En álgebra , dado un anillo R , la categoría de módulos izquierdos sobre R es la categoría cuyos objetos son todos módulos izquierdos sobre R y cuyos morfismos son todos homomorfismos de módulo entre R -módulos izquierdos . Por ejemplo, cuando R es el anillo de números enteros Z , es lo mismo que la categoría de grupos abelianos . La categoría de módulos adecuados se define de manera similar.
Nota: algunos autores utilizan el término categoría de módulo para la categoría de módulos. Este término puede ser ambiguo ya que también podría referirse a una categoría con una acción de categoría monoidal . [1]
Propiedades
Las categorías de módulos izquierdo y derecho son categorías abelianas . Estas categorías tienen suficientes proyectivas [2] y suficientes inyecciones . [3] El teorema de inclusión de Mitchell establece que cada categoría abeliana surge como una subcategoría completa de la categoría de módulos.
Los límites proyectivos y los límites inductivos existen en las categorías de módulos izquierdo y derecho. [4]
Sobre un anillo conmutativo , junto con el producto tensorial de los módulos ⊗, la categoría de módulos es una categoría monoidal simétrica .
Categoría de espacios vectoriales
La categoría K - Vect (algunos autores usan Vect K ) tiene todos los espacios vectoriales sobre un campo K como objetos y K -mapas lineales como morfismos. Dado que los espacios vectoriales sobre K (como un campo) son lo mismo que los módulos sobre el anillo K , K - Vect es un caso especial de R - Mod , la categoría de módulos R izquierdos.
Gran parte del álgebra lineal se refiere a la descripción de K - Vect . Por ejemplo, el teorema de la dimensión para espacios vectoriales dice que las clases de isomorfismo en K - Vect corresponden exactamente a los números cardinales , y que K - Vect es equivalente a la subcategoría de K - Vect que tiene como objetos los espacios vectoriales K n , donde n es cualquier número cardinal.
Generalizaciones
La categoría de haces de módulos sobre un espacio anillado también tiene suficientes inyecciones (aunque no siempre suficientes proyectivas).
Ver también
- Teoría K algebraica (el invariante importante de la categoría de módulos).
- Categoría de anillos
- Categoría derivada
- Espectro del módulo
- Categoría de espacios vectoriales graduados
- Categoría de grupos abelianos
- Categoría de representaciones
Referencias
- ^ "categoría de módulo en nLab" . ncatlab.org .
- ^ trivialmente ya que cualquier módulo es un cociente de un módulo libre.
- ^ Dummit – Foote , cap. 10, Teorema 38.
- ^ Bourbaki , párrafo 6.
- Bourbaki, Algèbre ; "Algèbre linéaire".
- Dummit, David; Foote, Richard. Álgebra abstracta .
- Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 .
enlaces externos
- http://ncatlab.org/nlab/show/Mod