Tetraedro regular | |
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(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Sólido platónico |
Código corto | 3> 2z |
Elementos | F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2) |
Caras por lados | 4 {3} |
Notación de Conway | T |
Símbolos de Schläfli | {3,3} |
h {4,3}, s {2,4}, sr {2,2} | |
Configuración de la cara | V3.3.3 |
Símbolo de Wythoff | 3 | 2 3 | 2 2 2 |
Diagrama de Coxeter | = |
Simetría | T d , A 3 , [3,3], (* 332) |
Grupo de rotacion | T , [3,3] + , (332) |
Referencias | U 01 , C 15 , W 1 |
Propiedades | deltaedro regular , convexo |
Ángulo diedro | 70.528779 ° = arcos ( 1 ⁄ 3 ) |
3.3.3 ( figura de vértice ) | Auto-dual ( poliedro dual ) |
Neto |
En geometría , un tetraedro (plural: tetraedros o tetraedros ), también conocido como pirámide triangular , es un poliedro compuesto por cuatro caras triangulares , seis aristas rectas y cuatro vértices de vértice . El tetraedro es el más simple de todos los poliedros convexos ordinarios y el único que tiene menos de 5 caras. [1]
El tetraedro es el caso tridimensional del concepto más general de un simplex euclidiano y, por lo tanto, también puede llamarse 3-simplex .
El tetraedro es un tipo de pirámide , que es un poliedro con una base poligonal plana y caras triangulares que conectan la base con un punto común. En el caso de un tetraedro, la base es un triángulo (cualquiera de las cuatro caras puede considerarse la base), por lo que un tetraedro también se conoce como "pirámide triangular".
Como todos los poliedros convexos , un tetraedro se puede plegar desde una sola hoja de papel. Tiene dos redes de este tipo . [1]
Para cualquier tetraedro existe una esfera (llamada circunsfera ) en la que se encuentran los cuatro vértices, y otra esfera (la insfera ) tangente a las caras del tetraedro. [2]
Tetraedro regular
Un tetraedro regular es un tetraedro en el que las cuatro caras son triángulos equiláteros . Es uno de los cinco sólidos platónicos regulares , que se conocen desde la antigüedad.
En un tetraedro regular, todas las caras tienen el mismo tamaño y forma (congruentes) y todas las aristas tienen la misma longitud.
Los tetraedros regulares por sí solos no forman un mosaico (espacio de relleno), pero si se alternan con octaedros regulares en la proporción de dos tetraedros a un octaedro, forman el panal cúbico alternado , que es un mosaico. Algunos tetraedros que no son regulares, incluidos el ortosquema Schläfli y el tetraedro Hill , pueden teselar .
El tetraedro regular es auto-dual, lo que significa que su dual es otro tetraedro regular. La figura compuesta que comprende dos de estos tetraedros duales forma un octaedro estrellado o estela octangula.
Coordenadas para un tetraedro regular
Las siguientes coordenadas cartesianas definen los cuatro vértices de un tetraedro con una longitud de borde 2, centrado en el origen y dos bordes nivelados:
Expresados simétricamente como 4 puntos en la esfera unitaria , centroide en el origen, con el nivel de la cara inferior, los vértices son:
con la longitud del borde de .
Otro conjunto más de coordenadas se basa en un cubo alterno o semicubo con una longitud de borde 2. Esta forma tiene un diagrama de Coxeter y símbolo de Schläfli h {4,3}. El tetraedro en este caso tiene una longitud de borde 2 √ 2 . La inversión de estas coordenadas genera el tetraedro dual, y el par juntos forman el octaedro estrellado, cuyos vértices son los del cubo original.
- Tetraedro: (1,1,1), (1, −1, −1), (−1,1, −1), (−1, −1,1)
- Tetraedro dual: (−1, −1, −1), (−1,1,1), (1, −1,1), (1,1, −1)
Ángulos y distancias
Para un tetraedro regular con una longitud de borde a :
Área de la cara | |
Superficie [3] | |
Altura de la pirámide [4] | |
Distancia del centroide al vértice | |
Distancia de borde a borde opuesto | |
Volumen [3] | |
Ángulo cara-vértice-borde | (aprox. 54,7356 °) |
Ángulo cara-borde-cara , es decir, "ángulo diedro" [3] | (aprox. 70,5288 °) |
Ángulo vértice-centro-vértice, [5] el ángulo entre las líneas desde el centro del tetraedro hasta dos vértices cualesquiera. También es el ángulo entre los bordes de la meseta en un vértice. En química se llama ángulo de enlace tetraédrico . Este ángulo (en radianes) es también la longitud de arco del segmento geodésico en la esfera unitaria que resulta de proyectar centralmente un borde del tetraedro a la esfera. | (aprox. 109,4712 °) |
Ángulo sólido en un vértice subtendido por una cara | (aprox. 0,55129 estereorradián ) (aprox. 1809,8 grados cuadrados ) |
Radio de la circunsfera [3] | |
Radio de una esfera que es tangente a las caras [3] | |
Radio de la esfera media tangente a los bordes [3] | |
Radio de exesferas | |
Distancia al centro de la exesfera desde el vértice opuesto |
Con respecto al plano base, la pendiente de una cara (2 √ 2 ) es el doble que la de un borde ( √ 2 ), lo que corresponde al hecho de que la distancia horizontal recorrida desde la base hasta el vértice a lo largo de un borde es el doble que a lo largo del mediana de una cara. En otras palabras, si C es el centroide de la base, la distancia de C a un vértice de la base es el doble que la de C al punto medio de un borde de la base. Esto se deriva del hecho de que las medianas de un triángulo se cruzan en su centroide, y este punto divide a cada uno de ellos en dos segmentos, uno de los cuales es dos veces más largo que el otro (ver prueba ).
