En el análisis funcional , Alexander Grothendieck empleó sistemáticamente dos métodos de construcción de espacios normativos a partir de discos para definir operadores nucleares y espacios nucleares . [1] Se utiliza un método si el discoestá acotado: en este caso, el espacio normado auxiliar es con norma El otro método se utiliza si el disco es absorbente : en este caso, el espacio normado auxiliar es el espacio cociente Si el disco está acotado y absorbente, entonces los dos espacios normativos auxiliares son canónicamente isomorfos (como espacios vectoriales topológicos y como espacios normativos ).
Preliminares
Un subconjunto de un espacio vectorial se llama un disco y se dice que está disked , absolutamente convexa o convexa equilibrado si es convexa y equilibrada .
Si y son subconjuntos de un espacio vectorial luego absorbe si existe un real tal que para cualquier escalar satisfactorio WEl conjunto se llama absorber en Si absorbe para cada
Un subconjunto de un espacio vectorial topológico (TVS)se dice que está limitado en si cada barrio del origen en absorbe Un subconjunto de televisores se llama bornívoro [2] si absorbe todos los subconjuntos acotados de
Inducido por un disco acotado - Discos de Banach
De ahora en adelante, será un espacio vectorial real o complejo (no necesariamente un TVS, todavía) y será un disco en
Espacio seminormado inducido por un disco
Dejar será un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto de el funcional de Minkowski de definido por:
- Si entonces define ser el mapa trivial [3] y se supondrá que[nota 1]
- Si y si está absorbiendo enluego denote el funcional de Minkowski de en por
Dejar será un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto de tal que el Minkowski funcional es un seminario sobre dejar denotar
que se llama el espacio seminormado inducido por donde se dice " normalizado " sies una norma .
Supuesto ( topología ): está dotado de la topología seminorm inducida por que será denotado por o
Es importante destacar que esta topología se deriva completamente del conjunto la estructura algebraica de y la topología habitual en (desde se define utilizando solo el conjuntoy multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de los operadores nucleares y los espacios nucleares .
El mapa de inclusión se llama mapa canónico . [1]
Suponer que es un disco. Luego así que eso está absorbiendo enel tramo lineal de El conjunto de todos los múltiplos escalares positivos de forma una base de vecindarios a 0 para un localmente convexa topológica vector espacial topología en El funcional de Minkowski del disco en garantiza que está bien definido y forma un seminario sobre[4] La topología de topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología que se definió antes.
Definición de disco de Banach
Un disco acotado en un espacio vectorial topológico tal que un espacio de Banach se llama disco de Banach , infracompleto o completo delimitado en
Si se demuestra que es un espacio de Banach entonces será un disco de Banach en cualquier TV que contenga como un subconjunto acotado.
Esto se debe a que el Minkowski funcional se define en términos puramente algebraicos. En consecuencia, la cuestión de si forma un espacio de Banach depende solo del disco y el funcional de Minkowski y no en ninguna topología TVS particular que puede llevar. De ahí el requisito de que un disco de Banach en un TV ser un subconjunto acotado de es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach a la topología de su TVS que lo contiene
Propiedades de los espacios seminormados inducidos por disco
- Discos acotados
El siguiente resultado explica por qué se requiere que los discos de Banach estén delimitados.
Teorema [5] [2] [1] - Sies un disco en un espacio vectorial topológico (TVS) luego está delimitado en si y solo si el mapa de inclusión es continuo.
Prueba |
---|
Si el disco está delimitado en los televisores luego para todos los barrios de 0 en existe algo tal que De ello se deduce que en este caso la topología de es más fina que la topología subespacial que hereda de lo que implica que el mapa de inclusión es continuo. Por el contrario, si tiene una topología TVS tal que es continuo, entonces para cada vecindario de 0 en existe algo tal que que muestra que está delimitado en |
- Hausdorffness
El espacio es Hausdorff si y solo sies una norma, que ocurre si y solo si no contiene ningún subespacio vectorial no trivial. [6] En particular, si existe una topología de TVS de Hausdorff en tal que está delimitado en luego es una norma. Un ejemplo donde no es Hausdorff se obtiene dejando y dejando ser el -eje.
- Convergencia de redes
Suponer que es un disco en tal que es Hausdorff y deja ser una red en Luego en si y solo si existe una red de números reales tales que y para todos ; además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que para todos
- Relación entre espacios inducidos por disco
Si luego y en así que defina el siguiente mapa lineal continuo [2] :
Si y hay discos en con luego llama al mapa de inclusión la inclusión canónica de dentro
En particular, la topología subespacial que hereda de es más débil que topología seminorm. [2]
- como la bola unitaria cerrada
El disco es un subconjunto cerrado de si y solo si es la bola unitaria cerrada de seminorm ; es decir,
Si es un disco en un espacio vectorial y si existe una topología TVS en tal que es un subconjunto cerrado y acotado de luego es la bola unitaria cerrada de (es decir, ) (ver nota a pie de página como prueba). [nota 2]
Condiciones suficientes para un disco de Banach
El siguiente teorema puede usarse para establecer que es un espacio de Banach. Una vez que esto se establece, será un disco de Banach en cualquier TV en el que está ligado.
Teorema [7] - Sea ser un disco en un espacio vectorial Si existe una topología de TVS de Hausdorff en tal que es un subconjunto completo secuencialmente acotado de luego es un espacio de Banach.
Prueba |
---|
Asuma sin pérdida de generalidad que y deja ser el funcional de Minkowski de Desde es un subconjunto acotado de un TV de Hausdorff, no contienen ningún subespacio vectorial no trivial, lo que implica que es una norma. Dejar denotar la topología normal en Inducido por donde desde es un subconjunto acotado de es más fino que Porque es convexo y equilibrado, para cualquier Dejar ser una secuencia de Cauchy en Por reemplazo con una subsecuencia, podemos suponer sin pérdida de generalidad † que para todos Esto implica que para cualquier de modo que en particular, tomando de ello se deduce que está contenido en Desde es más fino que es una secuencia de Cauchy en Para todos es un subconjunto secuencialmente completo de Hausdorff de En particular, esto es cierto para entonces existe algo tal que en Desde para todos arreglando y tomando el límite (en ) como resulta que para cada Esto implica que como que dice exactamente eso en Esto muestra que Esta completo. † Esta suposición está permitida porque es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico (por lo que los límites de todas las subsecuencias son iguales) y una secuencia en un espacio métrico converge si y solo si cada subsecuencia tiene una subsecuencia que converge. |
Tenga en cuenta que incluso si no es un subconjunto limitado y secuencialmente completo de cualquier TVS de Hausdorff, aún se podría concluir que es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco
- satisfactorio
porque
Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:
- Un disco acotado secuencialmente completo en un TVS de Hausdorff es un disco de Banach. [2]
- Cualquier disco en un TVS de Hausdorff que esté completo y limitado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach. [8]
- La bola unitaria cerrada en un espacio de Fréchet se completa secuencialmente y, por lo tanto, es un disco de Banach. [2]
Suponer que es un disco acotado en un televisor
- Si es un mapa lineal continuo y es un disco de Banach, entonces es un disco de Banach y induce un isomorfismo TVS isométrico
Propiedades de los discos de Banach
Dejar ser un televisor y dejar ser un disco acotado en
Si es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff y si hay un barril en luego absorbe (es decir, hay un número tal que [5]
Si es una vecindad cerrada balanceada convexa de 0 en luego la colección de todos los barrios dónde rangos sobre los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en Cuándo tiene esta topología, se denota por Dado que esta topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la finalización del espacio de Hausdorff se denota por así que eso es un espacio completo de Hausdorff y es una norma en este espacio que hace en un espacio de Banach. El polar de es un disco equicontinuo limitado débilmente compacto en y así es infracompleto.
