3 31 panal | |
---|---|
(Sin imágen) | |
Tipo | Teselación uniforme |
Símbolo de Schläfli | {3,3,3,3 3,1 } |
Símbolo de coxeter | 3 31 |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
Tipos de 7 caras | 3 21 {3 6 } |
Tipos de 6 caras | 2 21 {3 5 } |
Tipos de 5 caras | 2 11 {3 4 } |
Tipo de 4 caras | {3 3 } |
Tipo de célula | {3 2 } |
Tipo de cara | {3} |
Figura de la cara | 0 31 |
Figura de borde | 1 31 |
Figura de vértice | 2 31 |
Grupo Coxeter | , [3 3,3,1 ] |
Propiedades | vértice-transitivo |
En geometría de 7 dimensiones , el panal 3 31 es un panal uniforme, también dado por el símbolo de Schläfli {3,3,3,3 3,1 } y está compuesto por 3 facetas 21 y 7-simplex , con 56 y 576 de ellas respectivamente alrededor de cada vértice.
Construcción
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 7 dimensiones.
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
La eliminación del nodo en la rama corta deja la faceta 6-simplex :
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 3 longitudes deja la faceta 3 21 :
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace 2 31 politopos.
La figura del borde se determina quitando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace 6-demicube ( 1 31 ).
La figura de la cara se determina quitando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace rectificado 5-simplex ( 0 31 ).
La figura de la celda se determina quitando el nodo anillado de la figura de la cara y haciendo sonar los nodos vecinos. Esto hace que el prisma tetraédrico sea {} × {3,3}.
Número de besos
Cada vértice de esta teselación es el centro de una 6-esfera en el empaquetamiento más denso conocido en 7 dimensiones; su número de besos es 126, representado por los vértices de su vértice figura 2 31 .
Celosía E7
La disposición del vértice del panal de abejas 3 31 se llama celosía E 7 . [1]
contiene como un subgrupo del índice 144. [2] Ambos y puede verse como una extensión afín de de diferentes nodos:
La celosía E 7 también se puede expresar como una unión de los vértices de dos celosías A 7 , también llamadas A 7 2 :
- = ∪
La celosía E 7 * (también llamada E 7 2 ) [3] tiene el doble de simetría, representada por [[3,3 3,3 ]]. La celda Voronoi de la celosía E 7 * es el politopo 1 32 , y la teselación voronoi el panal 1 33 . [4] La celosía E 7 * está construida por 2 copias de los vértices de la celosía E 7 , una de cada rama larga del diagrama de Coxeter, y se puede construir como la unión de cuatro celosías A 7 * , también llamadas A 7 4 :
- ∪ = ∪ ∪ ∪ = dual de .
Panales relacionados
Está en una serie dimensional de politopos uniformes y panales, expresada por Coxeter como serie 3 k1 . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como un mosaico de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | |||
---|---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Grupo Coxeter | A 3 A 1 | A 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Diagrama de Coxeter | ||||||
Simetría | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3] | [3 2,3,1 ] | [3 3,3,1 ] | [3 4,3,1 ] |
Pedido | 48 | 720 | 46,080 | 2.903.040 | ∞ | |
Grafico | - | - | ||||
Nombre | 3 1, -1 | 3 10 | 3 11 | 3 21 | 3 31 | 3 41 |
Ver también
- 8 politopos
- 1 33 panal
Referencias
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/E7.html
- ^ NW Johnson: Geometrías y transformaciones , (2018) Capítulo 12: Grupos de simetría euclidiana, p 177
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/Es7.html
- ^ Las celdas de Voronoi de las celosías E6 * y E7 * , Edward Pervin
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Coxeter The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- RT Worley , la región de Voronoi de E7 * . SIAM J. Discrete Math., 1.1 (1988), 134-141.
- Conway, John H .; Sloane, Neil JA (1998). Empaquetaduras de esferas, celosías y grupos ((3ª ed.) Ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9. p124-125, 8.2 Las celosías de 7 dimensiones: E7 y E7 *
- Klitzing, Richard. "7D Heptacubs x3o3o3o3o3o3o * d3o - naquoh" .
Espacio | Familia | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |