En el análisis funcional , un subconjunto de un espacio vectorial real o complejoque tiene una bornología vectorial asociada se llama bornívoro y bornívoro si absorbe todos los elementos de Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y luego un subconjunto de es bornívoro si es bornívoro con respecto a la bornología de von-Neumann de.
Los conjuntos bornívoros juegan un papel importante en las definiciones de muchas clases de espacios vectoriales topológicos (por ejemplo, espacios bornológicos ).
Definiciones
Si es un TVS luego un subconjunto de se llama bornívoro [1] y bornívoro si absorbe cada subconjunto acotado de
Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es bornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está localmente acotado (es decir, mapea conjuntos acotados a conjuntos acotados). [1]
Conjuntos infrabornívoros y mapas infrarmarcados
Un mapa lineal entre dos TVS se denomina infradelimitado si asigna discos de Banach a discos delimitados. [2]
Un disco en se llama infrabornívoro si absorbe todos los discos de Banach . [3]
Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es infrabornívoro si y solo si su función de Minkowski está infrarmarcada. [1]
Un disco en un espacio localmente convexo de Hausdorff es infrabornívoro si y solo si absorbe todos los discos compactos (es decir, es "compactívoro"). [1]
Propiedades
Cada subconjunto bornívoro e infrabornívoro de un TVS es absorbente . En un televisor pseudometrizable , cada bornívoro es un barrio del origen. [4]
Dos topologías TVS en el mismo espacio vectorial tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos bornívoros. [5]
Suponer es un subespacio vectorial de codimensión finita en un espacio localmente convexo y Si es un barril (resp. bornivorous barril, disco bornivorous) en entonces existe un barril (resp. barril bornívoro, disco bornívoro) en tal que [6]
Ejemplos y condiciones suficientes
Cada barrio del origen en un TVS es nativo. El casco convexo, el casco convexo cerrado y el casco equilibrado de un conjunto bornívoro vuelven a ser bornívoros. La preimagen de un bornívoro bajo un mapa lineal delimitado es un bornívoro. [7]
Si es un TVS en el que cada subconjunto acotado está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita, entonces cada conjunto absorbente es un bornívoro. [5]
Contraejemplos
Dejar ser como un espacio vectorial sobre los reales. Si es el casco equilibrado del segmento de línea cerrada entre y luego no es bornívoro, sino el casco convexo de es bornívoro. Si es el triángulo cerrado y "relleno" con vértices y luego Es un conjunto convexo que no es bornívoro pero su casco equilibrado es bornívoro.
Ver también
- Operador lineal acotado
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Espacio bornológico : un espacio vectorial topológico donde cualquier operador lineal acotado en otro espacio es siempre continuo.
- Bornología : concepto matemático que generaliza la delimitación.
- Espacio de mapas lineales
- Espacio ultrabornológico
- Bornología vectorial
Referencias
- ↑ a b c d Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 441-457.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 442.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 443.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 172-173.
- ↑ a b Wilansky , 2013 , p. 50.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 371-423.
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 48.
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