En matemáticas , la teoría de Borel-de Siebenthal describe los subgrupos conectados cerrados de un grupo de Lie compacto que tienen rango máximo , es decir, contienen un toro máximo . Lleva el nombre de los matemáticos suizos Armand Borel y Jean de Siebenthal, que desarrollaron la teoría en 1949. Cada uno de estos subgrupos es el componente de identidad del centralizador de su centro. Pueden describirse de forma recursiva en términos del sistema raíz asociado del grupo. Los subgrupos para los cuales el espacio homogéneo correspondiente tiene una estructura compleja invariante corresponden a subgrupos parabólicos en elcomplexificación del grupo de Lie compacto, un grupo algebraico reductivo .
Subgrupos conectados de rango máximo
Let G ser conectado grupo de Lie compacto con máxima toroide T . Hopf mostró que el centralizador de un toro S ⊆ T es un subgrupo cerrado conectado que contiene T , por lo que de rango máximo . De hecho, si x está en C G ( S ), hay un toro máximo que contiene tanto S como x y está contenido en C G ( S ). [1]
Borel y de Siebenthal demostraron que los subgrupos cerrados conectados de rango máximo son precisamente los componentes de identidad de los centralizadores de sus centros. [2]
Su resultado se basa en un hecho de la teoría de la representación. Los pesos de una representación irreducible de un grupo K semisimple compacto conectado con el mayor peso λ se pueden describir fácilmente (sin sus multiplicidades): son precisamente la saturación bajo el grupo Weyl de los pesos dominantes obtenidos restando una suma de raíces simples de λ. En particular, si la representación irreducible es trivial en el centro de K (un grupo abeliano finito), 0 es un peso. [3]
Para probar la caracterización de Borel y de Siebenthal, deja H un subgrupo conectado cerrado de G que contiene T con el centro Z . El componente de identidad L de C G (Z) contiene H . Si fuera estrictamente más grande, la restricción de la representación adjunta de L a H sería trivial en Z . Cualquier sumando irreducible, ortogonal a la álgebra de Lie de H , proporcionaría no cero peso vectores cero para T / Z ⊆ H / Z , contradiciendo la maximalidad del toroide T / Z en L / Z . [4]
Subgrupos conectados máximos de rango máximo
Borel y de Siebenthal clasificaron los subgrupos conectados cerrados máximos de rango máximo de un grupo de Lie compacto conectado.
La clasificación general de subgrupos cerrados conectados de rango máximo se puede reducir a este caso, porque cualquier subgrupo conectado de rango máximo está contenido en una cadena finita de tales subgrupos, cada uno máximo en el siguiente. Los subgrupos máximos son los componentes de identidad de cualquier elemento de su centro que no pertenezca al centro de todo el grupo.
El problema de determinar los subgrupos conectados máximos de rango máximo puede reducirse aún más al caso en el que el grupo de Lie compacto es simple. De hecho, el álgebra de Liede un grupo de Lie compacto conectado G se divide como una suma directa de los ideales
dónde es el centro y los otros factores son simples. Si T es un toro máximo, su álgebra de Lie tiene una división correspondiente
dónde es abeliano máximo en . Si H es un conexo cerrado de G que contiene T con álgebra de Lie, la complejidad de es la suma directa de la complejificación de y una serie de espacios de peso unidimensionales, cada uno de los cuales se encuentra en la complejidad de un factor . Así que si
luego
Si H es máximo, todos menos uno de loscoincide con y el restante es máximo y de rango máximo. Para ese factor, el subgrupo conectado cerrado del correspondiente grupo de Lie compacto simple simplemente conectado es máximo y de rango máximo. [5]
Deje G un grupo de Lie compacto sencillo simplemente conectado conectado con máxima toroide T . Dejarser el álgebra de Lie de G yla de T . Sea Δ el sistema de raíces correspondiente . Elija un conjunto de raíces positivas y las raíces simples correspondientes α 1 , ..., α n . Sea α 0 la raíz más alta en y escribe
con m i ≥ 1. (El número de m i igual a 1 es igual a | Z | - 1, donde Z es el centro de G. )
La alcoba Weyl se define por
Élie Cartan demostró que es un dominio fundamental para el grupo afín de Weyl . Si G 1 = G / Z y T 1 = T / Z , se deduce que el mapeo exponencial dea G 1 lleva 2π A a T 1 .
La alcoba A de Weyl es un simplex con vértices en
donde α i ( X j ) = δ ij .
El principal resultado de Borel y de Siebenthal es el siguiente.
• C G 1 ( X i ) para m i = 1
La estructura del subgrupo correspondiente H 1 se puede describir en ambos casos. Es semisimple en el segundo caso con un sistema de raíces simples obtenido reemplazando α i por −α 0 . En el primer caso es el producto directo del grupo circular generado por X i y un grupo compacto semisimple con un sistema de raíces simples obtenido omitiendo α i .
Este resultado puede reformularse en términos del diagrama de Dynkin extendido deque agrega un nodo adicional para la raíz más alta, así como las etiquetas m i . Las subálgebras máximasde rango máximo son no semisimple o semimple. Los no semisimples se obtienen eliminando dos nodos del diagrama extendido con coeficiente uno. El diagrama sin etiquetar correspondiente le da al diagrama de Dynkin una parte semisimple de, siendo la otra parte un factor unidimensional. Los diagramas de Dynkin para los semisimple se obtienen eliminando un nodo con coeficiente primo. Esto conduce a las siguientes posibilidades:
- A n : A p × A n - p - 1 × T (no semisimple)
- B n : D n o B p × D n - p (semisimple), B n - 1 × T (no semisimple)
- C n : C p × C n - p (SS), A n - 1 × T (NSS)
- D n : D p × D n - p (SS), D n - 1 × T , A n-1 × T (NSS)
- Mi 6 : A 1 × A 5 , A 2 × A 2 × A 2 (SS), D 5 × T (NSS)
- Mi 7 : UNA 1 × D 6 , UNA 2 × UNA 5 , UNA 7 (SS), Mi 6 × T (NSS)
- Mi 8 : RE 8 , UNA 8 , UNA 4 × UNA 4 , MI 6 × UNA 2 , MI 7 × UNA 1 (SS)
- F 4 : B 4 , A 2 × A 2 , A 1 × C 3 (SS)
- G 2 : A 2 , A 1 × A 1 (SS)
Todos los espacios homogéneos correspondientes son simétricos, ya que la subálgebra es el álgebra de punto fijo de un automorfismo interno de período 2, aparte de G 2 / A 2 , F 4 / A 2 × A 2 , E 6 / A 2 × A 2 × A 2 , e 7 / A 2 × A 5 y todos los e 8 espacios que no sean e 8 / D 8 y e 8 / e 7 × A 1 . En todos estos casos excepcionales, la subálgebra es el álgebra de punto fijo de un automorfismo interno de período 3, excepto para E 8 / A 4 × A 4 donde el automorfismo tiene período 5.
Para demostrar el teorema, nota que H 1 es el componente identidad del centralizador de un elemento exp T con T en 2π A . Los estabilizadores aumentan al moverse de un sub-simple a un borde o vértice, por lo que T se encuentra en un borde o es un vértice. Si se encuentra en una arista, esa arista conecta 0 con un vértice v i con m i = 1, que es el primer caso. Si T es un vértice v i y m i tiene un factor m no trivial , entonces mT tiene un estabilizador mayor que T , lo que contradice la maximalidad. Así soy yo debo ser primo. La maximidad se puede verificar directamente usando el hecho de que un subgrupo intermedio K tendría la misma forma, de modo que su centro sería (a) T o (b) un elemento de orden primo. Si el centro de H 1 es ' T , cada raíz simple con m i prima ya es una raíz de K , por lo que (b) no es posible; y si (a) se cumple, α i es la única raíz que podría omitirse con m j = 1, entonces K = H 1 . Si el centro de H 1 es de primer orden, α j es una raíz de K para m j = 1, por lo que (a) no es posible; si (b) se cumple, entonces la única raíz simple posible omitida es α i , de modo que K = H 1 . [6]
Subsistemas cerrados de raíces
Un subconjunto Δ 1 ⊂ Δ se denomina subsistema cerrado si siempre que α y β se encuentran en Δ 1 con α + β en Δ, entonces α + β se encuentra en Δ 1 . Se dice que dos subsistemas Δ 1 y Δ 2 son equivalentes si σ (Δ 1 ) = Δ 2 para algunos σ en W = N G ( T ) / T , el grupo Weyl . Así, para un subsistema cerrado
es una subálgebra de conteniendo ; ya la inversa, cualquier subálgebra de este tipo da lugar a un subsistema cerrado. Borel y de Siebenthal clasificaron los subsistemas cerrados máximos hasta la equivalencia. [7]
Este resultado es una consecuencia del teorema de Borel-de Siebenthal para los subgrupos conectados máximos de rango máximo. También se puede probar directamente dentro de la teoría de sistemas de raíces y grupos de reflexión. [8]
