10-simplex | Truncado 10-simplex | Rectificado 10-simplex | |||||||||
Cantelado 10-simplex | Runcinated 10-simplex | ||||||||||
10-simplex estericado | Pentelado 10-simplex | 10-simplex embriagado | |||||||||
Heptelado 10-simplex | 10-simplex octelado | Ennecado 10-simplex | |||||||||
10-ortoplex | 10 ortoplex truncado | 10-ortoplex rectificado | |||||||||
10 cubos | 10 cubos truncados | 10 cubos rectificados | |||||||||
10-demicubo | 10-demicubos truncados |
En diez dimensiones geometría , un 10-politopo es un 10-dimensional politopo cuyo límite se compone de 9-polytope facetas , exactamente dos tales facetas reunidos en cada 8-politopo cresta .
Un 10-politopo uniforme es uno que es transitivo por vértice y se construye a partir de facetas uniformes .
10 politopos regulares
Los 10 politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p, q, r, s, t, u, v, w, x}, con x {p, q, r, s, t, u, v, w} Facetas de 9 politopos alrededor de cada pico .
Hay exactamente tres de estos 10 politopos regulares convexos :
- {3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-simplex
- {4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10 cubos
- {3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-ortoplex
No hay 10 politopos regulares no convexos.
Característica de Euler
La topología de cualquier politopo 10 dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se generaliza de manera útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 10 politopos, cualquiera que sea su topología subyacente. Esta insuficiencia de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores llevó al descubrimiento de los números Betti más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto llevó al uso de coeficientes de torsión. [1]
10 politopos uniformes por grupos fundamentales de Coxeter
Estos tres grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin, pueden generar 10 politopos uniformes con simetría reflectante :
# | Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
---|---|---|---|
1 | A 10 | [3 9 ] | |
2 | B 10 | [4,3 8 ] | |
3 | D 10 | [3 7,1,1 ] |
Los 10 politopos regulares y uniformes seleccionados de cada familia incluyen:
- Familia simplex : A 10 [3 9 ] -
- 527 10-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluido uno regular:
- {3 9 } - 10-simplex -
- 527 10-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluido uno regular:
- Hipercubo / orthoplex familia: B 10 [4,3 8 ] -
- 1023 10-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidos dos regulares:
- {4,3 8 } - 10 cubos o dequeract -
- {3 8 , 4} - 10-ortoplex o decacross -
- h {4,3 8 } - 10-demicube .
- 1023 10-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidos dos regulares:
- Familia Demihipercubo D 10 : [3 7,1,1 ] -
- 767 10-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, que incluyen:
- 1 7,1 - 10- demicube o demidekeract -
- 7 1,1 - 10-ortoplex -
- 767 10-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, que incluyen:
La familia A 10
La familia A 10 tiene una simetría del orden de 39,916,800 (11 factorial ).
Hay 512 + 16-1 = 527 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. 31 se muestran a continuación: todas las formas anilladas una y dos, y la forma final omnitruncada. Los nombres de acrónimos al estilo Bowers se dan entre paréntesis para hacer referencias cruzadas.
# | Grafico | Diagrama de Coxeter-Dynkin Símbolo de Schläfli Nombre | Recuentos de elementos | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9 caras | 8 caras | 7 caras | 6 caras | 5 caras | 4 caras | Células | Caras | Bordes | Vértices | |||
1 |
| 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | |
2 |
| 495 | 55 | |||||||||
3 |
| 1980 | 165 | |||||||||
4 |
| 4620 | 330 | |||||||||
5 |
| 6930 | 462 | |||||||||
6 |
| 550 | 110 | |||||||||
7 |
| 4455 | 495 | |||||||||
8 |
| 2475 | 495 | |||||||||
9 |
| 15840 | 1320 | |||||||||
10 |
| 17820 | 1980 | |||||||||
11 |
| 6600 | 1320 | |||||||||
12 |
| 32340 | 2310 | |||||||||
13 |
| 55440 | 4620 | |||||||||
14 |
| 41580 | 4620 | |||||||||
15 |
| 11550 | 2310 | |||||||||
dieciséis |
| 41580 | 2772 | |||||||||
17 |
| 97020 | 6930 | |||||||||
18 |
| 110880 | 9240 | |||||||||
19 |
| 62370 | 6930 | |||||||||
20 |
| 13860 | 2772 | |||||||||
21 |
| 34650 | 2310 | |||||||||
22 |
| 103950 | 6930 | |||||||||
23 |
| 161700 | 11550 | |||||||||
24 |
| 138600 | 11550 | |||||||||
25 |
| 18480 | 1320 | |||||||||
26 |
| 69300 | 4620 | |||||||||
27 |
| 138600 | 9240 | |||||||||
28 |
| 5940 | 495 | |||||||||
29 |
| 27720 | 1980 | |||||||||
30 |
| 990 | 110 | |||||||||
31 | t 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Omnitruncado 10-simplex | 199584000 | 39916800 |
La familia B 10
Hay 1023 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos.
