Paquete de vectores

En matemáticas , un paquete vectorial es una construcción topológica que precisa la idea de una familia de espacios vectoriales parametrizados por otro espacio X (por ejemplo, X podría ser un espacio topológico , una variedad o una variedad algebraica ): a cada punto x de el espacio X asociamos (o "adjuntamos") un espacio vectorial V ( x ) de tal manera que estos espacios vectoriales encajen para formar otro espacio del mismo tipo que X(por ejemplo, un topológica espacio, colector, o variedad algebraica), que luego se llama un fibrado vectorial de  X .

El ejemplo más simple es el caso de que la familia de espacios vectoriales es constante, es decir, hay un espacio vectorial fijo V tal que V ( x ) =  V para todo x en X : en este caso hay una copia de V para cada x en X y estas copias se unen para formar el vector haz X  ×  V sobre X . Se dice que estos paquetes de vectores son triviales . Una clase de ejemplos más complicada (y prototípica) son los haces tangentes de variedades suaves (o diferenciables): a cada punto de dicho colector adjuntamos el espacio tangente al colector en ese punto. Los paquetes tangentes no son, en general, paquetes triviales. Por ejemplo, el haz tangente de la esfera no es trivial según el teorema de la bola peluda . En general, se dice que una variedad es paralelizable si, y solo si, su conjunto tangente es trivial.

Sin embargo, casi siempre se requiere que los haces de vectores sean localmente triviales , lo que significa que son ejemplos de haces de fibras . Además, generalmente se requiere que los espacios vectoriales estén sobre los números reales o complejos, en cuyo caso se dice que el paquete de vectores es un paquete de vectores real o complejo (respectivamente). Los paquetes de vectores complejos se pueden ver como paquetes de vectores reales con estructura adicional. A continuación, nos centraremos en los paquetes de vectores reales en la categoría de espacios topológicos .

donde se cumple la siguiente condición de compatibilidad: para cada punto p en X , hay una vecindad abierta U ⊆ X de p , un número natural k , y un homeomorfismo

La vecindad abierta U junto con el homeomorfismo se denomina trivialización local del paquete de vectores. Los espectáculos trivialización locales que localmente el mapa π "se parece a" la proyección de T × R ^k en U .${\ Displaystyle \ varphi}$

Cada fibra π ⁻¹ ({ x }) es un espacio vectorial real de dimensión finita y, por tanto, tiene una dimensión k _x . Los trivializaciones locales muestran que la función x ↦ k _x es localmente constante , y por lo tanto es constante en cada componente conectado de X . Si k _x es igual a una constante k en todo X , entonces k se llama el rango del paquete de vectores, y se dice que E es un paquete de vectores de rango k. A menudo, la definición de un paquete de vectores incluye que el rango está bien definido, de modo que k _x es constante. Los paquetes de vectores de rango 1 se denominan paquetes de líneas , mientras que los de rango 2 se denominan con menos frecuencia paquetes planos.

La tira de Möbius (infinitamente extendida) es un haz de líneas sobre la 1-esfera S ¹ . Localmente alrededor de cada punto en S ¹ , parece U  ×  R (donde U es un arco abierto que incluye el punto), pero el paquete total es diferente de S ¹  ×  R (que es un cilindro ).

Un paquete de vectores sobre una base . Un punto en corresponde al origen en una fibra del haz de vectores , y esta fibra es mapeada hasta el punto por la proyección .${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle m_ {1}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle E_ {m_ {1}}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle m_ {1}}$${\ Displaystyle \ pi: E \ a M}$

Dos paquetes de vectores triviales sobre conjuntos abiertos y pueden pegarse sobre la intersección mediante funciones de transición que sirven para unir las regiones grises sombreadas después de aplicar una transformación lineal a las fibras (observe la transformación del cuadrilátero azul bajo el efecto de ). Diferentes elecciones de funciones de transición pueden dar como resultado diferentes paquetes de vectores que no son triviales después de que se completa el pegado.${\ Displaystyle U _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle U _ {\ beta}}$${\ Displaystyle U _ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$

La tira de Möbius se puede construir mediante un pegado no trivial de dos haces triviales en subconjuntos abiertos U y V del círculo S ¹ . Cuando se pega trivialmente (con g _UV = 1 ) se obtiene el paquete trivial, pero con el pegado no trivial de g _UV = 1 en una superposición y g _UV = -1 en la segunda superposición, se obtiene el paquete no trivial E , la tira de Möbius. Esto se puede visualizar como una "torsión" de uno de los gráficos locales.

Un subpaquete de línea de un paquete de vectores de rango 2 trivial sobre una variedad unidimensional .${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle M}$

Un paquete de vectores sobre una base con sección .${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle s}$

El mapa que asocia una normal a cada punto de una superficie se puede considerar como una sección. La superficie es el espacio X , y en cada punto x hay un vector en el espacio vectorial adjunto en x .

La regularidad de las funciones de transición que describen un paquete de vectores determina el tipo de paquete de vectores. Si se utilizan las funciones de transición continua g _UV , el paquete de vectores resultante E es solo continuo pero no uniforme. Si se utilizan las funciones de transición suave h _UV , entonces el paquete de vectores resultante F es un paquete de vectores suave.