Si es un TVS localmente convexo metrizable para cada subconjunto acotado de existe un disco acotado en tal que y ambos y inducir la misma topología subespacial en[2]
Inducido por un disco radial - cociente
Suponer que es un espacio vectorial topológico y Es un conjunto radial y equilibrado convexo . Luego es una base de vecindad en el origen de alguna topología convexa local en Esta topología de TVS viene dado por el funcional de Minkowski formado por que es un seminario sobre definido por La topologia es Hausdorff si y solo si es una norma, o equivalentemente, si y solo si o equivalentemente, para lo cual basta que estar delimitado en La topologia no necesita ser Hausdorff pero es Hausdorff. Una norma en es dado por donde este valor es de hecho independiente del representante de la clase de equivalencia elegido. El espacio normado se denota por y su finalización se denota por
Si además está delimitado en luego la seminorm es una norma así que en particular, En este caso, tomamos ser el espacio vectorial en vez de para que la notación es inequívoco (si denota el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado). [1]
La topología del cociente en (heredado de topología original) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología normal.
Mapas canónicos
El mapa canónico es el mapa de cocientes. que es continuo cuando tiene la topología normal o la topología del cociente. [1]
Si y son discos radiales tales que luego por lo que hay un mapa canónico sobreyectivo lineal continuo definido enviando a la clase de equivalencia donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia que se elige. [1] Este mapa canónico tiene una norma[1] y tiene una extensión canónica lineal continua única para que se denota por
Supongamos que además y son discos acotados en con así que eso y la inclusión es un mapa lineal continuo. Dejar y sean los mapas canónicos. Luego y [1]
Inducida por un disco radial acotado
Suponer que es un disco radial acotado. Desde es un disco acotado, si entonces podemos crear el espacio normado auxiliar con norma ; desde es radial, Desde es un disco radial, si entonces podemos crear el espacio seminorizado auxiliar con el seminorm ; porque está acotado, esta seminorma es una norma y entonces Así, en este caso los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.
Dualidad
Suponer que es un disco equicontinuo débilmente cerrado en (esto implica que es débilmente compacto) y dejar
ser el polar de Porque por el teorema bipolar , se deduce que una función lineal continua pertenece a si y solo si pertenece al espacio dual continuo de dónde es el Minkowski funcional de definido por [9]
Conceptos relacionados
Un disco en un TVS se llama infrabornívoro [2] si absorbe todos los discos de Banach.
Un mapa lineal entre dos TVS se denomina infradelimitado [2] si asigna discos de Banach a discos delimitados.
Rápida convergencia
Una secuencia en un televisor se dice que es convergente rápido [2] a un punto si existe un disco de Banach tal que ambos y la secuencia está (eventualmente) contenida en y en
Cada secuencia convergente rápida es convergente Mackey . [2]
Ver también
- Espacio bornológico : un espacio vectorial topológico donde cualquier operador lineal acotado en otro espacio es siempre continuo.
- Producto tensor inyectivo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Operador nuclear
- Espacio nuclear : tipo de espacio vectorial topológico
- Topología inicial: la topología más burda que hace que ciertas funciones sean continuas
- Producto tensorial proyectivo
- Espacio vectorial topológico de Schwartz
- Producto tensorial de los espacios de Hilbert : espacio del producto tensor dotado de un producto interior especial
- Producto de tensor topológico : construcciones de productos de tensor para espacios vectoriales topológicos
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Espacio ultrabornológico
Notas
- ^ Este es el espacio vectorial más pequeño que contiene Alternativamente, si luego en su lugar, puede ser reemplazado con
- ^ Suponga que WLOG Desde está cerrado en también está cerrado en y desde el seminario es el Minkowski funcional de que es continuo en se sigue a Narici y Beckenstein (2011 , págs. 119-120) que ¿Está la bola unitaria cerrada en
Referencias
- ↑ a b c d e f g h Schaefer y Wolff 1999 , p. 97.
- ↑ a b c d e f g h i j k Narici y Beckenstein 2011 , págs. 441-457.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 169.
- ^ Trèves , 2006 , p. 370.
- ↑ a b Trèves , 2006 , págs. 370-373.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 115-154.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 441-442.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 370–371.
- ^ Trèves , 2006 , p. 477.
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enlaces externos
- Espacio nuclear en ncatlab