Para un tetraedro regular con longitud de lado a , radio R de su esfera circunscrita y distancias d i desde un punto arbitrario en el espacio tridimensional a sus cuatro vértices, tenemos [6]
Isometrías del tetraedro regular
Los vértices de un cubo se pueden agrupar en dos grupos de cuatro, cada uno formando un tetraedro regular (ver arriba, y también la animación , que muestra uno de los dos tetraedros en el cubo). Las simetrías de un tetraedro regular corresponden a la mitad de las de un cubo: aquellas que mapean los tetraedros a sí mismos, y no entre sí.
El tetraedro es el único sólido platónico que no se asigna a sí mismo por inversión de puntos .
El tetraedro regular tiene 24 isometrías, formando el grupo de simetría T d , [3,3], (* 332), isomorfo al grupo simétrico , S 4 . Se pueden clasificar de la siguiente manera:
- T , [3,3] + , (332) es isomorfo al grupo alterno , A 4 (la identidad y 11 rotaciones propias) con las siguientes clases de conjugación (entre paréntesis se dan las permutaciones de los vértices, o correspondientemente, las caras, y la representación del cuaternión de la unidad ):
- identidad (identidad; 1)
- rotación alrededor de un eje a través de un vértice, perpendicular al plano opuesto, en un ángulo de ± 120 °: 4 ejes, 2 por eje, juntos 8 ((1 2 3) , etc .;1 ± yo ± j ± k/2)
- rotación en un ángulo de 180 ° de modo que un borde se corresponda con el borde opuesto: 3 ((1 2) (3 4) , etc .; i , j , k )
- reflexiones en un plano perpendicular a una arista: 6
- reflexiones en un plano combinado con rotación de 90 ° alrededor de un eje perpendicular al plano: 3 ejes, 2 por eje, juntos 6; de manera equivalente, son rotaciones de 90 ° combinadas con inversión ( x se asigna a - x ): las rotaciones corresponden a las del cubo sobre los ejes cara a cara
Proyecciones ortogonales del tetraedro regular
El tetraedro regular tiene dos proyecciones ortogonales especiales , una centrada en un vértice o equivalentemente en una cara, y otra centrada en un borde. El primero corresponde al plano A 2 Coxeter .
Centrado por | Cara / vértice | Borde |
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Imagen | ||
Simetría proyectiva | [3] | [4] |
Sección transversal de tetraedro regular
Los dos bordes opuestos perpendiculares sesgados de un tetraedro regular definen un conjunto de planos paralelos. Cuando uno de estos planos se cruza con el tetraedro, la sección transversal resultante es un rectángulo . [7] Cuando el plano de intersección está cerca de uno de los bordes, el rectángulo es largo y delgado. Cuando está a medio camino entre los dos bordes, la intersección es un cuadrado . La relación de aspecto del rectángulo se invierte cuando pasa este punto medio. Para la intersección del cuadrado del punto medio, la línea de límite resultante atraviesa todas las caras del tetraedro de manera similar. Si el tetraedro se biseca en este plano, ambas mitades se convierten en cuñas .
Esta propiedad también se aplica a los difenoides tetragonales cuando se aplica a los dos pares de bordes especiales.
Baldosas esféricas
El tetraedro también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en el plano a través de una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas de la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.
Proyección ortográfica | Proyección estereográfica |
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Apilamiento helicoidal
Los tetraedros regulares se pueden apilar cara a cara en una cadena aperiódica quiral llamada hélice de Boerdijk-Coxeter . En cuatro dimensiones , todos los 4 politopos regulares convexos con celdas tetraédricas (las de 5 celdas , 16 celdas y 600 celdas ) pueden construirse como teselaciones de las 3 esferas mediante estas cadenas, que se vuelven periódicas en la esfera tridimensional. espacio de la superficie límite del 4-politopo.
Otros casos especiales
Relaciones de subgrupos de simetría tetraédrica | Simetrías tetraédricas mostradas en diagramas tetraédricos |
Un tetraedro isósceles , también llamado difenoide , es un tetraedro donde las cuatro caras son triángulos congruentes . Un tetraedro que llena el espacio se empaqueta con copias congruentes de sí mismo en el espacio de baldosas, como el panal tetraédrico difenoide .
En un tetraedro trirrectangular, los tres ángulos de cara en un vértice son ángulos rectos . Si los tres pares de bordes opuestos de un tetraedro son perpendiculares , entonces se llama tetraedro ortocéntrico . Cuando solo un par de bordes opuestos son perpendiculares, se llama tetraedro semi-ortocéntrico . Un tetraedro isodinámico es aquel en el que los cevianos que unen los vértices a los incentros de las caras opuestas son concurrentes , y un tetraedro isogónico tiene cevianos concurrentes que unen los vértices a los puntos de contacto de las caras opuestas con la esfera inscrita del tetraedro. .
Isometrías de tetraedros irregulares
Las isometrías de un tetraedro irregular (sin marcar) dependen de la geometría del tetraedro, con 7 casos posibles. En cada caso se forma un grupo de puntos tridimensional . Pueden existir otras dos isometrías (C 3 , [3] + ) y (S 4 , [2 + , 4 + ]) si se incluyen las marcas de cara o borde. Los diagramas tetraédricos se incluyen para cada tipo a continuación, con bordes coloreados por equivalencia isométrica y son de color gris para bordes únicos.
Nombre del tetraedro | Diagrama de equivalencia de aristas | Descripción | |||
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Simetría | |||||
Schön. | Timonel. | Orbe. | Ord. | ||
Tetraedro regular | Cuatro triángulos equiláteros Forma el grupo de simetría T d , isomorfo al grupo simétrico , S 4 . Un tetraedro regular tiene un diagrama de Coxeter y símbolo de Schläfli {3,3}. | ||||
T d T | [3,3] [3,3] + | * 332 332 | 24 12 | ||
Pirámide triangular | Una base de triángulo equilátero y tres lados de triángulo isósceles iguales Da 6 isometrías, correspondientes a las 6 isometrías de la base. Como permutaciones de los vértices, estas 6 isometrías son la identidad 1, (123), (132), (12), (13) y (23), formando el grupo de simetría C 3v , isomorfo al grupo simétrico , S 3 . Una pirámide triangular tiene el símbolo de Schläfli {3} ∨ (). | ||||
C 3v C 3 | [3] [3] + | * 33 33 | 6 3 | ||
Esfenoides reflejado | Dos triángulos escalenos iguales con un borde de base común Esto tiene dos pares de bordes iguales (1,3), (1,4) y (2,3), (2,4) y, por lo demás, no hay bordes iguales. Las únicas dos isometrías son 1 y la reflexión (34), dando el grupo C s , también isomorfo al grupo cíclico , Z 2 . | ||||
C s = C 1h = C 1v | [] | * | 2 | ||
Tetraedro irregular (sin simetría) | Cuatro triángulos desiguales Su única isometría es la identidad, y el grupo de simetría es el grupo trivial . Un tetraedro irregular tiene el símbolo de Schläfli () ∨ () ∨ () ∨ (). | ||||
C 1 | [] + | 1 | 1 | ||
Disphenoids (cuatro triángulos iguales) | |||||
Disfenoides tetragonal | Cuatro triángulos isósceles iguales Tiene 8 isometrías. Si los bordes (1,2) y (3,4) tienen una longitud diferente a los otros 4, entonces las 8 isometrías son la identidad 1, las reflexiones (12) y (34) y las rotaciones de 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23) y rotaciones impropias de 90 ° (1234) y (1432) formando el grupo de simetría D 2d . Un difenoide tetragonal tiene diagrama de Coxeter y símbolo de Schläfli s {2,4}. | ||||
D 2d S 4 | [2 + , 4] [2 + , 4 + ] | 2 * 2 2 × | 8 4 | ||
Disfenoide rómbico | Cuatro triángulos escalenos iguales Tiene 4 isometrías. Las isometrías son 1 y las rotaciones de 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23). Este es el grupo de cuatro Klein V 4 o Z 2 2 , presente como el grupo de puntos D 2 . Un esfenoide rómbico tiene diagrama de Coxeter y símbolo de Schläfli sr {2,2}. | ||||
D 2 | [2,2] + | 222 | 4 | ||
Disfenoides generalizados (2 pares de triángulos iguales) | |||||
Disfenoide digonal | Dos pares de triángulos isósceles iguales Esto da dos aristas opuestas (1,2) y (3,4) que son perpendiculares pero de diferente longitud, y luego las 4 isometrías son 1, reflexiones (12) y (34) y la rotación de 180 ° (12) (34) . El grupo de simetría es C 2v , isomorfo al V 4 de cuatro grupos de Klein . Un disphenoid digonal tiene el símbolo de Schläfli {} ∨ {}. | ||||
C 2v C 2 | [2] [2] + | * 22 22 | 4 2 | ||
Disfenoide fílico | Dos pares de triángulos isósceles o escalenos iguales Esto tiene dos pares de bordes iguales (1,3), (2,4) y (1,4), (2,3) pero por lo demás no hay bordes iguales. Las únicas dos isometrías son 1 y la rotación (12) (34), dando al grupo C 2 isomorfo al grupo cíclico , Z 2 . | ||||
C 2 | [2] + | 22 | 2 |
Propiedades generales
Volumen
El volumen de un tetraedro viene dado por la fórmula del volumen de la pirámide:
donde A 0 es el área de la base y h es la altura desde la base hasta el vértice. Esto se aplica a cada una de las cuatro opciones de la base, por lo que las distancias desde los vértices a las caras opuestas son inversamente proporcionales a las áreas de estas caras.