Aplicaciones a espacios simétricos de tipo compacto
Sea G un grupo de Lie semisimple compacto conectado, σ un automorfismo de G del período 2 y G σ el subgrupo de punto fijo de σ. Sea K un subgrupo cerrado de G que se encuentra entre G σ y su componente de identidad . El espacio compacto homogéneo G / K se denomina espacio simétrico de tipo compacto . El álgebra de mentira admite una descomposición
dónde , el álgebra de Lie de K , es el autoespacio +1 de σ yel espacio propio –1. Si no contiene un simple sumando de , el par (, σ) se denomina álgebra de Lie simétrica ortogonal de tipo compacto . [9]
Cualquier producto interior en , invariante bajo la representación adjunta y σ, induce una estructura de Riemann en G / K , con G actuando por isometrías. Bajo un producto tan interno, y son ortogonales. G / K es entonces un espacio simétrico de Riemann de tipo compacto. [10]
El espacio simétrico o el par (, σ) se dice que es irreductible si la acción adjunta de(o equivalentemente el componente de identidad de G σ o K ) es irreducible en. Esto es equivalente a la maximalidad decomo subálgebra. [11]
De hecho, existe una correspondencia uno a uno entre las subálgebras intermedias y subespacios invariantes K de dada por
Cualquier álgebra simétrica ortogonal (, σ) se puede descomponer como una suma directa (ortogonal) de álgebras simétricas ortogonales irreducibles. [12]
De echo se puede escribir como una suma directa de álgebras simples
que están permutados por el automorfismo σ. Si σ deja un álgebra invariante, su descomposición del espacio propio coincide con sus intersecciones con y . Entonces, la restricción de σ aes irreductible. Si σ intercambia dos sumandos simples, el par correspondiente es isomorfo a una inclusión diagonal de K en K × K , con K simple, por lo que también es irreducible. La involución σ simplemente intercambia los dos factores σ ( x , y ) = ( y , x ).
Esta descomposición de un álgebra simétrica ortogonal produce una descomposición directa del producto del correspondiente espacio simétrico compacto G / K cuando G está simplemente conectado. En este caso, el subgrupo de punto fijo G σ se conecta automáticamente (esto ya no es cierto, incluso para las involuciones internas, si G no está simplemente conectado). [13] Para simplemente conexo G , el espacio simétrico G / K es el producto directo de los dos tipos de espacios simétricos G i / K i o H × H / H . El espacio simétrico no simplemente conectado de tipo compacto surge como cocientes del espacio simplemente conectado G / K por grupos abelianos finitos. De hecho si
dejar
y dejar que Δ i ser el subgrupo de Γ i fijado por todos los automorfismos de G i preservando K i (es decir automorfismos de la ortogonal álgebra de Lie simétrica). Luego
es un grupo abeliano finito actuar libremente en G / K . Los espacios simétricos no simplemente conectados surgen como cocientes por subgrupos de Δ. El subgrupo se puede identificar con el grupo fundamental , que es, por tanto, un grupo abeliano finito. [14]
La clasificación de espacios o pares simétricos compactos (, σ) se reduce así al caso en el que G es un grupo de Lie compacto simple conectado. Hay dos posibilidades: o el automorfismo σ es interno, en cuyo caso K tiene rango máximo y se aplica la teoría de Borel y de Siebenthal; o el automorfismo σ es externo, de modo que, debido a que σ conserva un toro máximo, el rango de K es menor que el rango de G y σ corresponde a un automorfismo del módulo de automorfismos internos del diagrama de Dynkin. Wolf (2010) determina directamente todas las posibles σ en el último caso: corresponden a los espacios simétricos SU ( n ) / SO ( n ), SO ( a + b ) / SO ( a ) × SO ( b ) ( a y b) impar), E 6 / F 4 y E 6 / C 4 . [15]
Victor Kac notó que todos los automorfismos de orden finito de un álgebra de Lie simple se pueden determinar utilizando el álgebra de Lie afín correspondiente : esa clasificación, que conduce a un método alternativo de clasificación de pares (, σ), se describe en Helgason (1978) .
