En matemáticas , especialmente en el análisis funcional , una bornología en un espacio vectorial sobre un campo dónde tiene bornología ℬ, se llama bornología vectorial si convierte las operaciones del espacio vectorial en mapas delimitados.
Definiciones
Prerrequisitos
Una bornología en un plató es una colección de subconjuntos de que cumplan todas las condiciones siguientes:
- cubre es decir, ;
- es estable bajo inclusiones; eso es, si y luego ;
- es estable bajo uniones finitas; eso es, si luego ;
Elementos de la colección son llamados -conjuntos acotados o simplemente acotados siestá entendido. El parse llama estructura acotada o conjunto bornológico .
Una base o sistema fundamental de una bornología es un subconjunto de tal que cada elemento de es un subconjunto de algún elemento de Dada una colección de subconjuntos de la bornología más pequeña que contiene se llama bornología generada por[1]
Si y son conjuntos bornológicos, entonces su producto bornología en es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma dónde y [1] Un subconjunto de está limitada en la bornología del producto si y sólo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre y ambos están delimitados.
Si y son conjuntos bornológicos entonces una función se dice que es un mapa delimitado localmente o un mapa delimitado (con respecto a estas bornologías) si mapea-subconjuntos delimitados de a -subconjuntos delimitados de eso es, si [1] Si además es una biyección y también está acotado entonces se llama isomorfismo bornológico .
Bornología vectorial
Dejar ser un espacio vectorial sobre un campo dónde tiene una bornología Una bornología en se llama bornología vectorial ensi es estable bajo la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de cascos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.).
Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y es una bornología en Entonces los siguientes son equivalentes:
- es una bornología vectorial;
- Sumas finitas y cascos equilibrados de -los conjuntos delimitados son -encerrado; [2]
- El mapa de multiplicación escalar definido por y el mapa de sumas definido por ambos están limitados cuando sus dominios llevan sus bornologías de producto (es decir, mapean subconjuntos limitados a subconjuntos limitados). [2]
Una bornología vectorial se llama bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de cascos convexos (es decir, el casco convexo de un conjunto acotado está acotado) entonces Y una bornología vectorial se llama separado si el único subespacio vectorial acotado de es el espacio trivial de 0 dimensiones
Por lo general, son los números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial en se llamará bornología vectorial convexa siTiene una base formada por conjuntos convexos .
Caracterizaciones
Suponer que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo de números reales o complejos y es una bornología en Entonces los siguientes son equivalentes:
- es una bornología vectorial;
- la suma y la multiplicación escalar son mapas acotados. [1]
- el casco equilibrado de cada elemento de es un elemento de y la suma de dos elementos cualesquiera de es de nuevo un elemento de [1]
Bornología en un espacio vectorial topológico
Si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces el conjunto de todos los subconjuntos acotados dea partir de una bornología vectorial enllamada la bornología de von Neumann de, la bornología habitual , o simplemente la bornología dey se conoce como delimitación natural . [1] En cualquier TV localmente convexoel conjunto de todos los discos cerrados delimitados forman una base para la bornología habitual de[1]
A menos que se indique lo contrario, siempre se supone que los números reales o complejos están dotados de la bornología habitual.
Topología inducida por una bornología vectorial
Suponer que es un espacio vectorial sobre el campo de números reales o complejos y es una bornología vectorial en Dejar denotar todos esos subconjuntos de que son convexos, equilibrados y bornívoros . Luegoforma una base de vecindad en el origen de una topología TVS localmente convexa .
Ejemplos de
Espacio localmente convexo de funciones limitadas
Dejar sean los números reales o complejos (dotados de sus bornologías habituales), dejemos ser una estructura acotada, y dejar denotar el espacio vectorial de todos los localmente limitados -mapas valoradas en Para cada dejar para todos donde esto define un seminario sobreLa topología TVS localmente convexa en definido por la familia de seminormas se denomina topología de convergencia uniforme en conjunto acotado . [1] Esta topología haceen un espacio completo . [1]
Bornología de equicontinuidad
Dejar ser un espacio topológico, ser los números reales o complejos, y dejar denotar el espacio vectorial de todo continuo -mapas valoradas en El conjunto de todos los subconjuntos equicontinuos de forma una bornología vectorial en [1]
Ver también
Citas
Bibliografía
- Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y Análisis Funcional: Curso de Introducción a la Teoría de la Dualidad Topología-Bornología y su uso en Análisis Funcional . Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional. 26 . Amsterdam Nueva York Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087137-0. OCLC 316549583 .
- Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El entorno conveniente del análisis global . Encuestas y Monografías Matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-082180780-4.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .