Para tensores cartesianos de orden 1, un vector cartesiano a se puede escribir algebraicamente como una combinación lineal de los vectores base e x , e y , e z :
donde las coordenadas del vector con respecto a la base cartesiana se denotan a x , a y , a z . Es común y útil mostrar los vectores base como vectores columna.
Una representación de vector de fila también es legítima, aunque en el contexto de los sistemas de coordenadas curvilíneas generales, las representaciones de vector de fila y columna se utilizan por separado por razones específicas; consulte la notación de Einstein y la covarianza y contravarianza de los vectores para saber por qué.
El término "componente" de un vector es ambiguo: podría referirse a:
una coordenada específica del vector tal como un z (un escalar), y de manera similar para x y y , o
la coordenada escalar-multiplicando el vector de la base correspondiente, en cuyo caso el "y-componente" de una es una y e y (un vector), y de manera similar para x y z .
Una notación más general es la notación de índice tensorial , que tiene la flexibilidad de valores numéricos en lugar de etiquetas de coordenadas fijas.Las etiquetas cartesianas se reemplazan por índices tensoriales en los vectores base e x ↦ e 1 , e y ↦ e 2 , e z ↦ e 3 y coordenadas a x ↦ a 1 , a y ↦ a 2 , a z ↦ a 3 . En general, la notación e 1 , e 2 , e 3 se refiere a cualquier base, y a 1 , a 2 , a 3 se refiere al sistema de coordenadas correspondiente; aunque aquí se restringen al sistema cartesiano. Luego:
Es estándar usar la notación de Einstein: el signo de suma para la suma sobre un índice que está presente exactamente dos veces dentro de un término puede suprimirse para la concisión de la notación:
Una ventaja de la notación de índice sobre las notaciones específicas de coordenadas es la independencia de la dimensión del espacio vectorial subyacente, es decir, la misma expresión en el lado derecho toma la misma forma en dimensiones más altas (ver más abajo). Anteriormente, las etiquetas cartesianas x, y, z eran solo etiquetas y no índices. (Es informal decir " i = x, y, z").
Tensores de segundo orden en tres dimensiones
Un tensor diádica T es un tensor de orden 2 formado por el producto tensorial ⊗ de dos vectores cartesianos a y b , escrito T = un ⊗ b . De manera análoga a los vectores, se puede escribir como una combinación lineal de la base del tensor e x ⊗ e x ≡ e xx , e x ⊗ e y ≡ e xy , ..., e z ⊗ e z ≡ e zz (la mano derecha lado de cada identidad es solo una abreviatura, nada más):
Representar cada tensor de base como una matriz:
entonces T puede representarse más sistemáticamente como una matriz:
Consulte la multiplicación de matrices para ver la correspondencia de notación entre las matrices y los productos de puntos y tensores.
De manera más general, sea o no T un producto tensorial de dos vectores, siempre es una combinación lineal de los tensores de base con coordenadas T xx , T xy , ... T zz :
mientras que en términos de índices tensoriales:
y en forma de matriz:
Los tensores de segundo orden ocurren naturalmente en la física y la ingeniería cuando las cantidades físicas tienen dependencia direccional en el sistema, a menudo en una forma de "estímulo-respuesta". Esto se puede ver matemáticamente a través de un aspecto de los tensores: son funciones multilineales . Un tensor de segundo orden T que toma un vector u de alguna magnitud y dirección devolverá un vector v ; de diferente magnitud y en una dirección diferente a u , en general. La notación utilizada para las funciones en el análisis matemático nos lleva a escribir v = T ( u ) , [1] mientras que la misma idea se puede expresar en notaciones de matriz e índice [2] (incluida la convención de suma), respectivamente:
Por "lineal", si u = ρ r + σ s por dos escalares rho y σ y vectores r y s , a continuación, en la función y el índice de anotaciones:
y de manera similar para la notación matricial. Las notaciones de función, matriz e índice significan lo mismo. Las formas matriciales proporcionan una visualización clara de los componentes, mientras que la forma índice permite una manipulación tensorial-algebraica más fácil de las fórmulas de una manera compacta. Ambos proporcionan la interpretación física de direcciones ; los vectores tienen una dirección, mientras que los tensores de segundo orden conectan dos direcciones. Se puede asociar un índice tensorial o una etiqueta de coordenadas con una dirección de vector base.