Aplicaciones a espacios simétricos hermitianos de tipo compacto
El caso de igual rango con K no semisimple corresponde exactamente a los espacios simétricos hermitianos G / K de tipo compacto.
De hecho, el espacio simétrico tiene una estructura casi compleja que conserva la métrica de Riemann si y solo si hay un mapa lineal J con J 2 = - I enque conserva el producto interior y conmuta con la acción de K . En este caso J se encuentra eny exp Jt forma un grupo de un parámetro en el centro de K . Esto se sigue porque si A , B , C , D se encuentran en, luego por la invariancia del producto interno en [dieciséis]
Reemplazando A y B por JA y JB , se deduce que
Definir un mapa lineal δ en extendiendo J a 0 en. La última relación muestra que δ es una derivación de. Desde es semisimple, δ debe ser una derivación interna, de modo que
con T eny A en. Tomando X en, se sigue que A = 0 y T se encuentra en el centro dey, por tanto, K no es semisimple. [17]
Si por el contrario G / K es irreducible con K no semisimple, el grupo compacto G debe ser simple y K de rango máximo. Por el teorema de Borel y de Siebenthal, la σ involución es interior y K es el centralizador de un toro S . Se deduce que G / K está conectado simplemente y hay un subgrupo parabólico P en la complejización G C de G tal que G / K = G C / P . En particular, hay una estructura compleja en G / K y la acción de G es holomórfica.
En general, cualquier espacio simétrico hermitiano compacto está simplemente conectado y puede escribirse como un producto directo de los espacios simétricos hermitianos irreductibles G i / K i con G i simple. Los irreductibles son exactamente los casos no semisimples descritos anteriormente. [18]
Notas
- ^ Helgason 1978
- ^ Lobo 2010
- ^ Ver:
- Lobo 2010
- Bourbaki 1981
- Humphreys 1997
- Duistermaat y Kolk 2000
- ^ Lobo 2010
- ^ Lobo , p. 276
- ^ Ver:
- Lobo 2010
- Kane 2001
- ^ Kane 2001 , págs. 135-136
- ^ Kane 2007
- ^ Lobo 2010
- ^ Ver:
- Helgason 1978
- Lobo 2010
- ^ Ver:
- Lobo 2010
- Helgason 1978 , pág. 378
- ^ Ver:
- Helgason 1978 , págs. 378–379
- Lobo 2010
- ^ Helgason 1978 , págs. 320–321
- ^ Ver:
- Wolf 2010 , págs. 244, 263–264
- Helgason 1978 , pág. 326
- ^ Lobo 2010
- ^ Kobayashi y Nomizu 1996 , págs. 149-150
- ^ Kobayashi y Nomizu 1996 , págs. 261-262
- ^ Lobo 2010
Referencias
- Borel, A .; De Siebenthal, J. (1949), "Les sous-groupes fermés de rang maximum des groupes de Lie clos" , Commentarii Mathematici Helvetici , 23 : 200–221, doi : 10.1007 / bf02565599 , S2CID 120101481
- Borel, Armand (1952), Les espaces hermitiens symétriques, Exposé No. 62 , Séminaire Bourbaki, 2 , archivado desde el original el 4 de marzo de 2016 , consultado el 14 de marzo de 2013
- Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie (Capítulos 4,5 y 6) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-3-540-34490-2
- Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (Capítulo 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-3-540-34392-9
- Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), grupos de mentiras , Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-15293-4
- Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 978-0-8218-2848-9
- Humphreys, James E. (1981), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, 21 , Springer, ISBN 978-0-387-90108-4
- Humphreys, James E. (1997), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Textos de posgrado en matemáticas, 9 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3-540-90053-5
- Kane, Richard (2001), Grupos de reflexión y teoría invariante , Springer, ISBN 978-0-387-98979-2
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , 2 , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-15732-8
- Malle, Gunter ; Testerman, Donna (2011), Grupos algebraicos lineales y grupos finitos de tipo de mentira , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 133 , Cambridge University Press, ISBN 978-1-139-49953-8
- Wolf, Joseph A. (2010), Espacios de curvatura constante , AMS Chelsea Publishing (6.a ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-5282-8