En el análisis funcional , un espacio vectorial topológico (TVS)se llama ultrabornológico si todo operador lineal acotado deen otro TVS es necesariamente continuo . Una versión general del teorema del gráfico cerrado es válida para espacios ultrabornológicos. Los espacios ultrabornológicos fueron introducidos por Alexander Grothendieck (Grothendieck [1955, p. 17] "espace du type (β)"). [1]
Definiciones
Dejar ser un espacio vectorial topológico (TVS).
Preliminares
Un disco es un conjunto convexo y equilibrado . Un disco en un televisorse llama bornívoro [2] si absorbe cada subconjunto acotado de
Un mapa lineal entre dos TVS se denomina infradelimitado [2] si asigna discos de Banach a discos delimitados.
Un disco en un televisor se denomina infrabornívoro si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- absorbe todos los discos de Banach en
mientras que si localmente convexo, entonces podemos agregar a esta lista:
mientras que si localmente convexo y Hausdorff, entonces podemos agregar a esta lista:
- absorbe todos los discos compactos; [2] es decir, es "compactivorious".
Espacio ultrabornológico
Un televisor es ultrabornológico si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- cada disco infrabornívoro en es un barrio del origen; [2]
mientras que si es un espacio convexo local, entonces podemos agregar a esta lista:
- cada operador lineal acotado de en un TVS completamente metrizable es necesariamente continuo;
- cada disco infrabornívoro es una vecindad de 0;
- ser el límite inductivo de los espacios ya que D varía en todos los discos compactos en;
- un seminario sobre que está acotado en cada disco de Banach es necesariamente continuo;
- para cada espacio localmente convexo y cada mapa lineal Si está limitado en cada disco de Banach, entonces es continuo;
- para cada espacio de Banach y cada mapa lineal Si está limitado en cada disco de Banach, entonces es continuo.
mientras que si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces podemos agregar a esta lista:
- es un límite inductivo de los espacios de Banach; [2]
Propiedades
Cada localmente convexa espacio ultrabornological está cañón , [2] el espacio cuasi-ultrabarrelled , y un espacio bornological pero existen espacios que no son bornological ultrabornological.
- Cada espacio ultrabornológico es el límite inductivo de una familia de espacios de Fréchet nucleares , que abarca
- Cada espacio ultrabornológico es el límite inductivo de una familia de espacios DF nucleares , que abarca
Ejemplos y condiciones suficientes
El producto finito de los espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico. [2] Los límites inductivos de los espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.
Cada espacio bornológico secuencialmente completo de Hausdorff es ultrabornológico. [2] Así, cada competir Hausdorff espacio bornological es ultrabornological. En particular, cada espacio de Fréchet es ultrabornológico. [2]
El fuerte espacio dual de un espacio completo de Schwartz es ultrabornológico.
Cada espacio bornológico de Hausdorff que es casi completo es ultrabornológico. [ cita requerida ]
- Contraejemplos
Existen espacios de ultrabarrica que no son ultrabornológicos. Existen espacios ultrabornológicos que no son de ultrabarrica.
Ver también
- Operador lineal acotado
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Espacio bornológico : un espacio vectorial topológico donde cualquier operador lineal acotado en otro espacio es siempre continuo.
- Bornología : concepto matemático que generaliza la delimitación.
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Espacio de mapas lineales
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Bornología vectorial
enlaces externos
- Algunas caracterizaciones de espacios ultrabornológicos
Referencias
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 441.
- ↑ a b c d e f g h i j Narici y Beckenstein 2011 , págs. 441-457.
- Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional . Amsterdam: North-Holland Publishing Co. págs. Xii + 144. ISBN 0-7204-0712-5. Señor 0500064 .
- Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Productos de tensores topológicos y espacios nucleares]. Serie Memorias de la American Mathematical Society (en francés). Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. 16 . ISBN 978-0-8218-1216-7. Señor 0075539 . OCLC 1315788 .
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