En la teoría de nudos , un diagrama de nudos o enlaces se alterna si los cruces se alternan por debajo, por encima, por debajo, por encima, a medida que uno viaja a lo largo de cada componente del enlace. Un enlace es alterno si tiene un diagrama alterno.
Muchos de los nudos con un número de cruce menor de 10 son alternos. Este hecho y las propiedades útiles de los nudos alternos, como las conjeturas de Tait , fue lo que permitió a los primeros tabuladores de nudos, como Tait, construir tablas con relativamente pocos errores u omisiones. Los nudos primos no alternos más simples tienen 8 cruces (y hay tres de ellos: 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Se conjetura que a medida que aumenta el número de cruces, el porcentaje de nudos que se alternan llega a 0 de manera exponencial rápidamente.
Los enlaces alternos terminan teniendo un papel importante en la teoría de nudos y en la teoría de tres variedades , debido a que sus complementos tienen propiedades geométricas y topológicas útiles e interesantes. Esto llevó a Ralph Fox a preguntar: "¿Qué es un nudo alterno?" Con esto estaba preguntando qué propiedades no esquemáticas del complemento de nudos caracterizarían a los nudos alternos. [1]
En noviembre de 2015, Joshua Evan Greene publicó una preimpresión que establecía una caracterización de enlaces alternos en términos de superficies de expansión definidas, es decir, una definición de enlaces alternos (de los cuales los nudos alternos son un caso especial) sin utilizar el concepto de diagrama de enlaces . [2]
Varias informaciones geométricas y topológicas se revelan en un diagrama alterno. La primacía y la capacidad de división de un enlace se ven fácilmente en el diagrama. El número de cruce de un diagrama alterno reducido es el número de cruce del nudo. Esta última es una de las célebres conjeturas de Tait.
Un diagrama de nudos alternos está en correspondencia uno a uno con un gráfico plano . Cada cruce está asociado con un borde y la mitad de los componentes conectados del complemento del diagrama están asociados con los vértices en forma de tablero de ajedrez.
Conjeturas de Tait
Las conjeturas de Tait son:
- Cualquier diagrama reducido de un enlace alterno tiene la menor cantidad de cruces posibles.
- Dos diagramas reducidos cualesquiera del mismo nudo alterno tienen el mismo retorcimiento .
- Dados cualesquiera dos diagramas alternos reducidos D 1 y D 2 de un eslabón alterno primario orientado: D 1 puede transformarse en D 2 por medio de una secuencia de ciertos movimientos simples llamados flypes . También conocida como la conjetura del vuelo de Tait. [3]
Morwen Thistlethwaite , Louis Kauffman y K. Murasugi probaron las dos primeras conjeturas de Tait en 1987 y Morwen Thistlethwaite y William Menasco probaron la conjetura de vuelo de Tait en 1991.
Volumen hiperbólico
Menasco , aplicando Thurston 's hiperbolización teorema para colectores Haken , mostró que cualquier primer, no dividida enlace alterna es hiperbólica , es decir, el complemento enlace tiene una geometría hiperbólica , a menos que el enlace es un enlace de toro .
Por tanto, el volumen hiperbólico es invariante de muchos enlaces alternos. Marc Lackenby ha demostrado que el volumen tiene límites lineales superior e inferior en función del número de regiones de torsión de un diagrama alterno reducido.
Referencias
- ^ Lickorish, WB Raymond (1997), "Geometría de enlaces alternos", Introducción a la teoría de nudos , Textos de posgrado en matemáticas, 175 , Springer-Verlag, Nueva York, págs. 32-40, doi : 10.1007 / 978-1- 4612-0691-0_4 , ISBN 0-387-98254-X, Señor 1472978; ver en particular p. 32
- ^ Greene, Joshua. "Eslabones alternos y superficies definidas". arXiv : 1511.06329 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Conjeturas del nudo de Tait" . MathWorld . Consultado: 5 de mayo de 2013.
Otras lecturas
- Kauffman, Louis H. (1987). Sobre nudos . Anales de estudios matemáticos. 115 . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08435-1. Zbl 0627.57002 .
- Adams, Colin C. (2004). El libro del nudo: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3678-1.
- Menasco, William (1984). "Superficies cerradas incompresibles en complementos alternos de nudo y enlace" (PDF) . Topología . 23 (1): 37–44. doi : 10.1016 / 0040-9383 (84) 90023-5 .
- Lackenby, Marc (2004). "El volumen de enlaces alternos hiperbólicos complementa". Proc. London Math. Soc . 88 (1): 204–224. arXiv : matemáticas / 0012185 . doi : 10.1112 / S0024611503014291 . S2CID 56284382 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Nudo alterno" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Conjeturas del nudo de Tait" . MathWorld .
- Celtic Knotwork para construir un nudo alterno a partir de su gráfico plano.