Para un tetraedro con vértices a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) , c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) y d = ( d 1 , d 2 , d 3 ) , el volumen es1/6| det ( a - d , b - d , c - d ) | , o cualquier otra combinación de pares de vértices que formen un gráfico simplemente conectado . Esto se puede reescribir utilizando un producto escalar y un producto cruzado , lo que da como resultado
Si el origen del sistema de coordenadas se elige para que coincida con el vértice d , entonces d = 0, entonces
donde una , b , y c representan tres bordes que se unen en un vértice, y una · ( b × c ) es un producto mixto . Comparando esta fórmula con la utilizada para calcular el volumen de un paralelepípedo , llegamos a la conclusión de que el volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del volumen de cualquier paralelepípedo que comparte tres bordes convergentes con él.
El valor absoluto del producto triple escalar se puede representar como los siguientes valores absolutos de determinantes:
- o dónde se expresan como vectores de fila o columna.
Por eso
- dónde
lo que da
donde α , β , γ son los ángulos planos que ocurren en el vértice d . El ángulo α , es el ángulo entre los dos bordes que conectan el vértice d a los vértices b y c . El ángulo β , lo hace para los vértices de un y c , mientras que γ , se define por la posición de los vértices de un y b .
Dadas las distancias entre los vértices de un tetraedro, el volumen se puede calcular utilizando el determinante de Cayley-Menger :
donde los subíndices i , j ∈ {1, 2, 3, 4} representan los vértices { a , b , c , d } y d ij es la distancia por pares entre ellos, es decir, la longitud del borde que conecta los dos vértices. Un valor negativo del determinante significa que no se puede construir un tetraedro con las distancias dadas. Esta fórmula, a veces llamada fórmula de Tartaglia , se debe esencialmente al pintor Piero della Francesca en el siglo XV, como un análogo tridimensional de la fórmula de Herón del siglo I para el área de un triángulo. [8]
Denote a, b, c ser tres aristas que se encuentran en un punto, yx, y, z las aristas opuestas. Sea V el volumen del tetraedro; luego [9]
dónde
La fórmula anterior usa seis longitudes de aristas y la siguiente fórmula usa tres longitudes de aristas y tres ángulos.
Fórmula tipo garza para el volumen de un tetraedro
Si U , V , W , u , v , w son longitudes de los bordes del tetraedro (los primeros tres forman un triángulo; u opuesto a U y así sucesivamente), entonces [10]
dónde
Divisor de volumen
Un plano que divide dos bordes opuestos de un tetraedro en una proporción determinada también divide el volumen del tetraedro en la misma proporción. Así, cualquier plano que contenga un bimediano (conector de los puntos medios de los bordes opuestos) de un tetraedro biseca el volumen del tetraedro. [11] [12] : págs . 89–90
Volumen no euclidiano
Para los tetraedros en el espacio hiperbólico o en la geometría elíptica tridimensional , los ángulos diedros del tetraedro determinan su forma y, por tanto, su volumen. En estos casos, el volumen viene dado por la fórmula de Murakami-Yano . [13] Sin embargo, en el espacio euclidiano, escalar un tetraedro cambia su volumen pero no sus ángulos diedros, por lo que tal fórmula no puede existir.
Distancia entre los bordes
Dos bordes opuestos cualesquiera de un tetraedro se encuentran en dos líneas oblicuas , y la distancia entre los bordes se define como la distancia entre las dos líneas oblicuas. Let d sea la distancia entre las líneas oblicuas formadas por bordes opuestos una y b - c tal como se calcula aquí . Entonces otra fórmula de volumen viene dada por
Propiedades análogas a las de un triángulo
El tetraedro tiene muchas propiedades análogas a las de un triángulo, incluyendo una insfera, circunsfera, tetraedro medial y exesferas. Tiene centros respectivos como incentro, circuncentro, excéntrico, centro de Spieker y puntos como un centroide. Sin embargo, generalmente no existe un ortocentro en el sentido de altitudes que se cruzan. [14]
Gaspard Monge encontró un centro que existe en cada tetraedro, ahora conocido como el punto Monge : el punto donde se cruzan los seis planos medios de un tetraedro. Un plano medio se define como un plano que es ortogonal a un borde que une dos vértices cualesquiera y que también contiene el centroide de un borde opuesto formado al unir los otros dos vértices. Si las altitudes del tetraedro se cruzan, entonces el punto de Monge y el ortocentro coinciden para dar la clase de tetraedro ortocéntrico .
Una línea ortogonal que cae desde el punto de Monge a cualquier cara se encuentra con esa cara en el punto medio del segmento de línea entre el ortocentro de esa cara y el pie de la altitud que cae desde el vértice opuesto.
Un segmento de línea que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana y un segmento de línea que une los puntos medios de dos bordes opuestos se llama bimediano del tetraedro. Por tanto, hay cuatro medianas y tres bimedianos en un tetraedro. Estos siete segmentos de línea son todos concurrentes en un punto llamado centroide del tetraedro. [15] Además, las cuatro medianas se dividen en una proporción de 3: 1 por el centroide (ver teorema de Commandino ). El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto Monge y su circuncentro. Estos puntos definen la línea de Euler del tetraedro que es análoga a la línea de Euler de un triángulo.
