Subgrupos de índice pequeños de [8,4] (* 842) | |||||||||||
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Índice | 1 | 2 | 4 | ||||||||
Diagrama | |||||||||||
Coxeter | [8,4] = | [1 + , 8,4] = | [8,4,1 + ] = = | [8,1 + , 4] = | [1 + , 8,4,1 + ] = | [8 + , 4 + ] | |||||
Orbifold | * 842 | * 444 | * 882 | * 4222 | * 4242 | 42 × | |||||
Subgrupos semidirectos | |||||||||||
Diagrama | |||||||||||
Coxeter | [8,4 + ] | [8 + , 4] | [(8,4,2 + )] | [8,1 + , 4,1 + ] = = = = | [1 + , 8,1 + , 4] = = = = | ||||||
Orbifold | 4 * 4 | 8 * 2 | 2 * 42 | 2 * 44 | 4 * 22 | ||||||
Subgrupos directos | |||||||||||
Índice | 2 | 4 | 8 | ||||||||
Diagrama | |||||||||||
Coxeter | [8,4] + = | [8,4 + ] + = | [8 + , 4] + = | [8,1 + , 4] + = | [8 + , 4 + ] + = [1 + , 8,1 + , 4,1 + ] = = = | ||||||
Orbifold | 842 | 444 | 882 | 4222 | 4242 | ||||||
Subgrupos radicales | |||||||||||
Índice | 8 | dieciséis | 32 | ||||||||
Diagrama | |||||||||||
Coxeter | [8,4 *] = | [8 *, 4] | [8,4 *] + = | [8 *, 4] + | |||||||
Orbifold | * 4444 | * 22222222 | 4444 | 22222222 |
Poliedros y teselados relacionados
De una construcción de Wythoff hay catorce mosaicos uniformes hiperbólicos que pueden basarse en el mosaico octogonal de orden 4 regular.
Dibujando los mosaicos de color rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul a lo largo de los bordes originales, hay 7 formas con simetría [8,4] completa y 7 con subsimetría.
Azulejos uniformes octogonales / cuadrados | |||||||||||
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[8,4], (* 842) (con [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) índice 2 subsimetrías ) (Y [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) índice 4 subsimetría) | |||||||||||
= = = | = | = = = | = | = = | = | ||||||
{8,4} | t {8,4} | r {8,4} | 2t {8,4} = t {4,8} | 2r {8,4} = {4,8} | rr {8,4} | tr {8,4} | |||||
Duales uniformes | |||||||||||
V8 4 | V4.16.16 | V (4,8) 2 | V8.8.8 | V4 8 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
Alternancias | |||||||||||
[1 + , 8,4] (* 444) | [8 + , 4] (8 * 2) | [8,1 + , 4] (* 4222) | [8,4 + ] (4 * 4) | [8,4,1 + ] (* 882) | [(8,4,2 + )] (2 * 42) | [8,4] + (842) | |||||
= | = | = | = | = | = | ||||||
h {8,4} | s {8,4} | h {8,4} | s {4,8} | h {4,8} | hrr {8,4} | sr {8,4} | |||||
Duales de alternancia | |||||||||||
V (4,4) 4 | V3. (3.8) 2 | V (4.4.4) 2 | V (3,4) 3 | V8 8 | V4.4 4 | V3.3.4.3.8 |
* n 42 mutación de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.8.2n | ||||||||
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Simetría * n 42 [n, 4] | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | |
Figura omnitruncada | 4.8.4 | 4.8.6 | 4.8.8 | 4.8.10 | 4.8.12 | 4.8.14 | 4.8.16 | 4.8.∞ |
Omnitruncated duales | V4.8.4 | V4.8.6 | V4.8.8 | V4.8.10 | V4.8.12 | V4.8.14 | V4.8.16 | V4.8.∞ |
* nn 2 mutaciones de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.2 n .2 n | ||||||||||||||
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Simetría * nn 2 [n, n] | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||||||||
* 222 [2,2] | * 332 [3,3] | * 442 [4,4] | * 552 [5,5] | * 662 [6,6] | * 772 [7,7] | * 882 [8,8] ... | * ∞∞2 [∞, ∞] | |||||||
Figura | ||||||||||||||
Config. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | ||||||
Doble | ||||||||||||||
Config. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
Ver también
- Mosaicos de polígonos regulares
- Lista de teselaciones planas uniformes
Referencias
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 19, Las teselaciones hiperbólicas de Arquímedes)
- "Capítulo 10: panales regulares en el espacio hiperbólico". La belleza de la geometría: doce ensayos . Publicaciones de Dover. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Mosaico hiperbólico" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Disco hiperbólico de Poincaré" . MathWorld .
- Galería de mosaico hiperbólico y esférico
- KaleidoTile 3: software educativo para crear mosaicos esféricos, planos e hiperbólicos
- Teselaciones planas hiperbólicas, Don Hatch