En la teoría de grupos geométricos , el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial , probado por primera vez por Mikhail Gromov , [1] caracteriza los grupos de crecimiento polinomial finitamente generados , como aquellos grupos que tienen subgrupos nilpotentes de índice finito .
Declaración
La tasa de crecimiento de un grupo es una noción bien definida del análisis asintótico . Decir que un grupo generado finitamente tiene un crecimiento polinomial significa que el número de elementos de longitud (en relación con un conjunto generador simétrico) como máximo n está acotado arriba por una función polinomial p ( n ). El orden de crecimiento es entonces el menor grado de cualquier función polinomial p .
Un grupo G nilpotente es un grupo con una serie central inferior que termina en el subgrupo de identidad.
El teorema de Gromov establece que un grupo generado finitamente tiene crecimiento polinomial si y solo si tiene un subgrupo nilpotente que es de índice finito.
Tasas de crecimiento de grupos nilpotentes
Existe una amplia literatura sobre las tasas de crecimiento, que conduce al teorema de Gromov. Un resultado anterior de Joseph A. Wolf [2] mostró que si G es un grupo nilpotente generado finitamente, entonces el grupo tiene un crecimiento polinomial. Yves Guivarc'h [3] e independientemente Hyman Bass [4] (con diferentes pruebas) calcularon el orden exacto del crecimiento polinomial. Sea G un grupo nilpotente generado finitamente con series centrales inferiores
En particular, el grupo cociente G k / G k +1 es un grupo abeliano generado finitamente.
La fórmula de Bass-Guivarc'h establece que el orden de crecimiento polinomial de G es
dónde:
- rango denota el rango de un grupo abeliano , es decir, el mayor número de elementos independientes y libres de torsión del grupo abeliano.
En particular, el teorema de Gromov y la fórmula de Bass-Guivarc'h implican que el orden de crecimiento polinómico de un grupo generado finitamente es siempre un número entero o infinito (excluyendo, por ejemplo, las potencias fraccionarias).
Otra buena aplicación del teorema de Gromov y la fórmula de Bass-Guivarch es a la rigidez cuasi-isométrica de grupos abelianos generados finitamente: cualquier grupo que sea cuasi-isométrico a un grupo abeliano generado finitamente contiene un grupo abeliano libre de índice finito.
Pruebas del teorema de Gromov
Para probar este teorema, Gromov introdujo una convergencia para espacios métricos. Esta convergencia, ahora llamada convergencia de Gromov-Hausdorff , se usa ampliamente en la actualidad en geometría.
Bruce Kleiner encontró una prueba relativamente simple del teorema . [5] Más tarde, Terence Tao y Yehuda Shalom modificaron la demostración de Kleiner para hacer una demostración esencialmente elemental, así como una versión del teorema con límites explícitos. [6] [7] El teorema de Gromov también se deriva de la clasificación de grupos aproximados obtenida por Breuillard, Green y Tao. Un simple y concisa pruebas basadas en métodos analíticos funcionales está dada por Ozawa . [8]
La conjetura de la brecha
Más allá del teorema de Gromov, uno puede preguntarse si existe una brecha en el espectro de crecimiento para el grupo generado finitamente justo por encima del crecimiento polinomial, que separa a los grupos virtualmente nilpotentes de otros. Formalmente, esto significa que existiría una función tal que un grupo finitamente generado es virtualmente nilpotente si y sólo si su función de crecimiento es una . Tal teorema fue obtenido por Shalom y Tao, con una función explícita para algunos . Los únicos grupos conocidos con funciones de crecimiento tanto superpolinomiales como subexponenciales (esencialmente generalización del grupo de Grigorchuk ) tienen todos el tipo de crecimiento de la forma, con . Motivado por esto, es natural preguntarse si hay grupos con tipo de crecimiento tanto superpolinomiales como dominados por. Esto se conoce como la conjetura de Gap . [9]
Referencias
- ^ Gromov, Mikhail (1981). Con un apéndice de Jacques Tits . "Grupos de crecimiento polinomial y mapas en expansión" . Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matemáticas . 53 : 53–73. doi : 10.1007 / BF02698687 . Señor 0623534 . S2CID 121512559 .
- ^ Wolf, Joseph A. (1968). "Crecimiento de grupos solubles generados finitamente y curvatura de variedades de Riemann" . Revista de geometría diferencial . 2 (4): 421–446. doi : 10.4310 / jdg / 1214428658 . Señor 0248688 .
- ^ Guivarc'h, Yves (1973). "Croissance polynomiale et périodes des fonctions harmoniques" . Toro. Soc. Matemáticas. Francia (en francés). 101 : 333–379. doi : 10.24033 / bsmf.1764 . Señor 0369608 .
- ^ Bass, Hyman (1972). "El grado de crecimiento polinómico de grupos nilpotentes generados finitamente". Actas de la London Mathematical Society . Serie 3. 25 (4): 603–614. doi : 10.1112 / plms / s3-25.4.603 . Señor 0379672 .
- ^ Kleiner, Bruce (2010). "Una nueva prueba del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 23 (3): 815–829. arXiv : 0710.4593 . Código bibliográfico : 2010JAMS ... 23..815K . doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00658-4 . Señor 2629989 . S2CID 328337 .
- ^ Tao, Terence (18 de febrero de 2010). "Una prueba del teorema de Gromov" . ¿Qué hay de nuevo ?
- ^ Shalom, Yehuda; Tao, Terence (2010). "Una versión final del teorema de crecimiento polinomial de Gromov". Geom. Funct. Anal. 20 (6): 1502-1547. arXiv : 0910.4148 . doi : 10.1007 / s00039-010-0096-1 . Señor 2739001 . S2CID 115182677 .
- ^ Ozawa, Narutaka (2018). "Una prueba de análisis funcional del teorema de crecimiento polinomial de Gromov". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 51 (3): 549–556. arXiv : 1510.04223 . doi : 10.24033 / asens.2360 . Señor 3831031 . S2CID 119278398 .
- ^ Grigorchuk, Rostislav I. (1991). "Sobre el crecimiento en la teoría de grupos". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I, II (Kioto, 1990) . Matemáticas. Soc. Japón. págs. 325–338.