El círculo de nueve puntos del triángulo general tiene un análogo en la circunsfera del tetraedro medial de un tetraedro. Es la esfera de doce puntos y además de los centroides de las cuatro caras del tetraedro de referencia, pasa por cuatro puntos de Euler sustitutos , un tercio del camino desde el punto de Monge hacia cada uno de los cuatro vértices. Finalmente pasa por los cuatro puntos base de las líneas ortogonales que se caen desde cada punto de Euler hasta la cara que no contiene el vértice que generó el punto de Euler. [dieciséis]
El centro T de la esfera de doce puntos también se encuentra en la línea de Euler. A diferencia de su contraparte triangular, este centro se encuentra a un tercio del camino desde el punto M de Monge hacia el circuncentro. Además, una línea ortogonal a través de T a una cara elegida es coplanar con otras dos líneas ortogonales a la misma cara. La primera es una línea ortogonal que pasa por el punto de Euler correspondiente hasta la cara elegida. La segunda es una línea ortogonal que pasa por el centroide de la cara elegida. Esta línea ortogonal a través del centro de doce puntos se encuentra a medio camino entre la línea ortogonal del punto de Euler y la línea ortogonal centroidal. Además, para cualquier cara, el centro de doce puntos se encuentra en el punto medio del punto de Euler correspondiente y el ortocentro de esa cara.
El radio de la esfera de doce puntos es un tercio del radio circunferencial del tetraedro de referencia.
Existe una relación entre los ángulos formados por las caras de un tetraedro general dada por [17]
donde α ij es el ángulo entre las caras i y j .
La mediana geométrica de las coordenadas de posición del vértice de un tetraedro y su centro isogónico están asociadas, en circunstancias análogas a las observadas para un triángulo. Lorenz Lindelöf descubrió que, correspondiente a cualquier tetraedro dado, hay un punto ahora conocido como centro isogónico, O , en el que los ángulos sólidos subtendidos por las caras son iguales, tienen un valor común de π sr, y en el que los ángulos subtendidos por opuestos los bordes son iguales. [18] Un ángulo sólido de π sr es una cuarta parte del subtendido por todo el espacio. Cuando todos los ángulos sólidos en los vértices de un tetraedro son más pequeños que π sr, O se encuentra dentro del tetraedro, y debido a que la suma de las distancias de O a los vértices es mínima, O coincide con la mediana geométrica , M , de los vértices. . En el caso de que el ángulo sólido en uno de los vértices, v , mida exactamente π sr, entonces O y M coinciden con v . Sin embargo, si un tetraedro tiene un vértice, v , con un ángulo sólido mayor que π sr, M todavía corresponde av , pero O se encuentra fuera del tetraedro.
Relaciones geométricas
Un tetraedro es un 3- simplex . A diferencia del caso de los otros sólidos platónicos, todos los vértices de un tetraedro regular son equidistantes entre sí (son la única disposición posible de cuatro puntos equidistantes en un espacio tridimensional).
Un tetraedro es una pirámide triangular y el tetraedro regular es auto-dual .
Un tetraedro regular se puede incrustar dentro de un cubo de dos maneras, de modo que cada vértice es un vértice del cubo y cada borde es una diagonal de una de las caras del cubo. Para una de esas incrustaciones, las coordenadas cartesianas de los vértices son
- (+1, +1, +1);
- (-1, -1, +1);
- (-1, +1, -1);
- (+1, −1, −1).
Esto produce un tetraedro con una longitud de borde 2 √ 2 , centrado en el origen. Para el otro tetraedro (que es dual con el primero), invierta todos los signos. Estos dos vértices de tetraedros combinados son los vértices de un cubo, lo que demuestra que el tetraedro regular es el 3- demicubo .
El volumen de este tetraedro es un tercio del volumen del cubo. La combinación de ambos tetraedros da un compuesto poliédrico regular llamado compuesto de dos tetraedros o stella octangula .
El interior de la octangula stella es un octaedro , y, correspondientemente, un octaedro regular es el resultado de cortar, de un tetraedro regular, cuatro tetraedros regulares de la mitad del tamaño lineal (es decir, rectificar el tetraedro).
La incrustación anterior divide el cubo en cinco tetraedros, uno de los cuales es regular. De hecho, cinco es el número mínimo de tetraedros necesarios para componer un cubo. Para ver esto, partiendo de un tetraedro base con 4 vértices, cada tetraedro agregado agrega como máximo 1 vértice nuevo, por lo que se deben agregar al menos 4 más para hacer un cubo, que tiene 8 vértices.
Al inscribir tetraedros dentro del compuesto regular de cinco cubos se obtienen dos compuestos regulares más, que contienen cinco y diez tetraedros.
Los tetraedros regulares no pueden teselar el espacio por sí mismos, aunque este resultado parece lo suficientemente probable como para que Aristóteles afirmara que era posible. Sin embargo, dos tetraedros regulares se pueden combinar con un octaedro, dando un romboedro que puede enlosar el espacio.
Sin embargo, se conocen varios tetraedros irregulares, de los cuales las copias pueden enlosar el espacio, por ejemplo el panal tetraédrico difenoide . La lista completa sigue siendo un problema abierto. [19]
Si uno relaja el requisito de que todos los tetraedros tengan la misma forma, se puede enlosar el espacio usando solo tetraedros de muchas formas diferentes. Por ejemplo, se puede dividir un octaedro en cuatro tetraedros idénticos y combinarlos nuevamente con dos regulares. (Como nota al margen: estos dos tipos de tetraedro tienen el mismo volumen).
El tetraedro es único entre los poliedros uniformes al no poseer caras paralelas.
Una ley de senos para tetraedros y el espacio de todas las formas de tetraedros
Un corolario de la ley habitual de los senos es que en un tetraedro con vértices O , A , B , C , tenemos
Uno puede ver los dos lados de esta identidad como correspondientes a las orientaciones de la superficie en sentido horario y antihorario.
Al poner cualquiera de los cuatro vértices en el papel de O se obtienen cuatro de tales identidades, pero como máximo tres de ellas son independientes: si los lados "en el sentido de las agujas del reloj" de tres de ellos se multiplican y se infiere que el producto es igual al producto de la Los lados "en sentido antihorario" de las mismas tres identidades, y luego los factores comunes se cancelan desde ambos lados, el resultado es la cuarta identidad.
Tres ángulos son los ángulos de algún triángulo si y solo si su suma es 180 ° (π radianes). ¿Qué condición en 12 ángulos es necesaria y suficiente para que sean los 12 ángulos de algún tetraedro? Claramente, la suma de los ángulos de cualquier lado del tetraedro debe ser de 180 °. Dado que hay cuatro triángulos de este tipo, existen cuatro restricciones de este tipo en las sumas de ángulos, y el número de grados de libertad se reduce de 12 a 8. Las cuatro relaciones dadas por esta ley del seno reducen aún más el número de grados de libertad, de 8 hasta no 4 sino 5, ya que la cuarta restricción no es independiente de las tres primeras. Por tanto, el espacio de todas las formas de tetraedros es de 5 dimensiones. [20]
Ley de cosenos para tetraedros
Sean { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } los puntos de un tetraedro. Sea Δ i el área de la cara opuesta al vértice P i y sea θ ij el ángulo diedro entre las dos caras del tetraedro adyacente a la arista P i P j .
La ley de los cosenos para este tetraedro, [21] que relaciona las áreas de las caras del tetraedro con los ángulos diedros alrededor de un vértice, viene dada por la siguiente relación:
Punto interior
Sea P cualquier punto interior de un tetraedro de volumen V cuyos vértices son A , B , C y D , y cuyas áreas de las caras opuestas son F a , F b , F c y F d . Entonces [22] : p.62, # 1609
Para los vértices A , B , C y D , el punto interior P y los pies J , K , L y M de las perpendiculares de P a las caras, y suponga que las caras tienen áreas iguales, entonces [22] : p.226 , # 215
Inradius
Denotando el inradio de un tetraedro como r y el inradio de sus caras triangulares como r i para i = 1, 2, 3, 4, tenemos [22] : p.81, # 1990
con igualdad si y solo si el tetraedro es regular.
Si A 1 , A 2 , A 3 y A 4 denotan el área de cada cara, el valor de r viene dado por
- .
Esta fórmula se obtiene al dividir el tetraedro en cuatro tetraedros cuyos puntos son los tres puntos de una de las caras originales y el incentro. Dado que los cuatro substetraedros llenan el volumen, tenemos.
Circumradius
Denotan la circunferencia circunscrita de un tetraedro como R . Sean a , b , c las longitudes de las tres aristas que se encuentran en un vértice, y A , B , C la longitud de las aristas opuestas. Sea V el volumen del tetraedro. Entonces [23] [24]
Circuncentro
El circuncentro de un tetraedro se puede encontrar como intersección de tres planos bisectores. Un plano bisector se define como el plano centrado y ortogonal a un borde del tetraedro. Con esta definición, el circuncentro C de un tetraedro con vértices x 0 , x 1 , x 2 , x 3 se puede formular como producto matriz-vector: [25]
A diferencia del centroide, es posible que el circuncentro no siempre se encuentre en el interior de un tetraedro. De manera análoga a un triángulo obtuso, el circuncentro está fuera del objeto para un tetraedro obtuso.
Centroide
El centro de masa del tetraedro se calcula como la media aritmética de sus cuatro vértices, ver Centroide .
Caras
La suma de las áreas de tres caras cualesquiera es mayor que el área de la cuarta cara. [22] : p.225, # 159
Tetraedros enteros
Existen tetraedros que tienen longitudes de borde, áreas de la cara y volumen con valores enteros. Estos se llaman tetraedros heronianos . Un ejemplo tiene un borde de 896, el borde opuesto de 990 y los otros cuatro bordes de 1073; dos caras son triángulos isósceles con áreas de436 800 y los otros dos son isósceles con áreas de47 120 , mientras que el volumen es124185600.[26]
A tetrahedron can have integer volume and consecutive integers as edges, an example being the one with edges 6, 7, 8, 9, 10, and 11 and volume 48.[27]
Poliedros y compuestos relacionados
A regular tetrahedron can be seen as a triangular pyramid.
Regular pyramids | ||||||||
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Digonal | Triangular | Square | Pentagonal | Hexagonal | Heptagonal | Octagonal | Enneagonal | Decagonal... |
Improper | Regular | Equilateral | Isosceles | |||||
A regular tetrahedron can be seen as a degenerate polyhedron, a uniform digonal antiprism, where base polygons are reduced digons.