El uso de tensores de segundo orden es el mínimo para describir cambios en magnitudes y direcciones de vectores, ya que el producto escalar de dos vectores es siempre un escalar, mientras que el producto cruzado de dos vectores es siempre un pseudovector perpendicular al plano definido por los vectores , por lo que estos productos de vectores por sí solos no pueden obtener un nuevo vector de ninguna magnitud en ninguna dirección. (Consulte también a continuación para obtener más información sobre los productos punto y cruzado). El producto tensorial de dos vectores es un tensor de segundo orden, aunque no tiene una interpretación direccional obvia por sí mismo.
La idea anterior se puede continuar: si T toma en dos vectores P y Q , devolverá un escalar r . En notación de función escribimos r = T ( p , q ), mientras que en notación de matriz e índice (incluida la convención de suma) respectivamente:
El tensor T es lineal en ambos vectores de entrada. Cuando los vectores y tensores se escriben sin hacer referencia a los componentes, y no se utilizan índices, a veces se coloca un punto · donde se toman las sumas sobre los índices (conocidas como contracciones tensoriales ). Para los casos anteriores: [1] [2]
motivado por la notación del producto escalar:
De manera más general, un tensor de orden m que toma n vectores (donde n está entre 0 y m inclusive) devolverá un tensor de orden m - n , ver Tensor: como mapas multilineales para más generalizaciones y detalles. Los conceptos anteriores también se aplican a los pseudovectores de la misma manera que a los vectores. Los propios vectores y tensores pueden variar dentro del espacio, en cuyo caso tenemos campos vectoriales y campos tensoriales , y también pueden depender del tiempo.
A continuación se muestran algunos ejemplos:
Un aplicado o dado ...
... a un material u objeto de ...
... da como resultado ...
... en el material u objeto, dado por:
vector unitario n
Tensor de tensión de Cauchy σ
una fuerza de tracción t
velocidad angular ω
momento de inercia yo
un momento angular J
momento de inercia yo
una energía cinética rotacional T
campo eléctrico E
conductividad eléctrica σ
un flujo de densidad de corriente J
polarizabilidad α (relacionada con la permitividad ε y la susceptibilidad eléctrica χ E )
un campo de polarización inducida P
campo magnético H
permeabilidad magnética μ
un campo magnético B
Para el ejemplo de conducción eléctrica, las notaciones de índice y matriz serían:
mientras que para la energía cinética rotacional T :
Consulte también la ecuación constitutiva para obtener ejemplos más especializados.
Vectores y tensores en n dimensiones
En el espacio euclidiano n- dimensional sobre los números reales,, la base estándar se denota e 1 , e 2 , e 3 , ... e n . Cada vector base e i apunta a lo largo del eje x i positivo , siendo la base ortonormal. El componente j de e i viene dado por el delta de Kronecker :
Un vector en toma la forma:
Del mismo modo para la orden de 2 tensor anteriormente, para cada vector un y b en:
o más generalmente:
Transformaciones de vectores cartesianos (cualquier número de dimensiones)
El mismo vector de posición x representado en dos sistemas de coordenadas rectangulares 3d, cada uno con una base ortonormal , los cuboides ilustran la ley del paralelogramo para sumar componentes vectoriales.
Significado de "invariancia" bajo transformaciones de coordenadas
El vector de posición x enes un ejemplo simple y común de un vector y se puede representar en cualquier sistema de coordenadas . Considere el caso de sistemas de coordenadas rectangulares con bases ortonormales únicamente. Es posible tener un sistema de coordenadas con geometría rectangular si los vectores base son todos mutuamente perpendiculares y no están normalizados, en cuyo caso la base es ortogonal pero no orto normal . Sin embargo, las bases ortonormales son más fáciles de manipular y se utilizan a menudo en la práctica. Los siguientes resultados son válidos para bases ortonormales, no ortogonales.
En un sistema de coordenadas rectangulares, x como contravector tiene coordenadas x i y vectores base e i , mientras que como coordenada tiene coordenadas x i y cobertoras base e i , y tenemos:
En otro sistema de coordenadas rectangulares, x como contravector tiene coordenadas x i y bases e i , mientras que como covector tiene coordenadas x i y bases e i , y tenemos:
Cada nueva coordenada es función de todas las antiguas y viceversa para la función inversa :
e igualmente cada nuevo vector base es una función de todos los viejos, y viceversa para la función inversa:
por todo i , j .
Un vector es invariante bajo cualquier cambio de base, por lo que si las coordenadas se transforman de acuerdo con una matriz de transformación L , las bases se transforman de acuerdo con la inversa de la matriz L -1 y, a la inversa, si las coordenadas se transforman de acuerdo con la inversa L -1 , las bases se transforman de acuerdo con a la matriz L . La diferencia entre cada una de estas transformaciones se muestra convencionalmente a través de los índices como superíndices de contravarianza y subíndices de covarianza, y las coordenadas y bases se transforman linealmente de acuerdo con las siguientes reglas:
Elementos vectoriales
Ley de transformación contravariante
Ley de transformación covariante
Coordenadas
Base
Cualquier vector
donde L i j representa las entradas de la matriz de transformación (el número de fila es i y el número de columna es j ) y ( L −1 ) i k denota las entradas de la matriz inversa de la matriz L i k .
Si L es una transformación ortogonal ( matriz ortogonal ), los objetos que se transforman por ella se definen como tensores cartesianos . Esto geométricamente tiene la interpretación de que un sistema de coordenadas rectangulares se asigna a otro sistema de coordenadas rectangulares, en el que se conserva la norma del vector x (y se conservan las distancias).
El determinante de L es det ( L ) = ± 1, que corresponde a dos tipos de transformación ortogonal: (+1) para rotaciones y (−1) para rotaciones impropias (incluyendo reflexiones ).
Hay considerables simplificaciones algebraicas, la matriz transpuesta es la inversa de la definición de una transformación ortogonal:
De la tabla anterior, las transformaciones ortogonales de covectors y contravectors son idénticas. No hay necesidad de diferenciar entre subir y bajar índices , y en este contexto y en las aplicaciones a la física y la ingeniería, los índices suelen estar todos subindicados para eliminar la confusión de los exponentes . Todos los índices se reducirán en el resto de este artículo. Se pueden determinar los índices reales elevados y reducidos considerando qué cantidades son coadyuvantes o contratistas, y las reglas de transformación relevantes.
Se aplican exactamente las mismas reglas de transformación a cualquier vector a , no solo al vector de posición. Si sus componentes a i no se transforman de acuerdo con las reglas, a no es un vector.
A pesar de la similitud entre las expresiones anteriores, para el cambio de coordenadas como x j = L i j x i , y la acción de un tensor sobre un vector como b i = T ij a j , L no es un tensor, sino T es. En el cambio de coordenadas, L es una matriz , que se utiliza para relacionar dos sistemas de coordenadas rectangulares con bases ortonormales. Para el tensor que relaciona un vector con un vector, los vectores y tensores a lo largo de la ecuación pertenecen todos al mismo sistema de coordenadas y base.
Derivados y elementos matriciales jacobianos
Las entradas de L son derivadas parciales de las coordenadas nuevas o antiguas con respecto a las coordenadas antiguas o nuevas, respectivamente.
Diferenciando x i con respecto ax k :
entonces
es un elemento de la matriz jacobiana . Existe una correspondencia (parcialmente mnemotécnica) entre las posiciones del índice adjuntas a L y en la derivada parcial: i en la parte superior yj en la parte inferior, en cada caso, aunque para los tensores cartesianos los índices pueden reducirse.
Por el contrario, diferenciando x j con respecto ax i :
entonces
es un elemento de la matriz jacobiana inversa, con una correspondencia de índice similar.
Muchas fuentes establecen transformaciones en términos de derivadas parciales:
y las ecuaciones matriciales explícitas en 3d son:
de manera similar para
Proyecciones a lo largo de ejes de coordenadas
Top: Ángulos de la x i ejes a la x i ejes. Abajo: viceversa.
Como ocurre con todas las transformaciones lineales, L depende de la base elegida. Para dos bases ortonormales
proyectar xa los ejes x :
proyectar xa los ejes x :
Por lo tanto, las componentes se reducen a cosenos de dirección entre los ejes x i y x j :
donde θ ij y θ ji son los ángulos entre los ejes x i y x j . En general, θ ij no es igual a θ ji , porque por ejemplo θ 12 y θ 21 son dos ángulos diferentes.
La transformación de coordenadas se puede escribir:
y las ecuaciones matriciales explícitas en 3d son:
de manera similar para
La interpretación geométrica es que los componentes x i son iguales a la suma de proyectar los componentes x j sobre los ejes x j .
Los números e i ⋅ e j dispuestos en una matriz formarían una matriz simétrica (una matriz igual a su propia transpuesta) debido a la simetría en los productos escalares, de hecho es el tensor métrico g . Por el contrario e i ⋅ e j o e i ⋅ e j no no formar matrices simétricas en general, como se muestra anteriormente. Por lo tanto, aunque las matrices L siguen siendo ortogonales, no son simétricas.
Aparte de una rotación alrededor de cualquier eje, en la que x i y x i para algunos i coinciden, los ángulos no son los mismos que los ángulos de Euler , por lo que las matrices L no son las mismas que las matrices de rotación .
Transformación de los productos punto y cruzado (solo tres dimensiones)
El producto escalar y el producto cruzado ocurren con mucha frecuencia, en aplicaciones del análisis vectorial a la física y la ingeniería, los ejemplos incluyen:
potencia transferida P por un objeto que ejerce una fuerza F con velocidad v a lo largo de una trayectoria en línea recta:
velocidad tangencial v en un punto x de un cuerpo rígido giratorio con velocidad angular ω :
energía potencial U de un dipolo magnético de momento magnético m en un uniforme externo campo magnético B :
momento angular J para una partícula con vector de posición r y momento p :
torque τ que actúa sobre un dipolo eléctrico de dipolo eléctrico momento p en un uniforme externo campo eléctrico E :
densidad de corriente superficial inducida j S en un material magnético de magnetización M en una superficie con unidad normal n :
A continuación se ilustra cómo estos productos se transforman bajo transformaciones ortogonales.
Producto escalar, delta de Kronecker y tensor métrico
El producto escalar ⋅ de cada posible emparejamiento de los vectores base se deriva de que la base es ortonormal. Para pares perpendiculares tenemos
mientras que para los pares paralelos tenemos
Reemplazando etiquetas cartesianas por notación de índice como se muestra arriba , estos resultados se pueden resumir por
donde δ ij son los componentes del delta de Kronecker . La base cartesiana se puede utilizar para representar δ de esta forma.
Además, cada componente del tensor métrico g ij con respecto a cualquier base es el producto escalar de un par de vectores básicos:
Para la base cartesiana, los componentes dispuestos en una matriz son:
también lo son los más simples posibles para el tensor métrico, a saber, el δ :
Esto no es cierto para las bases generales: las coordenadas ortogonales tienen métricas diagonales que contienen varios factores de escala (es decir, no necesariamente 1), mientras que las coordenadas curvilíneas generales también podrían tener entradas distintas de cero para componentes fuera de la diagonal.
El producto escalar de dos vectores a y b transformadas de acuerdo con
lo cual es intuitivo, ya que el producto escalar de dos vectores es un solo escalar independiente de las coordenadas. Esto también se aplica de manera más general a cualquier sistema de coordenadas, no solo a los rectangulares; el producto escalar en un sistema de coordenadas es el mismo en cualquier otro.
Cruz y producto, símbolo de Levi-Civita y pseudovectores
Permutaciones anticíclicas de valores de índice y volumen cúbico orientado negativamente.
Valores distintos de cero del símbolo de Levi-Civita ε ijk como el volumen e i · e j × e k de un cubo generado por la base ortonormal 3d.