A continuación se muestran doce casos: diez formas de un solo anillo ( rectificadas ) y dos truncamientos. Los nombres de acrónimos al estilo Bowers se dan entre paréntesis para hacer referencias cruzadas.
# | Grafico | Diagrama de Coxeter-Dynkin Símbolo de Schläfli Nombre | Recuentos de elementos | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9 caras | 8 caras | 7 caras | 6 caras | 5 caras | 4 caras | Células | Caras | Bordes | Vértices | |||
1 | t 0 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubos (deker) | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | |
2 | t 0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubos truncados (tade) | 51200 | 10240 | |||||||||
3 | t 1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubos rectificados (rade) | 46080 | 5120 | |||||||||
4 | t 2 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubos birectificados (brade) | 184320 | 11520 | |||||||||
5 | t 3 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Trirectified 10-cube (trade) | 322560 | 15360 | |||||||||
6 | t 4 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubos cuadrirectificados (terade) | 322560 | 13440 | |||||||||
7 | t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-ortoplex cuadrirectificado (terake) | 201600 | 8064 | |||||||||
8 | t 3 {3,3,3,3,3,3,3,4} 10-ortoplex trirectificado (trake) | 80640 | 3360 | |||||||||
9 | t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-ortoplex birectificado (freno) | 20160 | 960 | |||||||||
10 | t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-ortoplex rectificado (rastrillo) | 2880 | 180 | |||||||||
11 | t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-ortoplex truncado (toma) | 3060 | 360 | |||||||||
12 | t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-ortoplex (ka) | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 |
La familia D 10
La familia D 10 tiene una simetría del orden de 1.857.945.600 (10 factorial × 2 9 ).
Esta familia tiene 3 × 256−1 = 767 politopos uniformes Wythoffianos, generados marcando uno o más nodos del diagrama D 10 Coxeter-Dynkin . De estos, 511 (2 × 256−1) se repiten de la familia B 10 y 256 son exclusivos de esta familia, con 2 enumerados a continuación. Los nombres de acrónimos al estilo Bowers se dan entre paréntesis para hacer referencias cruzadas.
# | Grafico | Diagrama de Coxeter-Dynkin Símbolo de Schläfli Nombre | Recuentos de elementos | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9 caras | 8 caras | 7 caras | 6 caras | 5 caras | 4 caras | Células | Caras | Bordes | Vértices | |||
1 | 10- demicube (hede) | 532 | 5300 | 24000 | 64800 | 115584 | 142464 | 122880 | 61440 | 11520 | 512 | |
2 | 10- demicube truncado (thede) | 195840 | 23040 |
Panales regulares y uniformes
Hay cuatro grupos Coxeter afines fundamentales que generan teselaciones regulares y uniformes en 9 espacios:
# | Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
---|---|---|---|
1 | [3 [10] ] | ||
2 | [4,3 7 , 4] | ||
3 | h [4,3 7 , 4] [4,3 6 , 3 1,1 ] | ||
4 | q [4,3 7 , 4] [3 1,1 , 3 5 , 3 1,1 ] |
Las teselaciones regulares y uniformes incluyen:
- Panal de abeja 9-hipercúbico regular , con símbolos {4,3 7 , 4},
- Nido de abeja 9-hipercúbico alternado uniforme con símbolos h {4,3 7 , 4},
Panales hiperbólicos regulares y uniformes
No hay grupos Coxeter hiperbólicos compactos de rango 10, grupos que puedan generar panales con todas las facetas finitas y una figura de vértice finita . Sin embargo, hay 3 grupos de Coxeter hiperbólicos no compactos de rango 9, cada uno de los cuales genera panales uniformes en el espacio 9 como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.
= [3 1,1 , 3 4 , 3 2,1 ]: | = [4,3 5 , 3 2,1 ]: | o = [3 6,2,1 ]: |
Tres panales de la familia, generada por los diagramas de Coxeter de anillos finales son:
- 6 21 panal :
- 2 61 panal :
- 1 62 panal :
Referencias
- ↑ a b c Richeson, D .; La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topoplogía , Princeton, 2008.
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- A. Boole Stott : deducción geométrica de semirregular de politopos regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la academia Koninklijke van Wetenschappen unidad de ancho Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller: Poliedros uniformes , Transacciones filosóficas de la Royal Society of London, Londne, 1954
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 10D (polyxenna)" .
enlaces externos
- Nombres de politopos
- Politopos de varias dimensiones , Jonathan Bowers
- Glosario multidimensional
- Glosario de hiperespacio , George Olshevsky.
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos |