En matemáticas , un operador disipativo es un operador lineal A definido en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X , tomando valores en X tales que para todo λ > 0 y todo x ∈ D ( A )
A continuación se dan un par de definiciones equivalentes. Un operador disipativo se llama máximo disipativo si es disipativa por todas λ > 0 el operador ? I - A es sobreyectiva, lo que significa que el rango cuando se aplica al dominio D es la totalidad del espacio X .
Un operador que obedece a una condición similar pero con un signo más en lugar de un signo menos (es decir, la negación de un operador disipativo) se llama operador acretivo . [1]
La principal importancia de los operadores disipativos es su aparición en el teorema de Lumer-Phillips que caracteriza a los operadores de máxima disipación como generadores de semigrupos de contracción .
Propiedades
Un operador disipativo tiene las siguientes propiedades: [2]
- De la desigualdad dada arriba, vemos que para cualquier x en el dominio de A , si ‖ x ‖ ≠ 0 entoncesentonces el núcleo de λI - A es solo el vector cero y λI - A es por lo tanto inyectivo y tiene una inversa para todo λ > 0. (Si tenemos la desigualdad estricta para todo x no nulo en el dominio, entonces, por la desigualdad del triángulo , lo que implica que A en sí mismo tiene una inversa.) Podemos entonces afirmar que
- para todos z en el intervalo de ? i - A . Esta es la misma desigualdad que la dada al principio de este artículo, con (Podríamos igualmente escribir estos como que debe ser válida para cualquier κ positivo.)
- λI - A es sobreyectiva para algún λ > 0 si y solo si es sobreyectiva para todo λ > 0. (Este es el caso de máxima disipación mencionado anteriormente). En ese caso, uno tiene (0, ∞) ⊂ ρ ( A ) (el conjunto resolutivo de A ).
- A es un operador cerrado si y solo si el rango de λI - A está cerrado para algunos (equivalentemente: para todos) λ > 0.
Caracterizaciones equivalentes
Defina el conjunto de dualidad de x ∈ X , un subconjunto del espacio dual X ' de X , por
Según el teorema de Hahn-Banach, este conjunto no está vacío. [3] En el caso del espacio de Hilbert (usando la dualidad canónica entre un espacio de Hilbert y su dual) consiste en el elemento único x . [4] De manera más general, si X es un espacio de Banach con un dual estrictamente convexo, entonces J ( x ) consta de un solo elemento. [5] Usando esta notación, A es disipativo si y solo si [6] para todo x ∈ D ( A ) existe un x '∈ J ( x ) tal que
En el caso de los espacios de Hilbert, esto se convierte en para todo x en D ( A ). Dado que esto no es positivo, tenemos
Dado que I − A tiene una inversa, esto implica quees una contracción y, de manera más general,es una contracción para cualquier λ positivo. La utilidad de esta formulación es que si este operador es una contracción para algún λ positivo, entonces A es disipativo. No es necesario mostrar que es una contracción para todos los valores positivos de λ (aunque esto es cierto), en contraste con (λI − A) −1, que debe demostrarse que es una contracción para todos los valores positivos de λ.
Ejemplos de
- Para un ejemplo simple de dimensión finita, considere el espacio euclidiano n- dimensional R n con su producto escalar habitual . Si A denota el negativo del operador de identidad , definido en todo R n , entonces
- entonces A es un operador disipativo.
- Siempre que el dominio de un operador A (una matriz) sea todo el espacio euclidiano, entonces es disipativo si y solo si A + A * (la suma de A y su adjunto ) no tiene ningún valor propio positivo y (en consecuencia ) todos estos operadores son máximamente disipativos. Este criterio se deriva del hecho de que la parte real deque debe ser no positivo para cualquier x , esPor tanto, los valores propios de esta forma cuadrática deben ser no positivos. (El hecho de que la parte real dedebe ser no positivo implica que las partes reales de los valores propios de A deben ser no positivas, pero esto no es suficiente. Por ejemplo, sientonces sus autovalores son negativos, pero los autovalores de A + A * son −5 y 1, por lo que A no es disipativo.) Una condición equivalente es que para algunos (y por lo tanto cualquier) positivo tiene una inversa y el operador es una contracción (es decir, disminuye o deja sin cambios la norma de su operando). Si Ax da la derivada del tiempo de un punto x en el espacio , entonces la evolución del tiempo está gobernada por un semigrupo de contracción que constantemente disminuye la norma (o al menos no permite que aumente). (Tenga en cuenta, sin embargo, que si el dominio de A es un subespacio adecuado, entonces A no puede ser máximamente disipativo porque el rango no tendrá una dimensionalidad lo suficientemente alta).
- Considere H = L 2 ([0, 1]; R ) con su producto interno habitual, y sea Au = u ′ (en este caso una derivada débil ) con dominio D ( A ) igual a esas funciones u en el espacio de Sobolev con u (1) = 0. D ( A ) es denso en L 2 ([0, 1]; R ). Además, para cada u en D ( A ), utilizando la integración por partes ,
- Por tanto, A es un operador disipativo. Además, dado que hay una solución ( casi en todas partes ) en D para para cualquier f en H , el operador A es máximamente disipativo. Tenga en cuenta que en un caso de dimensionalidad infinita como este, el rango puede ser todo el espacio de Banach aunque el dominio sea solo un subespacio adecuado del mismo.
- Considere H = H 0 2 (Ω; R ) (vea el espacio de Sobolev ) para un dominio abierto y conectado Ω ⊆ R n y sea A = Δ, el operador de Laplace , definido en el subespacio denso de funciones suaves con soporte compacto en Ω. Luego, usando la integración por partes,
- entonces el laplaciano es un operador disipativo.
Notas
- ^ "Operador disipativo" . Enciclopedia de Matemáticas .
- ^ Proposición II.3.14 de Engel y Nagel
- ^ El teorema implica que para una x dadaexiste un funcional lineal continuo φ con la propiedad de que φ ( x ) = ‖ x ‖, con la norma de φ igual a 1. Identificamos ‖ x ‖φ con x '.
- ^ Ejercicio II.3.25i de Engel y Nagel
- ^ Engel y Nagel Ejemplo II.3.26
- ^ Proposición II.3.23 de Engel y Nagel
Referencias
- Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000). Semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal . Saltador.
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 356. ISBN 0-387-00444-0. (Definición 12.25)