Para el producto cruzado × de dos vectores, los resultados son (casi) al revés. Nuevamente, asumiendo un sistema de coordenadas cartesiano 3d diestro, las permutaciones cíclicas en direcciones perpendiculares producen el siguiente vector en la colección cíclica de vectores:
mientras que los vectores paralelos desaparecen claramente:
y reemplazando las etiquetas cartesianas por notación de índice como se indicó anteriormente , estas se pueden resumir de la siguiente manera:
donde i , j , k son índices que toman valores 1, 2, 3. De ello se deduce que:
Estas relaciones de permutación y sus valores correspondientes son importantes, y hay un objeto que coincide con esta propiedad: el símbolo Levi-Civita , denotado por ε . Las entradas del símbolo de Levi-Civita se pueden representar mediante la base cartesiana:
que corresponde geométricamente al volumen de un cubo atravesado por los vectores base ortonormales, con el signo que indica la orientación (y no un "volumen positivo o negativo"). Aquí, la orientación está fijada por ε 123 = +1, para un sistema diestro. Un sistema para zurdos fijaría ε 123 = −1 o equivalentemente ε 321 = +1.
El producto triple escalar ahora se puede escribir:
con la interpretación geométrica del volumen (del paralelepípedo atravesado por a , b , c ) y algebraicamente es un determinante : [3]
Esto, a su vez, se puede utilizar para reescribir el producto cruzado de dos vectores de la siguiente manera:
Contrariamente a su apariencia, el símbolo de Levi-Civita no es un tensor , sino un pseudotensor , los componentes se transforman de acuerdo con:
Por lo tanto, la transformación del producto transversal de una y b es:
y entonces a × b se transforma como un pseudovector , debido al factor determinante.
La notación de índice tensorial se aplica a cualquier objeto que tenga entidades que formen matrices multidimensionales ; no todo lo que tiene índices es un tensor por defecto. En cambio, los tensores se definen por cómo cambian sus coordenadas y elementos base bajo una transformación de un sistema de coordenadas a otro.
Tenga en cuenta que el producto cruzado de dos vectores es un pseudovector, mientras que el producto cruzado de un pseudovector con un vector es otro vector.
Aplicaciones del tensor δ y el pseudotensor ε
Se pueden formar otras identidades a partir del tensor δ y el pseudotensor ε , una identidad notable y muy útil es aquella que convierte dos símbolos de Levi-Civita contraídos de forma adyacente sobre dos índices en una combinación antisimetrizada de deltas de Kronecker:
Las formas de índice de los productos punto y cruzado, junto con esta identidad, facilitan enormemente la manipulación y derivación de otras identidades en el cálculo vectorial y el álgebra, que a su vez se utilizan ampliamente en física e ingeniería. Por ejemplo, está claro que los productos punto y cruzado son distributivos sobre la suma de vectores:
sin recurrir a construcciones geométricas, la derivación en cada caso es una línea rápida de álgebra. Aunque el procedimiento es menos obvio, también se puede derivar el producto triple del vector. Reescritura en notación de índice:
y debido a que las permutaciones cíclicas de índices en el símbolo ε no cambian su valor, la permutación cíclica de índices en ε kℓm para obtener ε ℓmk nos permite usar la identidad δ - ε anterior para convertir los símbolos ε en tensores δ :
así:
Tenga en cuenta que esto es antisimétrico en B y C , como se esperaba desde el lado izquierdo. Del mismo modo, a través de la notación de índice o incluso sólo cíclicamente reetiquetado un , b , y c en el resultado anterior y tomando el negativo:
y la diferencia en los resultados muestra que el producto cruzado no es asociativo. Identidades más complejas, como productos cuádruples;
y así sucesivamente, se pueden derivar de manera similar.
Transformaciones de tensores cartesianos (cualquier número de dimensiones)
Los tensores se definen como cantidades que se transforman de cierta manera bajo transformaciones lineales de coordenadas.
Segundo orden
Sean a = a i e i y b = b i e i dos vectores, de modo que se transformen de acuerdo con a j = a i L ij , b j = b i L ij .
Tomando el producto tensorial da:
luego aplicando la transformación a los componentes
y a las bases
da la ley de transformación de un tensor de orden 2. El tensor a ⊗ b es invariante bajo esta transformación:
De manera más general, para cualquier tensor de orden 2
los componentes se transforman según;
,
y la base se transforma por:
Si R no se transforma de acuerdo con esta regla, sea cual sea la cantidad R , no es un tensor de orden 2.
