teoría de la intersección
En matemáticas , la teoría de la intersección es una de las ramas principales de la geometría algebraica , donde brinda información sobre la intersección de dos subvariedades de una variedad dada. [1] La teoría de las variedades es más antigua, con raíces en el teorema de Bézout sobre las curvas y la teoría de la eliminación . Por otro lado, la teoría topológica alcanzó más rápidamente una forma definitiva.
Todavía hay un desarrollo en curso de la teoría de la intersección. Actualmente, el enfoque principal está en: ciclos fundamentales virtuales, anillos de intersección cuántica, teoría de Gromov-Witten y la extensión de la teoría de intersección de esquemas a pilas . [2]
Para una variedad orientada M conexa de dimensión 2 n , la forma de intersección se define en el n -ésimo grupo de cohomología (lo que generalmente se denomina la 'dimensión media') mediante la evaluación del producto de taza en la clase fundamental [ M ] en H 2 norte ( METRO , ∂ METRO ) . Dicho con precisión, hay una forma bilineal
Esta es una forma simétrica para n par (por lo que 2 n = 4 k doblemente par ), en cuyo caso la firma de M se define como la firma de la forma, y una forma alterna para n impar (por lo que 2 n = 4 k + 2 es simplemente par ). Estos pueden denominarse uniformemente formas ε-simétricas , donde ε = (−1) n = ±1 respectivamente para formas simétricas y simétricas oblicuas. Es posible en algunas circunstancias refinar esta forma a un ε-forma cuadrática , aunque esto requiere datos adicionales, como un encuadre del paquete tangente. Es posible eliminar la condición de orientabilidad y trabajar con coeficientes Z /2 Z en su lugar.
Estas formas son invariantes topológicos importantes . Por ejemplo, un teorema de Michael Freedman establece que las 4 variedades compactas simplemente conectadas están (casi) determinadas por sus formas de intersección hasta el homeomorfismo .
Por la dualidad de Poincaré , resulta que hay una forma de pensar esto geométricamente. Si es posible, elija subvariedades n -dimensionales representativas A , B para los duales de Poincaré de a y b . Entonces λ M ( a , b ) es el número de intersección orientada de A y B , que está bien definido porque dado que las dimensiones de A y B suman la dimensión total de M , generalmente se intersecan en puntos aislados. Esto explica la terminología.forma de intersección .