Antiprism name | Digonal antiprism | (Trigonal) Triangular antiprism | (Tetragonal) Square antiprism | Pentagonal antiprism | Hexagonal antiprism | Heptagonal antiprism | Octagonal antiprism | Enneagonal antiprism | Decagonal antiprism | Hendecagonal antiprism | Dodecagonal antiprism | ... | Apeirogonal antiprism |
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Polyhedron image | ... | ||||||||||||
Spherical tiling image | Plane tiling image | ||||||||||||
Vertex config. | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | 8.3.3.3 | 9.3.3.3 | 10.3.3.3 | 11.3.3.3 | 12.3.3.3 | ... | ∞.3.3.3 |
A regular tetrahedron can be seen as a degenerate polyhedron, a uniform dual digonal trapezohedron, containing 6 vertices, in two sets of colinear edges.
Trapezohedron name | Digonal trapezohedron (Tetrahedron) | Trigonal trapezohedron | Tetragonal trapezohedron | Pentagonal trapezohedron | Hexagonal trapezohedron | Heptagonal trapezohedron | Octagonal trapezohedron | Decagonal trapezohedron | Dodecagonal trapezohedron | ... | Apeirogonal trapezohedron |
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Polyhedron image | ... | ||||||||||
Spherical tiling image | Plane tiling image | ||||||||||
Face configuration | V2.3.3.3 | V3.3.3.3 | V4.3.3.3 | V5.3.3.3 | V6.3.3.3 | V7.3.3.3 | V8.3.3.3 | V10.3.3.3 | V12.3.3.3 | ... | V∞.3.3.3 |
A truncation process applied to the tetrahedron produces a series of uniform polyhedra. Truncating edges down to points produces the octahedron as a rectified tetrahedron. The process completes as a birectification, reducing the original faces down to points, and producing the self-dual tetrahedron once again.
Family of uniform tetrahedral polyhedra | |||||||
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Symmetry: [3,3], (*332) | [3,3]+, (332) | ||||||
{3,3} | t{3,3} | r{3,3} | t{3,3} | {3,3} | rr{3,3} | tr{3,3} | sr{3,3} |
Duals to uniform polyhedra | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
This polyhedron is topologically related as a part of sequence of regular polyhedra with Schläfli symbols {3,n}, continuing into the hyperbolic plane.
*n32 symmetry mutation of regular tilings: {3,n} | |||||||||||
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Spherical | Euclid. | Compact hyper. | Paraco. | Noncompact hyperbolic | |||||||
3.3 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 3∞ | 312i | 39i | 36i | 33i |
The tetrahedron is topologically related to a series of regular polyhedra and tilings with order-3 vertex figures.
*n32 symmetry mutation of regular tilings: {n,3} | |||||||||||
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Spherical | Euclidean | Compact hyperb. | Paraco. | Noncompact hyperbolic | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
Two tetrahedra in a cube
Compound of five tetrahedra
Compound of ten tetrahedra
An interesting polyhedron can be constructed from five intersecting tetrahedra. This compound of five tetrahedra has been known for hundreds of years. It comes up regularly in the world of origami. Joining the twenty vertices would form a regular dodecahedron. There are both left-handed and right-handed forms, which are mirror images of each other. Superimposing both forms gives a compound of ten tetrahedra, in which the ten tetrahedra are arranged as five pairs of stellae octangulae. A stella octangula is a compound of two tetrahedra in dual position and its eight vertices define a cube as their convex hull.
The square hosohedron is another polyhedron with four faces, but it does not have triangular faces.
Aplicaciones
Numerical analysis
In numerical analysis, complicated three-dimensional shapes are commonly broken down into, or approximated by, a polygonal mesh of irregular tetrahedra in the process of setting up the equations for finite element analysis especially in the numerical solution of partial differential equations. These methods have wide applications in practical applications in computational fluid dynamics, aerodynamics, electromagnetic fields, civil engineering, chemical engineering, naval architecture and engineering, and related fields.
Structural engineering
A tetrahedron having stiff edges is inherently rigid. For this reason it is often used to stiffen frame structures such as spaceframes.
Aviation
At some airfields, a large frame in the shape of a tetrahedron with two sides covered with a thin material is mounted on a rotating pivot and always points into the wind. It is built big enough to be seen from the air and is sometimes illuminated. Its purpose is to serve as a reference to pilots indicating wind direction.[28]
Chemistry
The tetrahedron shape is seen in nature in covalently bonded molecules. All sp3-hybridized atoms are surrounded by atoms (or lone electron pairs) at the four corners of a tetrahedron. For instance in a methane molecule (CH
4) or an ammonium ion (NH+
4), four hydrogen atoms surround a central carbon or nitrogen atom with tetrahedral symmetry. For this reason, one of the leading journals in organic chemistry is called Tetrahedron. The central angle between any two vertices of a perfect tetrahedron is arccos(− 1/3), or approximately 109.47°.[5]
Water, H
2O, also has a tetrahedral structure, with two hydrogen atoms and two lone pairs of electrons around the central oxygen atoms. Its tetrahedral symmetry is not perfect, however, because the lone pairs repel more than the single O–H bonds.
Quaternary phase diagrams of mixtures of chemical substances are represented graphically as tetrahedra.
However, quaternary phase diagrams in communication engineering are represented graphically on a two-dimensional plane.
Electricity and electronics
If six equal resistors are soldered together to form a tetrahedron, then the resistance measured between any two vertices is half that of one resistor.[29][30]
Since silicon is the most common semiconductor used in solid-state electronics, and silicon has a valence of four, the tetrahedral shape of the four chemical bonds in silicon is a strong influence on how crystals of silicon form and what shapes they assume.
Color space
Tetrahedra are used in color space conversion algorithms specifically for cases in which the luminance axis diagonally segments the color space (e.g. RGB, CMY).[31]
Games
The Royal Game of Ur, dating from 2600 BC, was played with a set of tetrahedral dice.
Especially in roleplaying, this solid is known as a 4-sided die, one of the more common polyhedral dice, with the number rolled appearing around the bottom or on the top vertex. Some Rubik's Cube-like puzzles are tetrahedral, such as the Pyraminx and Pyramorphix.
Geology
The tetrahedral hypothesis, originally published by William Lowthian Green to explain the formation of the Earth,[32] was popular through the early 20th century.[33][34]
Weaponry
Some caltrops are based on tetrahedra as one spike points upwards regardless of how they land and can be easily made by welding two bent nails together.
Contemporary art
The Austrian artist Martina Schettina created a tetrahedron using fluorescent lamps. It was shown at the light art biennale Austria 2010.[35]
It is used as album artwork, surrounded by black flames on The End of All Things to Come by Mudvayne.
Popular culture
Stanley Kubrick originally intended the monolith in 2001: A Space Odyssey to be a tetrahedron, according to Marvin Minsky, a cognitive scientist and expert on artificial intelligence who advised Kubrick on the HAL 9000 computer and other aspects of the movie. Kubrick scrapped the idea of using the tetrahedron as a visitor who saw footage of it did not recognize what it was and he did not want anything in the movie regular people did not understand.[36]
In Season 6, Episode 15 of Futurama, named "Möbius Dick", the Planet Express crew pass through an area in space known as the Bermuda Tetrahedron. Many other ships passing through the area have mysteriously disappeared, including that of the first Planet Express crew.
In the 2013 film Oblivion the large structure in orbit above the Earth is of a tetrahedron design and referred to as the Tet.
Gráfico tetraédrico
Tetrahedral graph | |
---|---|
Vertices | 4 |
Edges | 6 |
Radius | 1 |
Diameter | 1 |
Girth | 3 |
Automorphisms | 24 |
Chromatic number | 4 |
Properties | Hamiltonian, regular, symmetric, distance-regular, distance-transitive, 3-vertex-connected, planar graph |
Table of graphs and parameters |
The skeleton of the tetrahedron (comprising the vertices and edges) forms a graph, with 4 vertices, and 6 edges. It is a special case of the complete graph, K4, and wheel graph, W4.[37] It is one of 5 Platonic graphs, each a skeleton of its Platonic solid.
3-fold symmetry |
Ver también
- Boerdijk–Coxeter helix
- Möbius configuration
- Caltrop
- Demihypercube and simplex – n-dimensional analogues
- Pentachoron – 4-dimensional analogue
- Tetra Pak
- Tetrahedral kite
- Tetrahedral number
- Tetrahedron packing
- Triangular dipyramid – constructed by joining two tetrahedra along one face
- Trirectangular tetrahedron
Referencias
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Tetrahedron". MathWorld.
- ^ Ford, Walter Burton; Ammerman, Charles (1913), Plane and Solid Geometry, Macmillan, pp. 294–295
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- ^ Weisstein, Eric W. "Tetrahedral graph". MathWorld.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Tetrahedron". MathWorld.
- Free paper models of a tetrahedron and many other polyhedra
- An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron that also includes a description of a "rotating ring of tetrahedra", also known as a kaleidocycle.
Family | An | Bn | I2(p) / Dn | E6 / E7 / E8 / F4 / G2 | Hn | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Regular polygon | Triangle | Square | p-gon | Hexagon | Pentagon | |||||||
Uniform polyhedron | Tetrahedron | Octahedron • Cube | Demicube | Dodecahedron • Icosahedron | ||||||||
Uniform polychoron | 5-cell | 16-cell • Tesseract | Demitesseract | 24-cell | 120-cell • 600-cell | |||||||
Uniform 5-polytope | 5-simplex | 5-orthoplex • 5-cube | 5-demicube | |||||||||
Uniform 6-polytope | 6-simplex | 6-orthoplex • 6-cube | 6-demicube | 122 • 221 | ||||||||
Uniform 7-polytope | 7-simplex | 7-orthoplex • 7-cube | 7-demicube | 132 • 231 • 321 | ||||||||
Uniform 8-polytope | 8-simplex | 8-orthoplex • 8-cube | 8-demicube | 142 • 241 • 421 | ||||||||
Uniform 9-polytope | 9-simplex | 9-orthoplex • 9-cube | 9-demicube | |||||||||
Uniform 10-polytope | 10-simplex | 10-orthoplex • 10-cube | 10-demicube | |||||||||
Uniform n-polytope | n-simplex | n-orthoplex • n-cube | n-demicube | 1k2 • 2k1 • k21 | n-pentagonal polytope | |||||||
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