Cualquier orden
Más generalmente, para cualquier orden p tensor
los componentes se transforman según;
y la base se transforma por:
Para un pseudotensor S de orden p , los componentes se transforman de acuerdo con;
Pseudovectores como tensores antisimétricos de segundo orden
La naturaleza antisimétrica del producto cruzado se puede refundir en una forma tensorial como sigue. [4] Sea c un vector, a un pseudovector, b otro vector y T un tensor de segundo orden tal que:
A medida que el producto cruzado es lineal en un y b , los componentes de T se pueden encontrar mediante inspección, y que son:
por lo que el pseudovector a se puede escribir como un tensor antisimétrico. Esto se transforma en un tensor, no en un pseudotensor. Para el ejemplo mecánico anterior para la velocidad tangencial de un cuerpo rígido, dada por v = ω × x , esto se puede reescribir como v = Ω · x donde Ω es el tensor correspondiente al pseudovector ω :
Por ejemplo en electromagnetismo , mientras que el campo eléctrico E es un campo vectorial , el campo magnético B es un campo pseudovectorial. Estos campos se definen a partir de la fuerza de Lorentz para una partícula de carga eléctrica q que viaja a una velocidad v :
y considerando el segundo término que contiene el producto cruzado de un pseudovector B y un vector de velocidad v , se puede escribir en forma de matriz, con F , E y v como vectores columna y B como una matriz antisimétrica:
Si un pseudovector está dado explícitamente por un producto cruzado de dos vectores (en lugar de ingresar el producto cruzado con otro vector), entonces dichos pseudovectores también se pueden escribir como tensores antisimétricos de segundo orden, con cada entrada un componente del producto cruzado. El momento angular de una partícula clásica en forma de punto que orbita alrededor de un eje, definido por J = x × p , es otro ejemplo de un pseudovector, con el tensor antisimétrico correspondiente:
Aunque los tensores cartesianos no ocurren en la teoría de la relatividad; la forma tensorial del momento angular orbital J entra en la parte espacial del tensor del momento angular relativista , y la forma tensorial anterior del campo magnético B entra en la parte espacial del tensor electromagnético .
Cálculo vectorial y tensorial
Las siguientes fórmulas son tan simples en coordenadas cartesianas - en coordenadas curvilíneas generales hay factores de la métrica y su determinante - ver tensores en coordenadas curvilíneas para un análisis más general.
Cálculo vectorial
A continuación se muestran los operadores diferenciales del cálculo vectorial . A lo largo, a la izquierda Φ ( r , t ) será un campo escalar , y
ser campos vectoriales , en los que todos los campos escalares y vectoriales son funciones del vector de posición ry del tiempo t .
El operador de gradiente en coordenadas cartesianas viene dado por:
y en la notación de índice, esto generalmente se abrevia de varias maneras:
Este operador actúa sobre un campo escalar Φ para obtener el campo vectorial dirigido en la tasa máxima de aumento de Φ:
La notación de índice para los productos punto y cruzado se traslada a los operadores diferenciales del cálculo vectorial. [5]
La derivada direccional de un campo escalar Φ es la velocidad de cambio de Φ a lo largo de una cierta dirección vector un (no necesariamente un vector unidad ), formado a partir de los componentes de una y el gradiente:
La divergencia de un campo vectorial A es:
Tenga en cuenta que el intercambio de los componentes del gradiente y el campo vectorial produce un operador diferencial diferente
que podría actuar sobre campos escalares o vectoriales. De hecho, si A se reemplaza por el campo de velocidad u ( r , t ) de un fluido, este es un término en la derivada material (con muchos otros nombres) de la mecánica continua , siendo otro término la derivada temporal parcial:
que generalmente actúa sobre el campo de velocidad que conduce a la no linealidad en las ecuaciones de Navier-Stokes .
En cuanto al rizo de un campo vectorial A , este se puede definir como un campo pseudovectorial mediante el símbolo ε :
que solo es válido en tres dimensiones, o un campo tensor antisimétrico de segundo orden mediante antisimetrización de índices, indicado delimitando los índices antisimetrizados por corchetes (ver cálculo de Ricci ):
que es válido en cualquier número de dimensiones. En cada caso, el orden de los componentes del campo de gradiente y vector no debe intercambiarse, ya que esto daría como resultado un operador diferencial diferente:
que podría actuar sobre campos escalares o vectoriales.
Finalmente, el operador laplaciano se define de dos formas, la divergencia del gradiente de un campo escalar Φ:
o el cuadrado del operador de gradiente, que actúa sobre un campo escalar Φ o un campo vectorial A :
En física e ingeniería, el gradiente, la divergencia, la curvatura y el operador laplaciano surgen inevitablemente en la mecánica de fluidos , la gravitación newtoniana , el electromagnetismo , la conducción de calor e incluso la mecánica cuántica .
Las identidades de cálculo vectorial se pueden derivar de forma similar a las de los productos y combinaciones de puntos y cruces vectoriales. Por ejemplo, en tres dimensiones, la curva de un producto cruzado de dos campos vectoriales A y B :
donde la regla del producto se utilizó, y en todo el operador diferencial no fue intercambiado con A o B . Por lo tanto:
Cálculo tensorial
Se pueden continuar las operaciones sobre tensores de orden superior. Sea T = T ( r , t ) un campo tensorial de segundo orden, de nuevo dependiente del vector de posición r y del tiempo t .
Por ejemplo, el gradiente de un campo vectorial en dos notaciones equivalentes ("diádico" y "tensor", respectivamente) es:
que es un campo tensorial de segundo orden.
La divergencia de un tensor es:
que es un campo vectorial. Esto surge en la mecánica del continuo en las leyes del movimiento de Cauchy : la divergencia del tensor de tensión de Cauchy σ es un campo vectorial, relacionado con las fuerzas corporales que actúan sobre el fluido.
Diferencia del cálculo tensorial estándar
Los tensores cartesianos son como en el álgebra tensorial , pero la estructura euclidiana y la restricción de la base trae algunas simplificaciones en comparación con la teoría general.
El álgebra tensorial general consta de tensores mixtos generales de tipo ( p , q ):
con elementos base:
los componentes se transforman de acuerdo con:
en cuanto a las bases:
Para los tensores cartesianos, solo el orden p + q del tensor importa en un espacio euclidiano con una base ortonormal, y todos los índices p + q pueden reducirse. No existe una base cartesiana a menos que el espacio vectorial tenga una métrica definida positiva y, por lo tanto, no se puede utilizar en contextos relativistas .
Historia
Los tensores diádicos fueron históricamente el primer enfoque para formular tensores de segundo orden, tensores triádicos similares para tensores de tercer orden, y así sucesivamente. Los tensores cartesianos utilizan la notación de índice tensorial , en la que la varianza se puede pasar por alto y, a menudo, se ignora, ya que los componentes permanecen sin cambios al aumentar y disminuir los índices .
Ver también
Álgebra tensorial
Cálculo tensorial
Tensores en coordenadas curvilíneas
Grupo de rotacion
Referencias
↑ a b C.W. Misner , KS Thorne , JA Wheeler (15 de septiembre de 1973). Gravitación . ISBN 0-7167-0344-0.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ), utilizado en todo
^ a bTWB Kibble (1973). mecánica clásica . Serie europea de física (2ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-084018-8., consulte el Apéndice C.
^MR Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009). Análisis de vectores . Esquemas de Schaum (2ª ed.). McGraw Hill. pag. 23. ISBN 978-0-07-161545-7.
^TWB Kibble (1973). mecánica clásica . Serie europea de física (2ª ed.). McGraw Hill. págs. 234-235. ISBN 978-0-07-084018-8., consulte el Apéndice C.
^MR Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009). Análisis de vectores . Esquemas de Schaum (2ª ed.). McGraw Hill. pag. 197. ISBN 978-0-07-161545-7.
Notas
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Más lecturas y aplicaciones
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enlaces externos
Tensores cartesianos
VN Kaliakin, Breve revisión de tensores , Universidad de Delaware
RE Hunt, tensores cartesianos , Universidad de Cambridge